무한 원숭이 이론의 증명

두 개의 독립 이벤트가 동시에 발생할 확률은 각 이벤트가 개별적으로 발생할 확률의 곱과 같습니다. 예를 들어 어느 날 시드니가 비가 올 확률이 0.3 이고 샌프란시스코에서 지진이 발생할 확률이 0.008 인 경우 (이 두 사건은 서로 독립적이라고 볼 수 있음) 동시에 발생할 확률은 0.3 × 0.008 = 0.0024 입니다.

타자기에 50 개의 키가 있다고 가정하면, 네가 쳐야 할 글자는' 바나나' 이다. 임의로 입력할 때 첫 글자' b' 를 입력할 확률은 1/50 이고 두 번째 글자' a' 를 입력할 확률은 1/50 입니다. 사건은 독립적이기 때문에 처음에' 바나나' 라는 단어를 입력할 확률은:

(1/50) × (1/50) × (1/50) × (1/;

그럼 주어진 6 자 중' 바나나' 를 입력하지 않을 확률은 1? (1/50)6. 각 단락 (6 자) 은 독립적이므로 n 개의 연속 단락이 "바나나" 를 입력하지 않을 확률은 Xn 입니다.

N 이 클수록 Xn 이 작아집니다. N 이 1 백만과 같을 때 Xn 은 약 0.9999 입니다 ("바나나" 를 입력하지 않을 확률은 99.99%). 그러나 N 이 1000 억이면 Xn 은 약 0.53 입니다 ("바나나" 를 입력하지 않을 확률은 53%). N = 1000 억일 때 Xn 은 약 0.00 17 ('바나나' 를 입력하지 않을 확률은 0.17%) 입니다. N 이 무한대가 되면 Xn 은 0 이 됩니다. 즉, N 을 충분히 크게 하면 Xn 을 충분히 작게 할 수 있다는 것이다.

같은 논증도 무한한 원숭이 중 적어도 한 명은 특정 문장 한 편만 칠 수 있다는 것을 설명할 수 있다. 여기 Xn = (1? (1/50) 6) n. 여기서 Xn 은 처음 n 마리의 원숭이가 바나나를 한 번도 때리지 못할 확률을 나타냅니다. 우리가 100 억 마리의 원숭이를 가지고 있을 때, 이 확률은 0. 17% 로 떨어졌고, 원숭이 수 N 이 무한대가 되면서' 바나나' 를 하지 않을 확률은 Xn 이 영 (0) 이 되었다.

그러나 제한된 시간과 제한된 원숭이만 있을 때 결론은 크게 다르다. 허블 볼륨의 기본 입자만큼 많은 원숭이가 있다면, 대략 10 80, 초당 1000 자, 계속 100 배 우주의 생명길이 (약/Kloc-) 참조: 확률. 두 경우 모두 모든 문자열로 확장할 수 있습니다.

각 문자가 무작위로 생성되는 무한 문자열이 주어지고 모든 유한 문자열이 하위 문자열로 나타납니다 (실제로는 무한히 여러 번 나타남). 무한한 수의 문자열이 있고 각 문자열의 각 문자가 무작위로 생성되는 시퀀스가 주어지면 일부 문자열의 시작 (실제로는 무제한 문자열의 시작) 에 유한 문자열이 나타납니다. 두 번째 정리의 경우, Ek 가 주어진 문자열이 K 번째 문자열의 시작 부분에 나타난다고 가정해 봅시다. 이 이벤트가 발생할 확률 p 는 고정되고 0 이 아니며 Ek 는 독립적이므로 다음과 같습니다.

이벤트 Ek 가 무한히 여러 번 발생할 확률은 1 입니다. 첫 번째 정리는 비슷한 방법으로 처리할 수 있다. 먼저 각 세그먼트의 길이가 지정된 문자열과 같도록 무한 문자열을 분할한 다음 Ek 를 지정된 문자열과 같은 k 세그먼트의 이벤트로 설정합니다. 구두점, 공백, 대/소문자를 제외하면 원숭이가 치는 첫 글자와 햄릿리의 같은 확률은 26 분의 1 이고, 처음 두 글자와 같은 확률은 676 분의 1 (즉 26 곱하기 26) 이다. 확률이 기하급수적으로 폭발하기 때문에 처음 20 자 같은 확률은 26 의 마이너스 20 승이다! (타이핑된 글자의 -29 승 5.02* 10 은 햄릿의 모든 텍스트와 같은 확률로 사람들의 상상을 초월한다. 햄릿 전체는 약 130000 자 정도입니다. 3.4× 10 183946 의 1 대 1 확률이 한 번에 모든 텍스트를 맞힐 확률이 있지만 텍스트를 맞히기 전에 평균 입력할 글자 수는 3.4×10/Kloc-입니다.

허블 부피에 타자를 치는 원숭이들이 가득해도 햄릿을 생산할 확률은 여전히 10 183800 분의 1 도 안 된다.