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수학적 이해와 발견

Yu Guohai 편집

섹션 1: 제곱근 2의 기원에서 이발사의 역설까지

1. 제곱근 2의 출현 - 최초의 수학적 위기

10대 "아름다운 정리": 제곱근 2는 무리수이며, 그 다음으로 "Π는 "초월수"입니다. 위대한 수학자 페르마의 결론인 4색 정리

피타고라스(기원전 약 580년 ~ 기원전 500년)

고대 그리스 기하학자 유클리드는 근수 2가 무리수임을 증명했습니다.

피타고라스: '철학'과 '수학'의 창시자, 전자는 '지적 취미'를 뜻하고 후자는 '지식을 배울 수 있다'는 뜻이다. 피타고라스학파의 핵심 견해는 "모든 것은 숫자이다"라는 것입니다. 이는 우주의 모든 것이 정수 또는 정수의 비율로 거슬러 올라갈 수 있다는 것을 의미합니다. 이 학교는 최초의 수학적 위기를 촉발한 피타고라스 정리를 발견했습니다.

2. 무한소는 0과 같다 - 두 번째 수학적 위기

뉴턴과 라이프니츠가 창시한 미적분학은 '무한소'에 기초를 두었는데, 결국 무한소는 무엇인가? 작은? 뉴턴은 추론할 때 극소수를 분모로 취급하고 그 극소수를 나눕니다. 그러면 극소수는 0이면 분모로 사용할 수 없고, 0이 아니면 0이 될 수 없습니다. 제거되었습니다. 이것은 미적분학이 느슨한 곳입니다.

1734년 주관적 관념론 철학의 창시자인 조지 버클리(George Berkeley)가 이 문제에 의문을 제기했고 이는 제2차 수학적 위기로 이어졌다.

이 논쟁은 100년 후에도 계속되었으며, 프랑스의 유명한 수학자 코시(Cauchy)와 이후 바이에르슈트라스(Weierstrass), 데데킨트(Dedekind), 칸토어(Cantor)가 실수 이론에서 확립한 극한 이론은 미적분학 이론 A였습니다. 엄격한 논리적 기반이 마련되었습니다.

3. 이발사의 역설 - 세 번째 수학 위기

19세기 후반에 칸토어는 유명한 집합론을 창시했는데, 이는 마침내 수학 과학의 토대를 마련했습니다. 안정된 발판.

그러나 영국의 철학자 버트런드 러셀은 다음과 같은 결론을 내렸습니다. 집합론은 절대적으로 엄격하지 않으며 결함이 있습니다. 예를 들어, 이발사가 "자기에게 머리를 깎지 않는 사람들"에게 머리를 깎고 싶다면 스스로 머리를 깎아야 할까요? 자신이 이발을 하지 않는다면 조건이 충족되면 스스로 이발을 해야 한다. 하지만 스스로 이발을 하면 조건에 맞지 않으니 스스로 이발을 해서는 안 된다.

2부: 유클리드에서 로바체프스키까지

1. 유클리드와 '원소'

'원소' 기원전 3세기 유클리드가 쓴 작품이다. "수학의 성경"으로 알려져 있습니다.

고대 그리스 알렉산드리아 학파 초기의 3대 수학자: 유클리드, 아폴로니우스, 아르키메데스

가우스(19세기)는 '뉴턴 다음의 수학자'로 인정받는다. 수학자들의 왕.” 평행 공리를 증명할 수 있는 비유클리드 기하학의 존재가 발견되었지만 제안되지는 않았습니다.

2. 로바체프스키와 비유클리드 기하학

비유클리드 기하학의 창시자는 일반적으로 로바체프스키와 볼료로 간주됩니다.

로슈 기하학과 유클리드 기하학의 본질적인 차이점은 서로 다른 평행 공리에 있습니다.

Fio 기하학에는 리만 기하학도 포함됩니다.

리만은 가우스의 마지막 제자였습니다.

독일 과학자 클라인은 비유클리드 기하학에 대해 통일된 설명을 내놓았습니다. 그는 유클리드 기하학을 '포물선 기하학', 로슈 기하학을 '쌍곡선 기하학'(삼각형의 내각의 합이 180도보다 작음)이라고 불렀습니다. ) , 리만 기하학은 "타원 기하학"(삼각형의 내각의 합이 180도보다 큼)이라고 불립니다.

칸트의 이상주의입니다.

비유클리드 기하학 발견의 역사는 본질적으로 기하학에 있어서 유물론과 관념론 사이의 투쟁의 역사이다.

3절 피타고라스의 정리에서 페르마의 추측까지

피타고라스의 정리라고도 알려진 피타고라스의 정리는 어떤 사람들에게는 '기하학의 진주'라고도 불리며, 다른 사람들이 제시한 “기하학의 진주”는 “역사상 최초의 정리”입니다.

피타고라스는 피타고라스의 정리를 증명했습니다.

중국 서주(西周)나라 상고(商高)는 서양보다 500여년 앞서 피타고라스의 정리를 증명했다.

1. 피타고라스 정리의 증명

Zhao Shuang의 증명:

수학 부문 최고상 - 필즈상

2 , 대수 피타고라스 정리에 관한 연구

피타고라스 수의 통일된 표현에 대해서는 일반적으로 다음과 같은 공식이 사용된다.

17세기에는 페르마의 추측:

형식 예를 들어 x^n y^n=z^n 방정식의 경우 ngt;2일 때 양의 정수 해 집합을 찾을 수 없습니다.

오일러는 n=4 또는 3일 때 양의 정수 해가 없다는 것을 증명했습니다.

영국의 수학자 앤드류 와일스는 1995년 마침내 페르마의 추측을 증명했습니다.

4절 주이팔괘에서 이진수로

라이프니츠는 미적분학과 이진법을 창안한 백과사전적 학자라고 할 수 있다.

『역서』에는 태극권은 두 개의 기구를 낳고, 두 개의 형상은 네 개의 형상을 낳고, 네 개의 형상은 팔괘를 낳는다고 합니다. Kun, Gen(gen), Kan, Xun(xun), Zhen, Li, Dui, Qian. "오프 상태"는 0으로 표시됩니다.

섹션 1 완전수와 유사수

1903년 코시는 2^67-1 = 193707721x761838257287라는 학술 보고서를 발표했는데, 이는 "2^67"을 부정하여 큰 반향을 일으켰습니다. -1은 소수입니다." 이는 "2^66x(2^67-1)이 완전수입니다"도 부정합니다. 메이슨의 추측은 기각되었습니다.

2^p-1(p는 소수) 유형의 소수를 정수론에서는 메르센 소수라고 합니다. 사람들이 찾는 큰 소수는 기본적으로 메르센 소수입니다.

소수는 소수라고도 합니다.

1. 완전수

숫자는 모든 인수의 합과 같을 때 완전수입니다( 자체 제외). 예를 들어 6=1 2 3이고 28도 마찬가지입니다. (확장: 달은 28일 동안 지구를 공전한다. 고대 중국 왕조에는 예절, 음악, 활쏘기, 조정, 서예, 수학이라는 여섯 가지 예술이 있었다. 진시황은 여섯 가지를 나라의 수로 사용했는데, 이십 가지 예술이 있었다. 하늘에 8개의 별이 있습니다.)

"2^n-1이 소수라면 자연수 2^(n-1)x(2^n-1)은 완전수여야 합니다. ." 유클리드는 이 명제를 증명하여 다음이 완전수임을 보여주었다. n=2, 3, 5, 7일 때.

고대 그리스 수학자 니코마코스는 자연수를 완전수, 잉여수, 적수라는 세 가지 범주로 나누었습니다. 모든 참인수의 합과 같은 자연수를 완전수라고 하며, 이 숫자가 더 큽니다. 그 합이 자신의 참인수보다 작은 자연수를 잉여수라고 하고, 고유인수의 합보다 작은 자연수를 결핍수라고 합니다.

짝수 완전수와 메르센 소수 사이에는 일대일 대응이 있습니다.

2. 친화수

220의 모든 진인수의 합은 284이고, 284의 모든 진인수의 합은 220입니다. 피타고라스는 이 두 숫자를 "친화력의 수" 또는 "친구의 수"라고 불렀습니다. 즉, 두 자연수 중 하나가 다른 숫자의 실제 인수의 합이면 두 숫자는 친화도입니다.

1636년 페르마는 두 번째 친화수 쌍인 17296과 18416을 발견했습니다. 2년 후, 데카르트는 세 번째 친화성 숫자 쌍인 9437056과 9363584를 발견했습니다.

1747년에 오일러는 61쌍의 친화수를 직접 나열했지만 두 쌍은 틀렸습니다.

나중에 수천 쌍의 연관 숫자가 발견되었습니다.

전자컴퓨터가 탄생하면서 100만 미만의 자연수에 대한 친화수는 42쌍, 10만 미만의 경우에는 13쌍에 불과하다는 사실이 밝혀졌다.

섹션 2 메르센 소수

메르센 소수는 무한히 많습니다.

1. 종이와 연필로 미적분학 시대의 열심히 탐구

종이와 연필로 미적분학 시대에는 메르센 소수가 12개만 발견되었습니다.

2. 머신컴퓨팅 시대의 획기적인 돌파구

GIMPS(Internet Mersenne Prime Search) 프로젝트는 2018년 51번째 메르센 소수(2^82589933-1)를 발표했는데, 지금까지 발견된 소수 중 가장 큰 소수다.

3. 결론

큰 메르센 소수를 찾는 것은 전통적인 컴퓨터 암호화 알고리즘을 개선하는 데 도움이 될 것입니다.

섹션 3 수선화 수 및 카프리갈 수

수선화 수: 전통적인 이름은 "입방 회귀 수" 또는 "자생수"입니다. 153=1^3 5^3 3^3

n자리 자연수가 각 자리의 n제곱의 합과 같을 경우 이를 n자리 n번째 자연수라고 합니다. 거듭제곱 회귀수.

복숭아꽃 갯수 : 1634=1^4 6^4 3^4 4^4

꽃개수, 꽃개수라고도 합니다.

1986년에 수학 교사 Anthony Dilana는 회귀할 수 있는 n자리 숫자의 수가 최대 60자리에 불과하다는 것을 증명했습니다.

2. Caplie Addendum

숫자를 반으로 나누고(홀수인 경우 상위 비트를 0으로 채움) 더한 다음 제곱하면 정확히 원래 숫자인 경우 이러한 숫자를 "Caprie의 가산수" 또는 "썬더볼트 수"라고 하며 "분할 및 제곱 재생수"라고도 합니다. 이러한 숫자에는 2025, 3025, 9801 등이 포함됩니다.

(x y)^2 = 100x y

Caplie의 가장 작은 합은 81입니다. ((8 1)^2=81)

넷째 희귀한 보물 코너

1. 가장 신비한 숫자 142857

1/7 = 0.142857...

숫자 142857에 1부터 6까지 곱하면, 디지털 환생 사분면이 나타납니다.

2. 회문

왼쪽에서 오른쪽으로 읽는 것은 왼쪽에서 왼쪽으로 읽는 것과 똑같습니다.

12345678987654321번은 올리브수라고 불리며 완전제곱수이기도 합니다.

3. 자동형 숫자

정사각형의 가수는 숫자 자체와 같습니다. 이러한 숫자를 자동형 숫자라고 합니다. 예: 25x25=625

4. 가장 불운한 숫자는 13

동양에서는 13이 매우 행운의 숫자이다. 중국에 소개된 불교 13종은 공덕의 완성을 상징하며 포탈라궁 13층, 천녕탑 13층 등이 있습니다.

하지만 서구권에서는 13이라는 숫자가 금기시된다. 예수님의 제자 유다가 최후의 만찬에 참석한 날은 13일이었습니다. 따라서 호텔에는 13층이 없고, 공항에는 13번 게이트가 없습니다.

5. 이상한 멱등합

다음 두 숫자 집합의 거듭제곱의 합은 동일합니다:

0의 거듭제곱의 합에서 8의 거듭제곱의 합은 모두 같지만, 9제곱에서는 두 집합의 거듭제곱이 같은 현상이 사라집니다.

1900년에 수학자 힐베르트는 "힐베르트의 문제"라고 불리는 유명한 23가지 미해결 수학 문제를 제안했습니다.

2000년 미국 클레이수학연구소(Clay Mathematics Institute)는 '7천년 수학 문제'(상금 100만 달러)를 제안했다.

섹션 1 아름다운 수학 정리: 오일러 공식과 바젤 급수

1. 오일러 공식

2. 바젤 급수

0이 아닌 모든 자연수의 제곱의 역수의 합. 오일러의 주장을 통해 얻은 결과는 오일러의 고향인 스위스 바젤의 이름을 따서 명명되었습니다. 이 주장은 매클로린 급수(Maclaurin series)를 사용합니다.

바젤 계열의 발전으로 리만 가설이 탄생했습니다.

s=-2, -4, -6...을 제외하고 이 함수의 영점은 모두 복소 평면 실수 부분이 1/2인 직선 위에 분포되어 있습니다.

섹션 2: 우주 진화의 법칙: 황금분할과 피보나치 수열

1. 황금분할

주어진 라인에 대해 피타고라스에서 유래 세그먼트 AB, 그 위에서 점 C를 찾으세요. 이 점 C는 점 C에 의해 두 개의 긴 선분과 짧은 선분으로 나뉘어져 있습니다. 따라서 긴 선분의 길이와 전체 선분의 길이의 비율은 다음과 같습니다. 짧은 선분의 길이를 더 긴 선분의 길이로 변환합니다. 비율은 (√5-1)/2로 약 0.618입니다.

2. 어디에나 존재하는 황금분할

북위 30°선은 4개의 고대 문명을 관통합니다.

인간이 생존을 위해 의존하는 4대 핵심 부위인 배꼽, 목, 무릎, 팔꿈치 관절은 4대 황금분할이다.

사람의 정상 체온인 37°C와 0.618을 곱한 값이 22.9°C이기 때문에 우리는 22~24°C에서 가장 편안함을 느낍니다.

건축에 적용 : 파르테논 신전, 인도의 타지마할, 파리의 노트르담, 프랑스의 에펠탑.

레오나르도 다빈치의 '모나리자 스마일'과 '비트루비우스적 인간'.

오각형과 정오각형.

3. 피보나치 수열

꽃잎이 21개인 것도 있고, 꽃잎이 34개인 것도 있고, 꽃잎이 55개인 것도 있습니다. 이 숫자는 피보나치 수열과 관련이 있습니다: 1, 1, 2, 3, 8, 13, 21, 34, 55....

"토끼 번식 문제"

거기 피보나치 수열과 황금분할 사이의 고유한 연결은 수열 번호가 증가함에 따라 두 개의 인접한 피보나치 수열이 점차 황금분할 비율에 가까워집니다.

황금 직사각형: 새 정사각형의 변의 길이는 가장 가까운 두 정사각형의 변의 합과 같습니다.

섹션 3: 동양 수학의 걸작: 중국 나머지 정리

"중국 나머지 정리"(손자의 정리라고도 함)는 윌슨의 정리와 유사한 정수론의 기본 정리입니다. 정리와 오일러의 정리, 페르마의 작은 정리 등 정수론의 4대 정리라고도 알려져 있습니다.

손자의 산술 고전에서 따온 것입니다. 즉, 정수를 3으로 나누면 나머지가 2이고, 5로 나누면 나머지가 3이고, 7로 나누면 나머지가 입니다. 2. 이 정수를 찾으세요. (답은 105n 23입니다.)

해결 방법: 70x2 21x3 15x2-105n

Qin Jiushao의 "민수기 9장"은 "다얀이 기술을 추구합니다."라는 일반적인 표현을 제공합니다. "

Han Xin의 Dian Bing은 유사한 문제의 대표자이다

섹션 4 수학 에베레스트: 골드바흐의 추측

“자연과학의 여왕은 수학, 과학의 왕관 수학 그것은 정수론이고, 골드바흐의 추측은 최고의 보석이다.”

소수(소수라고도 함): 1과 자기 자신으로만 나눌 수 있는 수.

"2보다 큰 짝수는 두 소수의 합으로 표현될 수 있습니다."

독일 수학자 골드바흐.

2. 골드바흐 추측의 고된 탐색

“포위 좁히기”

1966년, 7년간의 노력 끝에 Chen Jingrun은 “1 2”: 충분히 큰 모든 짝수는 소수와 2개 이하의 다른 소수의 곱입니다.

이 장의 보충 자료

1. 가장 아름다운 수학 공식:

인도의 수학 천재 라마누잔이 발견한:

2. "쌍둥이" "소수 추측"

"쌍둥이 소수 추측": 소수 p는 무한히 많으므로 p 2도 소수입니다.

Chen Jingrun이 증거를 제시했습니다.

3색 및 4색 추측

미국의 한 수학자는 컴퓨터에 1,200시간을 소비하고 그 추측을 검증하기 위해 100억 번의 판단을 했습니다.

2016년 길림수학협회의 유성런(宇泉仁)은 수학적 방법을 사용해 세계 3대 수학 문제 중 하나인 '4색 정리'를 증명했다.

섹션 1 수학적 문제 해결의 의미, 의미 및 수준

수학적 문제 해결은 수학 학습을 통해 이루어집니다.

등차수열 합산 공식:

섹션 2 발견을 위한 문제 해결

1. 문제 해결 솔루션의 다양화 추구

2 . 문제 해결 솔루션의 최적화 추구

3. 문제에 대한 생성적 사고 추구

섹션 1: 숲의 경이로움 계산 - 황금 매미 탈출

1 , 황금 매미는 껍질을 벗고 죽을 때까지 변하지 않습니다.

두 숫자 집합의 경우 합은 같고 제곱의 합도 같습니다. 왼쪽에서 오른쪽으로 또는 오른쪽에서 왼쪽으로 동시에 지우면 속성이 변경되지 않습니다.

두 숫자 집합의 거듭제곱의 합은 같습니다.

2. 거듭제곱의 합의 배열을 구성합니다.

다음에서 새 배열을 생성할 수 있습니다. 알려진 배열.

2부 우박 게임

1. 카쿠타니 시즈오 시리즈

짝수이면 m/2, 홀수이면 m/2가 되고, 3m 1이 됩니다. 이 작업을 반복하면 마지막 숫자는 예외 없이 1이 됩니다.

2. "123" 계열

임의의 자연수를 쓰고, 짝수, 홀수, 정수의 수를 쓰고, 이 작업을 반복하면 결국 모두 123이 됩니다.

3. "6174" 시리즈

인도 수학자 카프리에가가 발견한 네 자리 숫자를 쓰고 큰 숫자에서 작은 숫자로 정렬하면 그 뒤에 또 다른 숫자가 나옵니다. 정렬하고 두 숫자를 빼고(숫자가 클수록 작은 숫자가 감소함) 이 작업을 반복하면 최종 숫자는 6174가 됩니다.

섹션 3 토론: 수학적 발견에서의 관찰 및 실험

1. 과학적 관찰 및 과학적 실험

2. 수학적 관찰 및 수학적 실험

섹션 1 마방진 및 멱등합 문제

"Luo Shu"

Luo Shu의 각 작은 원은 1을 나타낼 수 있으며 숫자 형식은 다음과 같습니다.

그림의 각 행, 열, 대각선에 있는 세 숫자의 합이 15인 3차 마방진입니다.

홀수차 마방진을 쉽게 구성하는 방법(라우버가 발명한 계단법):

1. 풍부한 의미를 지닌 3차 마방진

Magic 사각형, 멱등성 및 배열 존재 사이에는 신비한 내부 연결이 있습니다. 그림 6-2의 첫 번째 열과 세 번째 열의 제곱의 합은 같습니다.

새로운 멱등원 및 배열 방법 생성:

2. 흥미로운 4차 마방진

잘 알려진 4차 마방진은 Indian Tai입니다. 수사비에 있는 마방진:

각 행과 열의 대각선의 합은 34이고, 무작위로 정사각형을 그리면 네 모서리에 있는 네 개의 숫자의 합도 34입니다. . 더욱 놀라운 점은 행(또는 열)을 반대쪽으로 이동해도 그림 6-4와 같이 결과적인 양의 배열이 여전히 마방진이라는 것입니다.

3. 무한히 매력적인 n차 마방진

섹션 2 사면체 부피 공식의 발견

삼각형의 공식은

S=(1/2)xaxh

또는

S=(1/2)xaxbxsinθ

사면체의 부피 공식은 다음과 같습니다.

V=(1/3)xSxh

그러면 삼각형 넓이 공식과 유사한 사면체에 대한 두 번째 표현 방법이 있습니까?

삼각형의 인접한 두 변 a와 b와 반대 변 c가 주어지면 삼각형의 인접한 두 변 사이의 각도는 다음과 같습니다.

cosθ = (a^2 b ^ 2-c^2)/2ab

섹션 3 토론: 수학적 발견의 귀납법과 유추

추론은 핵심 수학 능력의 중요한 요소로 간주됩니다.

추론은 일반적으로 논리적 추론과 연역적 추론으로 나누어진다. 많은 수학적 지식의 독립적인 구성 과정은 "먼저 추측하고 나중에 증명하는" 과정인 경우가 많습니다. '추측'이란 합리적인 추론을 의미하며, 귀납법, 유추 등의 추론 방법으로 구현됩니다. "증명"은 논증적 추론이라고도 알려진 연역적 추론을 의미합니다.

1. 귀납적 추론, 유추적 추론 및 연역적 추론

귀납적 추론은 구체적인 것에서 일반적인 것까지 추론하는 것으로 일반적으로 불완전 귀납과 완전 귀납으로 나눌 수 있습니다.

유추 추론은 구체적인 것에서 구체적인 것으로 추론하는 것으로, '유추'라고도 합니다.

연역적 추론은 일반적인 것에서 특정한 것으로 추론하는 것입니다.

2. 수학적 발견의 귀납적 추론

수학적 문제가 소수와 관련되면 의미 있는 연구 대상이 될 수 있습니다.

골드바흐의 추측: 4보다 큰 짝수는 두 개의 홀수 소수의 합으로 표현될 수 있습니다.

바셰의 "4제곱수 정리": 모든 자연수는 1, 2, 3 또는 4개의 제곱수의 합으로 표현될 수 있습니다. (4개의 제곱수의 합으로 표현되어야 하는 7=4 1 1 1은 제외).

페르마 소수:

페르마는 1640년에 이 추측을 제안했지만 n=5일 때 참이 아니기 때문에 1732년 오일러에 의해 거부되었습니다.

3. 수학적 발견의 유추적 추론

섹션 1 슈타이너-레머 정리

"기하학의 요소" 언급: 이등변삼각형 두 밑각의 이등분선 삼각형의 길이는 같습니다.

Reimers는 이 명제의 역을 제안했습니다. 두 개의 내각의 이등분선을 갖는 삼각형은 이등변삼각형입니다.

이 질문에 최초로 답한 사람은 스위스의 기하학자인 슈타이너였습니다.

섹션 2 단수로 돌아가기

자연수가 주어지면 다음 작업을 수행합니다.

(1) 먼저 제곱수를 계산합니다.

p>

(2) 제곱수를 두 부분으로 나누어 두 개의 새로운 숫자를 얻습니다.

(3) 나누어진 두 숫자를 더하거나 뺍니다.

결과가 완전제곱수인 경우 원래 숫자를 제곱수라고 합니다. 예: 49: 49^2=2401--gt; 24 01=25=5^2

a의 숫자 N이 짝수이고 10^a-N도 짝수인 경우, a-N은 N의 대칭 제곱수입니다. 예를 들어 51과 49입니다.

섹션 3 토론: 수학적 발견의 일반화 및 전문화

"파스칼의 육각형 정리": 육각형이 이차 곡선(원, 타원, 쌍곡선, 포물선)에 내접되는 경우 세 쌍의 반대쪽 변의 교차점은 동일한 직선 위에 있습니다.

제1절 좋은 교육에는 좋은 교사가 필요하다

좋은 교사의 4가지 기준: 이상과 신념, 도덕적 정서, 확고한 지식, 자비.

지식에 대한 욕구와 탐구에 대한 욕구 사이에는 본질적인 차이가 있습니다. 호기심은 지식 학습에 대한 학습자의 내적 요구이며, 이는 이전 경험의 축적에 대한 감탄을 반영합니다. 탐구에 대한 욕구는 미지의 세계를 이해하려는 내적 욕구이며, 그것이 나타내는 것은 미지의 세계에 대한 탐구입니다.

섹션 2: 발견을 위한 교육: 수학 지식 교육을 위한 길 찾기

오해: 지식이 모든 것을 결정합니다. 동시에 우리는 이해에도 주의를 기울여야 하며 사고력도 뛰어나야 합니다.

섹션 3: 발견을 위한 교육: 수학 문제 해결 교육을 위한 경로 찾기

수학의 새로운 분야인 "이상수 이론"은 페르마의 추측 탐구를 통해 이점을 얻습니다.

쾨니히스베르크의 7개 다리 문제는 그래프 이론의 원천이 되었고, 메르센 소수에 대한 연구는 컴퓨터 기술의 혁명을 촉진하기도 했습니다.

역설과 역설 해결: (1) 제노의 무한 역설, (2) 거짓말쟁이의 역설, (3) 역설 해결에 대하여.

'수학의 보석'으로 알려진 골드바흐의 추측은 아직까지는 성공하지 못했다.

매클로린 시리즈:

더 많은 수학자들이 리만 가설에 더 관심을 갖는 것 같습니다.

2는 가장 작은 소수(소수라고도 함)이자 유일한 짝수입니다.

끝