재무적 위험 관리: 위험 가치 VaR 및 지역 평균 ES 측정

위험은 소득에 해당하는 개념입니다. 이익과 손실의 가능성이 있다는 것은 바로 시장의 변동성이 있기 때문입니다. 리스크 관리에서 우리가 중요하게 생각하는 것은 리스크이고, 리스크의 근원은 불확실성, 즉 변동성입니다. 불확실하더라도 특정 가정을 하고 일련의 모델을 구축하면 위험의 가능성과 위험이 우리에게 미치는 영향을 어느 정도 이해할 수 있지만 위험을 합리적으로 이해할 수는 있습니다. 우리가 생각해야 할 세 가지 질문이 있습니다.

이전 섹션에서 첫 번째 질문을 이미 언급했으므로 위험을 측정하는 방법에 대해 이야기해 보겠습니다. 일반적으로 사용되는 위험 측정 도구는 다음과 같습니다.

VaR는 특정 신뢰 구간 및 특정 기간 내 최대 손실 금액을 나타냅니다.

예를 들어보세요. 은행이 특정 펀드나 자산 포트폴리오를 발행하는데, 하루 동안 99% 위험 측정 VaR가 6천만 위안입니다.

이에 대한 세 가지 이해가 있습니다.

확률 밀도 다이어그램 그리기

위 그림은 -3에서 3까지의 표준 정규 분포입니다.

95% 신뢰구간에 해당하는 분위수는 VaR 값이므로 VaR 값은 손실 위험이 없는 상대 분위수입니다.

누적분포함수 그리기

VaR은 그 자체의 단점이 있고 가가산의 원리를 만족하지 못하기 때문에(아직도 가가산을 잘 이해하지 못함) 계산할 방법이 없음 자산 포트폴리오. 동시에 우리는 꼬리의 특성에 대해 아무것도 모릅니다. 즉, 우리가 관심을 갖는 것은 신뢰 구간 내부에 무엇이 있는지입니다. 그러나 손실 값이 신뢰 구간 외부에 나타나는 것을 발견하면 꼬리의 분포는 무엇입니까? 이 손실의 꼬리? 기대는 어떻습니까? VaR에서는 이를 알려줄 방법이 없지만 ES는 위의 두 가지 단점을 보완할 수 있습니다.

ES는 손실이 VaR를 초과한 후의 꼬리 손실의 기대값을 나타냅니다. 계산식은 다음과 같습니다.

논리적으로 말하면 일정한 신뢰구간과 시간 T가 주어지면 정규분포표와 비교하여 해당 VaR 값을 구해야 합니다. 그런데 실제로는 수익분포가 정규분포를 만족하지 못하고, 모델의 역할은 세부사항을 반영하는 것이 아니라 특정 전제가정을 부여하는 것인데, 이 모델이 얼마나 현실에 가까울 수 있을까요?

투자 포트폴리오의 경우 델타 정규법에는 두 가지 전제 가정이 있습니다.

위의 가정에서 우리는 자산 수익률 포트폴리오가 정규 분포를 만족한다는 것을 알 수 있으며, 개념에 따르면 이 정규 분포의 분위수를 찾으려면 VaR이 필요합니다. 우리는 정규 분포의 가장 중요한 두 가지 매개 변수가 평균과 표준 편차(또는 분산)라는 것을 알고 있습니다. 이는 각각 분포의 이동과 확장 및 압축을 결정합니다. 여기서는 표준편차의 단위가 평균과 동일하므로 분산 대신 표준편차를 사용합니다. 경제 또는 위험 관리에서 통계의 시그마는 일반적으로 변동성이라고 하는데 이는 실제로 같은 의미입니다.

신뢰 구간이 c이고 평균 수익률이 0(표준 정규 분포의 수익률이 0)인 경우 값이 1인 자산 포트폴리오가 있다고 가정하고 수익률을 계산합니다. 다음날

여기서 알파는 신뢰 수준을 통해 찾을 수 있습니다. 핵심은 변동성 시그마를 찾는 방법입니다. 따라서 다음 초점은 역사를 통해 투자자산 수익률의 변동성을 어떻게 추정하는가이다.

모델링에 앞서 우리가 이해해야 할 것은 이력을 기반으로 모델링하고 있다는 것, 즉 과거의 이력에는 어떤 추세가 포함되어 있다고 믿고 있으며 이러한 추세는 계속될 것이라고 생각합니다(그러나 우리는 그럴 수도 있다는 것을 알고 있습니다). 언제든지 새로운 영향), 모델이 데이터의 추세를 묘사하는 것임을 이해해야 합니다. 실제 데이터와 예측 값 사이에는 잔차가 있지만, 데이터에서 예측 값을 뺀 잔차는 남습니다. 실제 데이터는 무작위로 변동해야 합니다. 즉, 상관관계가 없어야 합니다. 그래야만 우리 모델이 데이터 추세를 철저하게 마이닝했다고 말할 수 있습니다.

반환율 시퀀스가 ​​rt인 경우 rt는 자체 평균 ut와 무작위 교란 항 at의 두 부분으로 구성됩니다.

다음과 같이 표현된다:

, 여기서 ut는 ARMA(p, q) 모델을 만족한다. 즉, 첫 번째 항은 p lag 항의 과거 수익률에 대한 자기회귀항이고, 후자는 q 시차 항. 항의 이동 평균 항입니다. 이는 다음과 같이 표현됩니다:

ARCH(p) 모델은 다음을 가정합니다.

시간 t에서의 외란 항

ARCH 모델과의 차이점은 외란 항의 선형 결합 외에도 q 역사적 시차 항 시그마의 이동 평균 항도 있습니다.

GARCH(p, q) 모델 가설:

교란 항의 인자 varepsilon t 범위는 (0, 1)입니다.

RiskMetrics는 다음에 의해 제안되었습니다. JP Morgan 위험 측정 기술, 여기에는 간단한 양식만 포함됩니다. 이 방법은 시간 t-1의 정보가 주어지면 시간 t의 외란 항에 대해 정규 분포를 만족한다고 간주합니다. 그 중 시그마는 다음과 같이 표현됩니다.

다음으로 구글의 5년간의 과거 데이터를 활용해 다음 주에 겪을 수 있는 최대 손실액과 평균 손실액을 예측해야 합니다.

먼저 데이터를 가져옵니다.

그런 다음 install.packages() 메서드를 통해 설치할 수 있는 도구 패키지 Rugarch를 사용합니다.

다음으로 손실 변수를 찾고 음의 로그 수익률을 손실 변수인 백분율로 변환합니다.

모델링에는 평균 방정식과 파동 방정식의 두 부분이 포함됩니다. 평균 방정식은 ARMA(p, q) 모델을 만족하므로 ARMA(p, q) 모델을 설정하는 일반적인 단계를 수행해야 합니다.

파동 방정식의 경우 ARCH 효과는 먼저 다음과 같아야 합니다. 즉, 잔차를 테스트해야 합니다. 항이 2차적으로 관련되어 있는지 여부를 테스트해야 합니다.

여기서 설명하자면 실제로 상관관계를 정화하기 위해 많은 노력을 기울였습니다. ARMA는 선형 상관관계를 묘사하는 반면 GARCH는 비선형 상관관계를 묘사합니다. 우리는 지속적으로 상관관계를 제거하므로 상관관계가 완전히 제거되면 남는 것은 무작위 변동의 백색 잡음입니다. 예를 들어 여기서 최종 ARCH 모델이 설정된 후에는 잔차를 차감하는 작업이 마지막으로 수행됩니다. 잔차 이후에 남은 백색잡음이 특정 분포를 만족하는지 여부(예를 들어 GARCH에는 정규 분포가 필요합니다. 그래야만 이러한 백색잡음이 자연적으로 존재하는 잡음이고 주요 정보를 포함하지 않는다고 믿을 수 있습니다). 앞서 ARMA 모델을 구축한 후 선형 상관관계를 제거했지만 평균과 남은 차이(즉 차이)는 위에서 언급한 GARCH 모델에 따르면 2차 계열이 있을 가능성이 있습니다. 따라서 GARCH 모델을 모델링하는 것은 변동의 이 부분에 대한 2차 상관 관계를 피팅한 다음(ARMA 모델링과 동일한 작업) 이전 단계에서 ARMA '잔차'의 잔차를 테스트하는 것과 같습니다. 차이가 여전히 관련이 있습니까? 그렇지 않으면 상관 관계가 완전히 설명되었음을 의미합니다. 그렇지 않으면 매개변수를 다시 선택해야 하며 잔차의 이 부분에 맞게 더 나은 GARCH 모델을 구축해야 합니다.

그런 다음 마지막으로 모든 상관관계를 끝까지 공제하는데, 이것이 백색잡음입니다. 이 백색잡음이 정말 그렇게 무해한지, 그래서 정규분포를 만족하는지에 달려있습니다.

여기서 실제로 수익률의 자기상관은 매우 약하므로(그렇지 않으면 누구나 쉽게 차익거래를 예측할 수 있음) ARMA 모델을 구축하고 평균 방정식을 직접 산술로 대체할 필요가 없습니다. 다음으로 GARCH 모델 구축에 중점을 둘 것입니다.

모델 선택과 관련하여 GARCH(1, 1) 모델을 직접 사용합니다. 일반적으로 p와 q는 2를 초과하지 않습니다. 여기서는 모델 선택 및 테스트에 대해 논의하지 않습니다.

ugarch 모델의 평균 방정식의 매개변수mean.model이 p와 q의 순서를 (0, 0)으로 설정하고 평균 항을 포함하는 것을 볼 수 있습니다. 이는 우리가 간단한 평균 방정식으로서의 산술 평균. variance.model의 변동방정식의 차수 p와 q를 (1, 1)로 설정한 후, 과거 손실률을 기준으로 모델을 모델링하고, n을 설정하여 이번 주의 상황을 5단계 앞으로 예측한다. 앞으로 = 5.

결과를 ​​출력

하면 VaR과 ES를 계산할 수 있습니다.

출력 결과

이는 95% 신뢰 수준에서 5일 이내에 최대 가능한 손실이 ?1000000 x 4.755209% =?4755209를 초과하지 않으며 평균 손실은 다음과 같다는 것을 의미합니다. ? 1000000 자리, dnorm 함수는 이 분위수 이하의 밀도 확률을 반환하며, 0.05는 꼬리의 누적 확률(95% 신뢰 수준 이후 가능한 모든 손실 값으로 이해될 수 있음, 즉 왼쪽)이므로 꼬리 평균은 이름에서 알 수 있듯이 0.95에 해당하는 분위수 지점에서의 확률과 해당 손실 크기가 차지하는 전체의 왼쪽 영역의 크기를 구하는 것입니다( 최종 손실은 발생 확률과 (손실 확률에 따라) 둘 다와 관련됩니다.

전체적으로 실제로 1일 시그마를 먼저 예측한 다음 여기에 sqrt(5)를 곱하면 결과가 약간 다릅니다.

여기서 RiskMetrics의 모델링 방법은 GARCH와 동일하지만 차이점은 매개변수 (p, q)를 (1, 1)로 선택해야 하며 드리프트 항 alpha0이 없다는 점입니다. 모델에서 매개변수 모델로 'igarch'를 선택하면 됩니다.

출력 결과

이는 95% 신뢰 수준에서 5일 이내에 가능한 최대 손실이 ?1000000 x 3.828855% = 3828855를 초과하지 않으며 평균 손실은 다음과 같습니다. ? 1000000 x 4.801539% =?4801539

여기서 계산 결과는 GARCH 모델에서 예측한 결과와 다르며, 이는 모델 및 매개변수(p, q)의 선택이 계산에 영향을 미친다는 것을 보여줍니다. 결과.

이번 글에서는 VaR과 ES의 개념, GARCH 모델, ARCH 모델, 그리고 VaR과 ES를 계산하는 RiskMetrics 방법과 프로세스에 대해 소개했습니다. 또한, 핵심은 변동성의 피팅입니다. 계산 방법을 알려면 이 모델을 언제 사용해야 하는지도 알아야 합니다.