다얀 치우이(Dayan Qiuyi) 기술의 예

고대 우리나라 노동자들 사이에서는 '벽 세기', '파이프 절단 기술', '진왕비밀수병' 등 수학 게임이 오랫동안 인기를 끌었다. 심지어 바다를 건너 일본에 수입된 '손자 노래'가 있습니다.

"세 사람이 함께 걷는 일흔, 다섯 그루의 매화 스물한 송이,

7명의 아들이 이달 상반기에 재회했지만, 150년이 지나면 알게 될 것입니다."

이 흥미로운 수학 게임은 세계적으로 유명한 "손자의 문제"에 대한 해결책을 소개합니다. 다양한 형태로 고대 중국 수학의 뛰어난 특징을 대중적인 방식으로 반영합니다.

'손자의 문제'는 현대 수론의 선형 합동 문제로, 우리나라의 4세기 수학적 저작 '손자의 수안경'에 처음 등장했습니다. 『손자수경』 2권의 제목은 '수를 알 수 없는 일이 있다'는 뜻이다. 셋을 세고 둘을 놓으면 다섯을 세고 떠나가는 것이다. 셋, 일곱을 세고 두 개를 남길 것입니다. 이 물건의 총 개수는 얼마입니까? 분명히 이는 부정 방정식 시스템의 양의 정수 해 N을 찾는 것과 같습니다.

N=3x 2, N=5y 3, N=7z 2

또는 다음과 같이 표현됩니다. 현대 정수론 기호, 이는 다음 선형 합동 그룹을 푸는 것과 동일합니다:

N 2(mod3) 3(mod5) 2(mod7)②

"Sun에 주어진 대답 Zi Suan Jing'은 N=23입니다. 손자의 질문에 대한 데이터는 비교적 간단하기 때문에 시행 계산을 통해서도 답을 얻을 수 있습니다. 그러나 이것은 Sun Tzu Suan Jing이 하는 일이 아닙니다. "나는 사물의 수를 모른다"라는 질문의 기술 텍스트는 문제를 해결하는 방법을 지적합니다. 3을 3으로 셀 때 숫자 70을 취하고 5 또는 5로 셀 때 나머지 2를 곱하십시오. , 숫자 21을 취하고 나머지 3을 곱합니다. 7에서 7까지 세고 15를 취하고 나머지 2를 곱합니다. 곱을 더하고 150의 배수를 뺍니다. 공식은 다음과 같습니다:

N=70×2 21×3 15×2-2×105.

여기서 105는 모듈러스 3, 5, 7의 최소공배수입니다. 『손자수안경』이 조건을 만족하는 가장 작은 양의 정수를 준다는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 일반적인 나머지의 경우, "Sun Zi Suan Jing"의 기술 텍스트에서는 위 알고리즘의 나머지 2, 3, 2를 각각 새로운 나머지로 대체하면 충분하다고 지적합니다. R1, R2 및 R3이 이러한 나머지를 나타내는 경우 "손자의 수안징(Suan Jing)"은 다음 공식을 제공하는 것과 같습니다.

N=70×R1 21×R2 15×R3-P×105(p는 정수).

손자 알고리즘의 핵심은 세 숫자 70, 21, 15를 결정하는 데 있습니다. 나중에 유포된 『손자의 노래』에 언급된 "일흔 희귀", "스물한 가지", "반달"이라는 단어는 이 세 가지 핵심 숫자를 암시합니다. "Sun Zi Suan Jing"은 이 세 숫자의 유래를 설명하지 않습니다. 실제로 다음과 같은 특징이 있습니다.

즉, 이 세 숫자는 최소 공배수 M=3×5×7=105에서 모듈러스 3, 5, 7로 감소할 수 있습니다. 그런 다음 정수 2, 1, 1을 각각 곱하여 얻습니다. k1=2, K2=1, K3=1이라고 가정하고 정수 Ki(i=1, 2, 3)를 선택하여 얻은 세 숫자 70, 21, 15를 해당 모듈러스로 나눌 때 나머지는 1입니다. 이로부터 시작하여 나머지가 R1, R2, R3일 때

위의 세 방정식을 결합하면 다음을 얻을 수 있다는 것을 즉시 추론할 수 있습니다.

왜냐하면 M=3× 5×7은 임의의 인수로 나눌 수 있습니다.

여기서 P는 정수입니다. 이것은 "Sun Tzu Suan Jing"의 공식을 증명합니다. 위의 추론을 적용하면 Sun Tzu의 알고리즘은 완전히 유사한 방식으로 일반적인 상황으로 확장될 수 있습니다. 숫자 N이 나머지 R1, R2,를 얻기 위해 서로 소수인 여러 숫자 a1, a2,...an으로 나누어진다고 가정합니다. ..Rn, 즉,

N=Ri (modai) (i=1, 2,...n),

우리는 숫자 Ki의 집합만 찾으면 됩니다 만족하려면

그러면 주어진 선형 합동 그룹에 적합한 가장 작은 양의 해는

입니다(P는 정수, M=a1×a2×……×an). 현대 정수론의 유명한 나머지 정리. 위에서 언급한 바와 같이 『손자소경』의 “사물의 수를 모른다”는 문제의 해결방안에 그 기본형이 포함되어 있다. 그러나 『손자수안경』은 이 일반 정리를 명시적으로 언급하지 않는다.

서기 4세기 중국 산수서에 손자의 문제가 등장하는 것은 우연이 아니다. 고대 중국의 천문학 및 달력 데이터에 따르면 일차 일치 문제에 대한 연구는 분명히 천문학과 달력의 필요성에 의해 주도되었으며 특히 고대 달력의 소위 "상원 누적 연수" 계산과 밀접한 관련이 있었습니다. 우리 모두 알고 있듯이 달력은 시작 시간을 지정해야 합니다. 고대 중국 달력에서는 이 시작점을 "시대" 또는 "상원"이라고 하며, 시대부터 역년까지의 누적 시간을 "상원 누적 연수"라고 합니다. Shangyuan 축적 연수를 계산하려면 일련의 선형 합동 방정식을 풀어야 합니다. 서기 3세기 삼국시대 위(魏)나라가 실시한 '징추 달력(Jingchu Calendar)'을 예로 들면, 이 달력은 동지, 촉단(Shuo Dan)과 가자일이 만나는 시간을 규정하고 있습니다. 0시가 에포크로 사용됩니다. a는 열대년의 일수, b는 대회월의 일수, 동지는 해당 연도 Jiazi의 0일로부터 R1일, Pingshuo 시간의 R2일, 그리고 위안 상품 번호 N이라고 가정합니다. "Jingchu Calendar"에서는 합동군

aN=Ri(mod60)=R2(mdb)

해결책 ①입니다. 남조와 북조 시대에 Zu Chongzhi의 "Da Ming Calendar"(AD 462)는 역년이 동시에 Jiazi의 시작에 있어야 하며 "해와 달이 벽을 결합한다"고 요구했습니다. 그리고 "다섯 개의 별이 합쳐진다"(즉, 태양, 달, 다섯 개의 행성이 같은 방향에 있음). 달은 우연히 근지점과 상승교점을 통과하게 됩니다. 이러한 조건에서 마지막 위안의 누적 연도를 계산하는 것은 10개의 합동 방정식을 푸는 것과 같습니다. 천문 및 달력 데이터는 일반적으로 매우 복잡합니다. 따라서 손자 손경이 작성되기 전후의 위(魏), 금(金), 남(南) 및 북조(南朝) 시대에 우리나라의 천문 및 역법 수학자들은 의심할 바 없이 "만물은 불가능하다"는 문제를 해결할 수 있었습니다. counted"는 "손자수안경"보다 좀 더 복잡한 형태로 되어있습니다. 선형합동이 많기 때문에 일정한 순서에 따라 선형합동을 계산하는 방법을 숙지해야 합니다. 『손자수안경』의 비율 질문 형식은 이러한 사실을 요약하고 반영한다. 앞으로도 천문학자와 연감학자들은 계속해서 손자의 알고리즘을 사용하여 원나라 연도를 계산할 것이며, 이는 확실히 더욱 심층적인 논의로 이어질 것입니다. 서기 13세기에 위대한 수학자 진구소(秦九宇)는 이전의 모든 방법을 모아 마침내 합동 공식 연구에서 전임자들을 능가하는 눈부신 결과를 얻었습니다.

진구소(秦修宇)는 남송(南宋)에 살았으며, 어릴 때부터 수학을 좋아하여 오랜 세월 공부하여 『수학구장』을 썼다. " 서기 1247년. 이 중세 수학적 걸작은 여러 측면에서 혁신적이었습니다. 그 중 선형 합동군을 해결하는 "다얀 기법"과 고차 방정식의 수치적 해를 구하는 "양수 및 음수 제곱근 기법"은 세계적으로 중요한 업적입니다.

여기에서는 일차 합동 이론에 대한 진구소(秦保宇)의 큰 공헌을 주로 소개합니다.

진지우샤오는 『민수기9장』에서 선형 합동군을 풀기 위한 일반적인 계산 단계를 명확하고 체계적으로 설명했습니다. 진의 방법은 앞서 언급한 나머지 정리와 정확히 같습니다. 우리는 나머지 정리가 일반적인 숫자 집합 Ki를 선택한다는 것을 알고 있습니다. Qin Jiushao는 이 숫자를 "곱셈 비율"이라고 명명하고 곱셈 비율을 계산하는 방법을 자세히 설명했습니다. "민수기 구장", "대안 일반 기술" 제1권의 "다안 치우이 기술"입니다.

'다얀 기이 기법'을 소개하기 위해 승수 ki 계산을 예로 들어보겠습니다. Gi=

Gi=gi(modai)이면,

kiGi=Kigi(modai),

그러나 kiGi=1(modai) 이후,

p>

따라서 문제는 kigi 1(modai)이 되도록 ki를 찾는 것으로 귀결됩니다. Qin Jiushao는 ai를 "고정수", gi를 "홀수"라고 불렀습니다. 현대 언어로 설명된 그의 "Dayan Qiu Yi 기술"은 실제로 홀수 gi와 고정수 ai를 반복적으로 나누어 몫 q1을 얻는 것입니다. q2,... ...qn과 나머지 r1, r2, ...rn을 차례대로 나누면 아래 오른쪽 열의 c 값이 계산됩니다.

Qin Jiushao는 다음과 같이 지적했습니다. rn=1이고 n은 짝수입니다. 최종적으로 구한 cn은 필요한 곱셈율 ki입니다. r1=1이고 n이 홀수인 경우 rn-1과 rn을 나누고 공식적으로 qn 1=rn-1-1로 놓고 나머지 rn 1은 여전히 ​​1이고 cn 1=qn 1Cn Cn-1을 수행합니다. , 이때 n1은 짝수이고, cn1은 원하는 ki이다.

두 경우 모두 마지막 단계의 나머지는 1이 되며 전체 계산은 여기서 끝납니다. 따라서 Qin Jiushao는 자신의 방법을 "Qiuyi Shu"라고 불렀습니다. "Dayan"의 의미에 대해서는 Qin Jiushao 자신이 서문에서 말했습니다. "민수기의 9장"을 "주역"의 "다얀의 수"에 첨부합니다. Qin Jiushao의 알고리즘은 완전히 정확하고 매우 엄격한 공식임을 증명할 수 있습니다.

진구소(秦九宇) 시대에도 계산은 여전히 ​​칩을 사용했다. Qin Jiushao는 작은 정사각형 접시의 오른쪽 상단에 홀수 g, 오른쪽 하단에 고정 숫자 a, 왼쪽 상단에 1을 배치했습니다(그는 이를 "Tian Yuan 1"이라고 불렀습니다). 오른쪽 행 위아래로, 결과 몫은 왼쪽 위(또는 아래)와 같으며 오른쪽 위에 1이 나타날 때까지 왼쪽 아래(또는 위)에 곱해집니다. 다음 페이지는 Qin Jiushao의 일반적인 계산 다이어그램입니다. 오른쪽은 수치 예입니다(g=20, a=27, K= c4=23).

진지우샤오는 『서서구장』에서 『고력의 축적』, 『지치의 근원 찾기』, 『지력의 추론』, 『성행기의 지구』 등 수많은 사례를 수집했다. "등등, Dayan Qiuyi 기술을 널리 사용하여 달력, 엔지니어링, 세무 및 군사 문제와 같은 실제 문제를 해결했습니다. 이러한 실제 문제에서 모듈러스 ai는 항상 쌍별로 상대적으로 소수인 정수는 아닙니다. Qin Jiushao는 "기본 숫자"(ai는 정수), "수신 숫자"(ai는 소수), "일반 숫자"(ai는 분수)와 같은 다양한 상황을 구별하고 각 상황을 처리하는 방법을 제시했습니다. "Dayan Zongshu"는 "허용 숫자"와 "통과 숫자"를 "요소 번호"로 변환하여 계산하고 요소가 서로 소수가 아닌 상황에 대해 신뢰할 수 있는 절차를 제공하여 해당 요소를 적절하게 선택합니다. 요소가 결정되고 문제는 쌍별 상호소수 ①의 경우로 축소된다. 이 모든 체계적인 이론과 신중한 고려는 오늘날의 관점에서도 간단하지 않으며, 이는 Qin Jiushao의 뛰어난 수학적 수준과 계산 능력을 충분히 보여줍니다.

진지우샤오는 어렸을 때 아버지를 따라 남송의 수도인 항저우로 가서 태사국(천문과 달력을 담당하는 기관) 관료들에게 천문학과 달력을 배웠다. . "Dayan Qiu Yi Shu"는 아마도 천문학과 달력 계산에 대한 그의 요약일 것입니다. 그러나 동시대 사람들은 "다얀추이수"를 완전히 이해하지 못한 것 같습니다. 명나라 중기 이후에는 거의 소실되었습니다. '대연구의 기술'이 재발견된 것은 청나라 시대가 되어서야 많은 학자들(장둔렌, 리루이, 낙등풍, 황종현 등)의 관심을 불러일으켰습니다. 그들은 "Dayan Qiu Yi Shu"를 설명하고 개선하고 단순화했으며 그중 Huang Zongxian의 "Qiu Yi Shu Tongjie"는 모듈이 쌍소수가 아닌 상황에 대해 더 간결한 방법을 제공했지만 시대는 이미 청나라 말기였습니다.

'손자수경'의 '사물은 번호를 매길 수 없다'는 질문부터 진구소의 '다옌기이 기법'까지, 고대 중국 수학자들의 선형 합동 연구는 역사에 한 획을 그었을 뿐만 아니라 중국수학은 세계에서도 수학의 역사에서 영광스러운 자리를 차지하고 있습니다. 유럽에서 선형 합동을 처음으로 접한 사람은 진구소(秦保孝)와 동시대인인 이탈리아 수학자 페보나치(1170-1250)였다. 그는 『알고리즘』에서 두 가지 선형 합동 문제를 제시했지만, 그 문제는 없었다. 일반 알고리즘. 형식부터 데이터까지 이 두 가지 질문은 Sun Tzu의 Wuzhenshu 질문과 유사하며 전체 수준은 "Sun Tzu의 Suan Jing"을 초과하지 않습니다. 18세기와 19세기가 되어서야 위대한 수학자 오일러(1743년)와 가우스(1777-1855년)가 일반 합동 공식에 대해 상세한 연구를 진행하여 진구소(秦九守)를 되찾았습니다. "Dayan Quyi Shu"의 동일한 정리를 사용하여 모듈이 서로 소수인 경우에 대해 엄격한 증명을 제공했습니다. 오일러와 가우스는 중국 연구에 대한 사전 지식이 없었습니다. 서기 1852년 영국 선교사 윌리엄 알렉산더(1815~1887)는 『손자수경』에 나타난 '수무지' 문제를 소개한 『중국과학발췌』와 진구소의 해법을 발표해 유럽 학자들의 주목을 끌었다. 1876년 독일의 마티젠(1830~1906)이 손자의 문제에 대한 해법이 가우시안 방법과 일치한다는 점을 처음 지적했다. 당시 독일의 유명한 수학사학자 칸토어(1829~1920)는 마티젠의 글을 읽고 높이 평가했다. '다얀' 기술'이라며 이 방법을 발견한 중국 수학자를 '가장 행운의 천재'라고 칭찬했다. 오늘날까지도 "Dayan Qiu Yi Shu"는 여전히 서양 수학 역사가들 사이에서 강한 연구 관심을 불러일으키고 있습니다.

예를 들어, 1973년 미국에서 출판된 수학사 논문 『13세기 중국 수학』에는 제1합동론에 대한 중국 학자들의 업적이 체계적으로 소개되어 있는데, 저자 리브렉(벨기에)은 진에 대해 논평하고 있었다. Jiushao의 공헌. 그는 다음과 같이 말했습니다. "불확실성 분석에 대한 Qin Jiushao의 연구는 꽤 초기 단계입니다. 이를 고려하면 Sutton은 Qin Jiushao를 '그의 나라, 그의 시대, 그리고 실제로 모든 시대의 가장 위대한 사람'이라고 불렀다는 것을 알게 될 것입니다." 수학자들은 "과언이 아닙니다."

인도 학자들도 선형 합동 이론에 중요한 공헌을 했습니다. 서기 6세기부터 12세기까지 그들은 선형 합동에 해당하는 부정 방정식 시스템을 풀기 위해 "Kutaka"라는 알고리즘을 개발했습니다. "쿠타카(Kutaka)" 방법은 인도 수학자 브라만 굽타(7세기), 마하비라(9세기) 등의 연구에서 알 수 없는 물체 수의 문제와 동일한 선형 합동 문제가 등장했습니다. 물론 "구타카" 방법이 손자의 알고리즘에 영향을 받았다고 결론을 내리는 것은 아니지만 일부 사람들(완하이이 등)은 중국의 "다얀추이 기술"이 "쿠타카"에서 유래했다고 주장합니다. 는 근거 없는 주장이다. Wan Haiyi는 실제로 "Dayan Shu"에 대한 인도의 영향에 대한 중요한 기반으로 숫자를 왼쪽에서 오른쪽으로 가로로 쓰는 중국 알고리즘을 사용했습니다. 우리 모두가 알고 있듯이 고대 중국에서는 늦어도 춘추전국시대부터 산술계산을 사용하기 시작했는데, 이러한 왼쪽에서 오른쪽 계산 방식은 기원전 3세기의 현존 화폐에서도 여전히 볼 수 있습니다. 이는 완하이이의 주장이 얼마나 우스꽝스러운지 보여준다. 고대 중국 수학자들은 선형 합동 이론에 대한 연구에서 명백한 독창성과 계승성을 가지고 있습니다. 세계 수학사에서 "다옌추이슈(Dayan Qiu Yi Shu)"의 높은 지위는 의심할 여지가 없습니다. 선형 합동군을 풀기 위한 나머지 정리를 "중국 나머지 정리"라고 불렀습니다.

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① 다시 "손자송" "한신은 병사들을 가리킨다"라는 이름은 명나라의 "통종법"(AD 1592)에 기록되어 있지만 실제로는 그 이전에도 인민들 사이에 퍼졌다.

① 신기원의 정의에 따르면, 신기원부터 해당 연도의 동지까지 정확히 N 열대년(일 × N일)이 지났습니다. Jiazi 달력은 60일 주기로 시작하므로 60을 aN으로 나누면 나머지는 해당 연도의 동지부터 가장 가까운 Jiazi 날짜까지의 일수여야 합니다. 이는 합동 공식 aN=R1( mod60). 두 번째 합동 방정식도 같은 추론으로 유도할 수 있습니다.

① 연수를 쌓는 방식은 원래 한나라 때부터 시작됐다. 그러나 한나라의 천문학자와 달력학자들은 당시 천문관측의 특별한 자료를 활용했기 때문에 원나라의 연호를 계산하려면 덜 복잡한 자료로 한두 가지의 선형합동방정식만 풀면 되었다. 예를 들어, "삼통력"(기원전 1세기)의 상원 누계 연도는 145×4617×p=135(mod 1728) 형식을 만족함을 확인할 수 있습니다(P는 정수, 누산 연 수 x =4617×p)

수식. 이러한 합동 방정식의 답은 시행 계산을 통해 얻을 수 있습니다. 3세기부터 천문측량 기술이 발달하면서 달력에 대한 보다 정확한 요구사항이 제시되었고, 이때 원나라의 연대를 계산하는 합동공식이 점점 더 복잡해지면서 천문학자들은 이를 촉발시켰다. 이때 선형합동식의 일반적인 계산방법을 모색한다.

① 실제로는 l2=q2, L3=q3L2 1, L4=q4L3 L2,...Ln=qnln-1 ln-2, 그러면 r1=ai-giq1=ai-c1gi, r2라고 하자. = gi-r1q2=gi-(ai-c1gi)q2=c2g4-l2a4, r3=r1-r2g4=(ai-c1gi)-(c2gi-l2ai)q3=l3ai-c3gi,…………rn=1이고 n n이 짝수인 경우(텍스트에 따르면 n이 홀수인 경우는 항상 짝수로 처리될 수 있음) rn-1=lI-1; , 이는 cngi(modai)입니다. 이는 Cn이 원하는 K3임을 증명합니다.

② Qin Jiushao가 채택한 방법은 해당 요소 ai의 적절한 공통 인수를 줄여 각 요소 ai에 대해 요소 ti를 얻는 것입니다. 따라서 m=t1×t2×… 이것은 ai의 최소공배수이며 각 ti는 서로 소수이다. 그런 다음 이 ti를 명확한 숫자로 사용하고 Dayan 계산 방법에 따라 해당 ki를 계산합니다.