우리는 왜 수학을 배워야 하는가? 젊은 수학자들에게 보내는 두 번째 편지

메그님께!

아마도 예상하셨겠지만, 수학 공부를 고려하고 있다는 소식을 듣고 매우 기뻤습니다. 몇 년 전 여름에 당신이 시간의 주름을 읽으면서 보낸 몇 주가 헛되지 않았을 뿐만 아니라, 하이퍼큐브와 더 높은 차원을 설명하려는 나의 노력도 헛되지 않았습니다. 저는 여러분의 질문에 특별한 순서 없이 가장 실용적인 질문부터 대답하겠습니다. 나 외에 정말 수학으로 생계를 꾸려가는 사람이 있나요?

이 질문에 대한 답은 많은 분들이 생각하시는 것과 다릅니다. 제가 근무하는 대학에서 몇 년 전 졸업생을 대상으로 설문조사를 실시한 결과 다양한 학위 중에서 수학 학위를 소지한 학생의 평균 소득이 가장 높은 것으로 나타났습니다. 비록 이것이 의과대학을 설립하기 전의 일이기는 하지만, 적어도 수학을 공부하는 사람은 고임금 직업을 가질 수 없다는 한 가지 신화를 반박합니다.

우리는 매일 어디서나 수학자들을 만나지만 눈에 띄기 어려운 것이 사실이다. 나의 과거 학생들 중 일부는 양조장을 관리하고, 전자 회사를 시작하고, 자동차를 설계하고, 컴퓨터 프로그램을 작성하고, 주식 시장에서 선물을 거래했습니다. MP3 플레이어 위성을 만든 사람들 중 다수가 수학자이거나 목성의 달의 놀라운 사진을 지구로 전송하는 기술에도 많은 수학이 관련됩니다. 우리는 의사가 의학 학위를 갖고 있고 변호사가 법학 학위를 가지고 있다는 것을 알고 있습니다. 이는 동등한 전문 교육이 필요한 특별하고 잘 정의된 직업이기 때문입니다. 그러나 수학자가 큰 ​​비용을 내고 해결하려는 수학 문제를 해결하는 데 도움을 줄 수 있다는 건물 광고의 구리 명판에서 공인 수학자의 이름을 찾을 가능성은 거의 없습니다.

우리 사회는 수학을 많이 소비하지만 모든 것은 배후에서 이루어지며 그 이유는 아주 간단합니다. 수학은 배후에 있기 때문입니다. 자동차를 운전할 때 모든 복잡한 기계적인 것에 대해 생각하고 싶지 않고 그냥 차에 타고 차를 타고 떠나고 싶을 뿐입니다. 자동차 역학의 기본 조건을 이해하는 것은 좋은 운전자가 되는 데 확실히 도움이 되지만 꼭 필요한 것은 아닙니다. 수학에서도 마찬가지이다. 당신은 관련된 수학 계산을 스스로 알아낼 필요 없이 자동차의 내비게이션 시스템이 당신을 안내해주기를 원합니다. 또한 신호 처리 및 오류 수정 코드를 이해하지 않고도 전화기가 계속 작동하기를 원합니다. 그러나 우리 중 일부는 수학을 하는 방법을 알아야 합니다. 그렇지 않으면 위에서 언급한 자동차와 전화기가 작동하지 않을 것입니다. 우리가 일상생활에서 어떻게 수학에 의존해야 하는지 다른 사람들이 이해할 수 있다면 좋을 것입니다. 수학이 이면에 숨어 있는 이유는 많은 사람들이 수학이 이면에 숨겨져 있다는 사실을 전혀 모르기 때문입니다.

수학에 대한 사람들의 태도를 바꾸는 가장 좋은 방법은 수학을 사용하는 모든 것에 "수학이 포함되어 있습니다"라고 적힌 빨간색 라벨을 붙이는 것이라고 생각합니다. 물론 모든 컴퓨터에 하나씩 있을 것이고, 말 그대로 받아들이면 모든 수학 교사에게도 하나씩 있어야 합니다. 우리는 또한 모든 비행기, 모든 전화기, 모든 자동차, 모든 교통 표지판, 모든 야채에 빨간색 수학 스티커를 붙여야 합니다.

야채?

그렇습니다. 농부들이 아버지와 조상이 물려준 방식에 따라 단순히 농사를 짓던 시대는 오래 전에 지나갔습니다. 여러분이 구입할 수 있는 거의 모든 야채는 장기적이고 복잡한 상업적 재배 프로그램의 결과입니다. 수학적 의미에서 "실험 설계"라는 전체 주제는 새로운 유전자 변형 방법은 말할 것도 없고 새로운 식물 종을 평가하는 체계적인 방법을 제공하기 위해 20세기 초에 개발되었습니다.

잠깐, 이거 생물학 아닌가요?

물론 생물학뿐만 아니라 수학도 마찬가지입니다. 유전학은 생물학에서 수학이 최초로 사용된 분야였으며, 인간 게놈 프로젝트는 생물학자들이 스마트한 작업을 많이 했을 뿐만 아니라 실험 결과를 분석하고 매우 단편적인 것부터 시작하는 강력한 수학적 방법을 개발했기 때문에 성공했습니다. 데이터.

그래서 야채에는 빨간색 라벨이 붙습니다. 야채와 마찬가지로 다른 것에도 빨간색 라벨이 있어야 합니다.

영화를 보시나요? 특수 효과를 좋아하시나요? 스타워즈와 반지의 제왕에는 수학이 있나요? 최초의 완전 컴퓨터 애니메이션 영화인 토리 스토리(Tory Story)는 약 20편의 수학 논문을 출판했습니다. "컴퓨터 페인팅"은 컴퓨터를 사용하여 그림을 그리는 것뿐만 아니라 그림을 더욱 사실적으로 보이게 만드는 수학적 방법이기도 합니다. 이러한 효과를 만들려면 솔리드 기하학에 대한 지식, 빛의 수학, 시작 이미지와 마무리 이미지 사이의 부드러운 동작 순서 보간 등이 필요합니다. "보간"은 수학적 아이디어이며 많은 영리한 수학 없이는 보간이 작동하지 않습니다. 또 다른 빨간색 태그입니다!

물론 인터넷도 완전히 수학적입니다. 현재 가장 중요한 검색 엔진인 Google은 행렬 대수학, 확률 이론 및 네트워크의 조합 수학을 기반으로 하는 수학적 방법을 사용하여 사용자가 필요로 하는 정보를 가장 많이 포함할 가능성이 있는 웹 페이지를 찾습니다.

그러나 인터넷의 수학은 그보다 더 기본적입니다. 전화 네트워크는 수학에 의존합니다. 예전에는 교환원이 전화선을 수동으로 교환대에 연결해야 했지만 오늘날에는 전화선이 수백만 개의 메시지를 동시에 전달해야 합니다. 친구와 대화하고, 팩스를 보내고, 인터넷 서핑을 하고 싶어 하는 사람들이 너무 많아서 전화선, 해저 광섬유 케이블, 위성 중계기를 공유해야 합니다. 그렇지 않으면 네트워크가 트래픽을 처리할 수 없습니다. 그래서 각각의 대화는 수천개의 조각으로 쪼개져 실제로는 1개 정도만 전송되고 나머지 99개는 공백을 메워 최대한 복원합니다(샘플이 짧기 때문에 효과가 있지만 빈도가 너무 높아서 사운드는 샘플 간격보다 훨씬 느리게 변경됩니다. 오! 전체 신호는 전송 오류를 감지할 수 있을 뿐만 아니라 올바른 수신 위치로 재배치될 수 있도록 인코딩됩니다.

현대 통신 시스템은 많은 수학 없이는 작동하지 않습니다. 코딩 이론, 푸리에 분석, 신호 처리...

간단히 말하면 온라인으로 티켓을 구매하고, 좌석을 예약하고, 공항에 가서 비행기를 타고 다른 곳으로 날아가는 것입니다. 비행기가 나는 이유는 엔지니어가 유체 흐름과 공기 역학의 수학을 사용하여 비행기가 하늘에 머물도록 설계하기 때문입니다. 항공기는 신호가 수학적으로 분석되어 항공기가 몇 피트 이내에 어디에 있는지 알려주는 위성 집합인 GPS(Global Positioning System)를 사용하여 탐색합니다. 모든 비행기를 올바른 지점에 배치하려면 모든 비행을 일정에 포함해야 하며, 이를 위해서는 다른 수학 영역이 필요합니다.

메그님께, 이것이 수학이 작동하는 방식입니다. 수학자들은 모두 대학에서 고립되어 있는 것인지, 아니면 일부 수학자들의 연구가 실생활과 관련이 있는 것인지 물으셨습니다. 사실, 당신의 모든 실제 생활은 수학의 바다에서 위아래로 흔들리며 헤엄치는 작은 배와 같습니다.

그러나 이를 알아차리는 사람은 거의 없습니다. 수학을 피하는 것은 우리를 편안하게 해주지만 수학을 손상시킵니다. 부끄러운 일입니다. 사람들은 수학이 쓸모없고, 중요하지 않으며, 단지 심리전일 뿐이고 실질적인 중요성이 없다고 생각하게 됩니다. 그래서 그 빨간 라벨을 보고 싶어요. 실제로 빨간색 태그를 사용하지 않는 가장 좋은 이유는 대부분의 지구가 빨간색 태그로 덮일 것이기 때문입니다.

세 번째 질문이 가장 중요하면서도 가장 안타깝습니다. 당신은 나에게 수학을 공부하기 위해 미의식을 포기해야 하는지, 모든 것이 단지 숫자, 방정식, 정리, 공식이 될 것인지 묻습니다. 메그, 걱정하지 마세요. 이 질문을 한다고 해서 당신을 비난하는 것은 아닙니다. 불행하게도 이것은 매우 흔하지만 매우 잘못된 생각이며, 이는 진실과 정반대입니다.

나에게 수학은 내가 살고 있는 세상을 새롭게 인식하게 하고, 자연의 법칙과 패턴에 눈을 뜨게 하며, 아름다움에 대한 새로운 경험을 제공해준다. 예를 들어, 무지개를 볼 때 나는 단지 밝고 다채로운 호를 보는 것이 아니며, 빗방울이 햇빛에 미치는 영향만 보는 것도 아닙니다. 빗방울은 흰색 햇빛을 햇빛을 구성하는 색상 구성 요소로 감소시킵니다. 나는 무지개가 아름답고 영감을 준다고 생각하며, 무지개가 단순한 빛의 굴절 이상이며 색상이 빨간색(및 녹색 및 파란색) 청어와 같다는 사실에 감사합니다.

무지개의 모양과 밝기에 대해서는 설명이 필요합니다. 왜 호 모양인가요? 빛이 왜 이렇게 밝아?

아직 이런 질문에 대해 생각해 본 적이 없을 수도 있습니다. 햇빛이 빗방울에 의해 굴절될 때 무지개가 나타난다는 것은 이미 알고 있습니다. 햇빛의 각 색상은 약간 다른 각도로 바뀌고 빗방울에 반사되어 우리 눈에 들어오기 때문입니다. 그런데 수만 개의 빗방울이 굴절되어 만들어지는 수만 개의 색광선은 왜 겹쳐서 흐려지지 않는 걸까요?

답은 무지개의 기하학에 있습니다. 빗방울 내부에서 빛이 반사되면 빗방울의 구형 모양으로 인해 빛이 특정 방향으로 집중됩니다. 각 빗방울은 밝은 원뿔 모양의 빛을 방출하거나, 빛의 각 색상은 자체 원뿔을 형성하며, 각 빗방울은 빛. 각 색상은 약간 다른 각도로 원뿔을 형성합니다. 무지개를 볼 때 우리의 눈은 특정 방향에 위치한 원뿔만 감지할 수 있으며, 각 색상은 하늘에 호를 형성합니다. 그래서 우리는 각 색상마다 하나씩 많은 동심원을 볼 수 있습니다. 당신이 보는 무지개와 내가 보는 무지개는 서로 다른 빗방울로 이루어져 있다. 우리의 눈은 서로 다른 위치에 있으므로 서로 다른 빗방울에 의해 생성된 서로 다른 원뿔을 감지합니다.

무지개는 개인적인 경험이다.

어떤 사람들은 그러한 이해가 미적 만족을 어느 정도 억압하기 때문에 감정 경험을 '파괴'할 것이라고 생각하지만 나는 이것이 지루한 생각이라고 생각합니다. 그러한 말을 하는 사람들은 종종 자신이 시적이며 세상의 경이로움에 열려 있는 척하고 싶어하지만 실제로는 호기심이 심각하게 부족합니다. 그들은 세상이 자신의 제한된 상상보다 더 훌륭하다는 사실을 인정하지 않습니다. 자연은 항상 당신이 생각하는 것보다 더 깊고, 더 풍부하고, 더 흥미롭습니다. 수학은 자연의 아름다움을 감상하는 데 매우 유용한 방법을 제공합니다. 이해하는 능력은 인간과 다른 동물의 가장 큰 차이점이며 우리는 그것을 소중히 여겨야 합니다. 많은 동물들이 감정을 가지고 있지만 오직 인간만이 이성적으로 생각할 수 있습니다. 무지개의 기하학에 대한 나의 이해는 감정적 경험을 전혀 감소시키지 않으면서 무지개의 아름다움에 새로운 광채를 더해준다고 말해야 합니다.

무지개는 하나의 예일 뿐이다. 나는 또한 동물의 움직임에 상응하는 수학적 패턴을 알아차리기 때문에 평범한 사람들과는 다른 관점에서 동물을 관찰합니다. 나는 결정을 볼 때 원자 격자의 아름다움과 외부 색상의 아름다움을 느낍니다. 나는 파도, 모래 언덕, 해가 떴다 지는 것, 웅덩이 속의 빗방울의 잔물결, 심지어 전화선에 앉아 있는 새에서도 수학을 봅니다. 더욱이 안개 낀 바다를 들여다보는 것처럼 일상의 경이로움이 무한한 미지의 것들로 가득 차 있다는 것을 어렴풋이 이해하게 된다.

수학의 본질적인 아름다움을 과소평가하거나 무시해서는 안 됩니다. 수학 연구 자체는 이미 매우 아름답고 우아합니다. 수학의 고유한 아름다움은 우리가 학교에서 사용하는 "덧셈"이 아닙니다. 덧셈의 ​​기본 원리는 그 자체로 아름답지만 대부분 추악하고 무정형입니다. 수학의 고유한 아름다움은 아이디어, 보편성, 순간적인 영감에 있으며, 자와 나침반을 사용하여 각도를 삼등분하는 것은 3이 짝수라는 것을 증명하려는 것과 같습니다. 정7각형이지만 정7각형을 만들 수 있습니다. 간단한 매듭을 풀 수 있는 방법이 없습니다. 왜 일부 무한대는 다른 무한대보다 큰 반면, 더 커야 하는 일부 무한대는 연속된 합과 같은 것으로 판명됩니다. 제곱 (1 4 9…)의 유일한 제곱수는 4900입니다(1 제외).

메그, 당신은 논리적이고 호기심 많은 마음을 가지고 있기 때문에 훌륭한 수학자가 될 가능성이 있어요. 당신은 모호한 주장에 만족하지 않을 것이며, 작동 방법뿐만 아니라 작동 이유도 알고 싶을 것입니다. 게다가, 당신의 편지는 미래에도 당신이 지금처럼 수학의 재미와 아름다움, 즉 세상을 바라보는 독특한 방식을 보게 될 것이라는 희망을 줍니다.

이 내용이 수학을 공부하는 데 필요한 배경 지식이 되기를 바랍니다.