고등학교 수학 논문 쓰는 법

수학사를 교실에 도입하고, 교수에서 사례를 광범위하게 적용하고, 무작위 실험을 적극적으로 전개하고, 학생들이 적극적으로 탐구하도록 유도하고, 확률론 교수법을 개선하고, 실제 교수 문제를 해결하고, 교학의 질을 향상시키는 데 도움이 된다. 다양한 교수법과 풍부한 교육 내용은 객관적인 무작위 현상에 대한 학생들의 인식과 이해를 깊게하고 학생들의 자율 학습과 적극적인 탐구의 정신을 자극할 수 있다.

수학의 역사 발전에는 세 가지 중대한 비약이 있다. 첫 번째 도약은 산수에서 대수학으로, 두 번째 도약은 상수 수학에서 변수 수학으로, 세 번째 도약은 확실성 수학에서 무작위 수학으로 이어진다. 현실 세계의 무작위성은 모든 분야를 확실성 이론에서 무작위성 이론으로 바꾸는 것이 자연스럽다. 또한 무작위 수학의 도구, 결론 및 방법은 확실성 수학의 문제를 해결하는 새로운 방법을 열어줍니다. 따라서 무작위 수학은 반드시 미래의 주류 수학의 하이라이트 중 하나가 될 것이라고 할 수 있다. 확률론은 무작위 수학의 가장 기초적인 부분으로서 이미 많은 고교 전공 학생들의 필수 기초과목이 되었다. 그러나, 교육 과정의 주요 문제 중 하나는 학생들이 종종 확실성 수학의 사고방식에 익숙하다는 것이다. 확률의 기본 개념 추상은 이해하기 어렵고, 사유의 한계는 개척하기 어렵다고 생각한다. 이 모든 것이 학생들로 하여금 이 수업에 대해 뒷걸음치게 하기 때문에 확률론의 교육 과정에서 학생들이 무작위 수학을 배우는 사고방식을 키우는 것이 중요하다. 이 글은 우리가 이 과정의 개혁 시도를 소개하여 벽돌을 던져 옥을 끌어들이는 것을 목표로 한다.

1 수학사를 교수교실에 통합시키는 확률론 교육 과정에서 관련 수학사를 도입하면 학생들이 확률론을 더 잘 이해할 수 있도록 도와주는' 춘설' 뿐만 아니라 응용배경이 강한 학과다. 예를 들어 확률론에서 가장 중요한 분포인 정규 분포는 18 세기에 있다. 그것은 천문 관측 오차를 해결하기 위해 제기된 것이다. 17 과 18 세기에 천문 관측 오차는 중요한 문제이며, 많은 과학자들이 이를 연구했다. 정규 분포의 개념은 독일 수학자와 천문학자 쿠모클레트가 65438+ 년에 제기한 것이다. 독일의 수학자 가우스는 천문 연구에 정규 분포를 먼저 적용해 정규 분포가 오차 분포를 잘 맞출 수 있다는 점을 지적하여 가우스 분포라고도 한다. 오늘날 정규 분포는 가장 중요한 확률 분포이자 가장 널리 사용되는 연속 분포입니다. 1844 년 프랑스 징병 기간 동안 입대 연령에 맞는 많은 사람들이 자신의 키가 징병의 최소 키보다 낮다고 주장했다. 그래서 당신은 병역을 면제할 수 있습니다. 분명히 누군가가 거짓말을 해서 병역을 회피할 것입니다. 그렇지 않다면 벨기에 수학자 케틀러 (A. Quetlet, 1796- 1874) 는 키를 이용해 정규 분포에 복종하는 법칙을 이용해 후보자와 일반 남성의 키 분포를 비교했다. 우리는 프랑스에서 징병을 피하기 위해 최소 키보다 낮은 척하는 2000 명을 찾아냈다 [1]. 대학 단계에서, 우리는 수학사가 수업시간에 나타나면서 확률론을 배우는 학생들의 흥미를 불러일으키고, 흥미를 통해 수학사를 깊이 파고들며 무작위 수학의 사고방식을 느낄 수 있도록 하는 데 더욱 신경을 쓰고 싶다 [2]. (윌리엄 셰익스피어, Northern Exposure (미국 TV 드라마), 대학명언) 우리는 고전적인 확률론이 제한된 샘플 공간이 필요하다는 것을 안다. 기하학적 확률은 이 조건을 정확히 없앨 수 있어 학생들이 쉽게 이해할 수 있다. 그러나 학생들은 확률의 공리화 정의가 추상적이고 용납할 수 없다고 생각한다. 특히 시그마 대수학 [3].

이 개념: 오메가 샘플 공간입니다. 오메가 일부 하위 세트가 집합이라면 어떨까요? 다음 조건이 충족되었습니다: (1) ω ∐? 을 눌러 섹션을 인쇄할 수도 있습니다 (2) a 가 ∩ 인 경우? 그리고 하나 ∐? 을 눌러 섹션을 인쇄할 수도 있습니다 (3) ∩ n a 인 경우? , n = 1, 2, 그럼 σ ∞ = NNA ∞1? 그럼 우리는 어떻게 말합니까? ω의 σ 대수학입니다. 학생들이이 개념을 더 잘 이해할 수 있도록 기하학적 확률의 역사를 소개하여 확률의 공리적 정의를 수립해야하는 이유와 σ 대수학이 필요한 이유를 설명 할 수 있습니다. 기하학적 확률은 19 연말에 발전한 새로운 확률 계산 방법으로, 고전적인 확률을 바탕으로 한 진일보한 발전이다. 등 가능한 사건 개념이 유한에서 무한한 확장까지 35438+0899, 프랑스 학자 Bertrand 가 이른바' Bertrand 역설' [3] 을 제시했다

현 길이가 3 보다 작지 않을 확률은 얼마입니까? 이 문제의 경우 끝점이 원주에 고르게 분포되어 있다고 가정하면 확률은1/3 과 같습니다. 현의 중간점 지름이 균일하게 분포된다고 가정하면 확률은1/2; 현의 중간점이 원 안에 고르게 분포되어 있다고 가정하면 확률은 1/4 와 같습니다. 같은 질문에는 세 가지 다른 답이 있을 것이다. 화현을 선택할 때 서로 다른 가능성 가설을 채택했기 때문이다! 이 세 가지 답은 세 가지 다른 무작위 실험에 대한 것이고, 각자의 무작위 실험에 모두 정확하다. 따라서 "무작위", "등 가능성", "균일 분포" 등의 용어를 사용할 때는 실험에 따라 그 의미를 명확하게 표시해야 합니다. 즉, 원주 위에 끝점이 고르게 분포되어 있다고 가정할 때 지름의 이전 현에 있는 중간점이 고르게 분산되거나 원의 이전 현에 있는 중간점이 고르게 분산되는 이벤트를 고려할 수 없습니다. 즉, 끝점이 원주에 고르게 분포되어 있다고 가정할 때 원주에 고르게 분산되는 해당 요소만 이벤트로 간주합니다. 이제 σ-대수학의 개념을 이해 하자: 같은 샘플 공간 ω,? 1 ={? , ω} 는 σ 대수학입니다. A 를 오메가 서브셋으로 설정하면 어떨까요? 2 ={? , a, a, ω} 도 ω의 σ 대수학이다. B 를 A 의 하위 집합과 다른 오메가, 그럼? 3 = {? , a, b, a, b, ab, ab, ba, ab, ω} 도 ω의 σ 대수학이다. 텅스텐의 모든 하위 세트의 집합도 텅스텐의 시그마 대수를 형성할 수 있다. 우리가 생각할 때. 2, 그냥 원소만 넣을까요? 2 의 원소? , a, a, ω를 이벤트로 사용하지만 b 또는 AB 는 고려하지 않습니다. 따라서 σ 대수학의 정의는 이해하기 쉽다. 2 사례 교수법은 일반적인 예문과는 달리 문제를 일으키는 실제 배경이 있어 학생들이 이해할 수 있다. 사례 교수법은 사례를 교육 도구로 사용하여 학생들이 실제 문제를 해결하도록 지도하는 것이다. 분석과 토론을 통해 문제 해결의 기본 방법과 경로를 제시하는 교수 방법. 직관적이고 흥미롭고 이해하기 쉬운 각도에서 확률론의 기초를 소개할 수 있다. 조건부 확률에 대해 말하자면, 먼저 흥미로운 사례인' 마릴린 질문': 10 여 년 전 미국의' 마릴린 행운의 첫 대답' 을 소개할 수 있다.

방송국은 세 개의 문 뒤에 양 두 마리와 차 한 대가 숨어 있다는 화제를 발표했다 (예: 1 호, 2 호, 3 호). 만약 네가 차를 숨긴 문을 맞히면, 차는 바로 너의 것이다. 예를 들어 1 호를 선택한 다음 사회자가 다른 두 문의 문 중 하나를 열어 그 문 뒤에 양 한 마리가 있는 것을 볼 수 있게 해 주세요. (존 F. 케네디, Northern Exposure (미국 TV 드라마), 성공명언)

이 문제는 텔레비전의 일부 오락 퀴즈 프로그램과 비슷하기 때문에 학생들은 이 문제에 대한 토론에 적극적으로 참여하고 있다. 토론의 결과, 이 질문에 대한 답은 사회자가 문 뒤의 모든 것을 알고 있는지 여부와 관련이 있어 자연스럽게 조건부 확률을 도입할 수 있다. 이렇게 뜨거운 분위기 속에서 새로운 개념을 배우는 한편 학생들의 열정을 높인다. 한편, 확률 이론에 대한 지식이 우리의 일상생활과 밀접한 관련이 있다는 것을 학생들에게 알리면 많은 실제 문제를 해결하는 데 도움이 될 수 있습니다. (데이비드 아셀, Northern Exposure (미국 TV 드라마), 성공명언) 따라서 확률론의 기초를 소개할 때 도박, 재고와 수입, 프라이버시 조사, 확률과 비밀번호, 17 세기 중앙아메리카의 요술, 민감한 조사, 혈액검사, 65433 등과 같은 고전적인 사례를 도입하면 좋은 결과를 얻을 수 있다.

확률론은 상술한 문제에 대한 해결책을 제공할 뿐만 아니라, 일부 무작위 현상에 대한 이론적 해석도 제공할 수 있다. 이 때문에 확률론은 우리가 객관적인 세계를 이해하는 효과적인 도구가 되었다. 예를 들어, 우리는 특정 사람이 위인이 될 가능성이 매우 적다는 것을 알고 있다. 한 가지 이유는 누군가의 출생이 일련의 무작위 사건의 조합이기 때문이다: 부모, 조부모, 외조부모의 조합 ... 그리고 두 이성 생식세포의 만남, 그중에는 반드시 천재를 낳는 요소가 포함되어 있기 때문이다. 또 다른 이유는 아기가 태어난 후 여러 가지 우연한 만남이 전반적으로 그의 성공에 도움이 될 것이기 때문이다. 그의 시간, 그의 학력, 그의 활동, 그가 접촉한 사람과 일, 모두가 그에게 좋은 기회를 주어야 한다. 그럼에도 역대 위인들이 배출되었다. 한 사람이 성공할 확률은 매우 낮지만, 수십억 명 중 항상 뛰어난 사람이 있다. 이것은 소위 "의미" 입니다. 확률론의 지식으로 이 문제를 어떻게 설명할 것인가? 어떤 실험에서 사건 a 의 확률을 ε, 0 으로 설정하다

(1) 같은 조건에서 반복할 수 있습니다. (2) 테스트당 가능한 결과가 두 개 이상 있으며 테스트의 가능한 모든 결과를 미리 지정할 수 있습니다. (3) 실험을 진행하기 전에 우리는 어떤 결과가 나타날지 확신할 수 없다. 무작위 실험의 정의를 강의할 때, 우리는 종종 위의 세 가지 특징을 일일이 열거한 다음, 몇 가지 간단한 예를 들어 끝을 설명한다. 하지만 외국의 코프 단편 영화를 보고 우리는 매우 영감을 받았다. 프로그램 내용은 검증이다. 한쪽에는 버터를 바르고 다른 쪽에는 아무것도 없는 빵이 책상에서 떨어졌을 때 어느 쪽이 위를 향하는가? 놀랍게도, 테스트 결과를 더욱 설득력 있게 하기 위해 실험자들은 빵에 버터를 바르는 기계와 제빵기를 만들어 실험을 시작했다. 이 문제의 결론이 무엇이든 간에, 우리는 무작위 실험이 같은 조건에서 반복되도록 실험을 상당히 엄격하게 설계했다는 것을 관찰했다. 우리는 이 코프 단편 영화를 교실 수업에 도입하고 예를 들어 분석했다. 무작위 실험의 세 가지 특징을 제시했는데, 학생들은 매우 자연스럽게 받아들이고, 전체 교육 과정은 가볍고 유쾌해졌다. 따라서 강의에서는 간단한 도구를 사용하여 실험 작업을 수행할 수 있습니다. 전체 확률 공식의 응용 데모, 기하학적 확률의 그래픽 표현, 임의 변수 함수의 분포, 수학적 기대의 통계적 의미, 2 차원 정규 분포, 골튼 네일보드 실험 등과 같은 이론적 지식을 최대한 직관적으로 만들 수 있습니다. 직관적인 형태로 추상적인 이론을 제시합니다. 학생들의 이론에 대한 이해를 심화시키다. 그러나 우리는 제한된 수업 시간 내에 모든 무작위 실험을 실현할 수 없다. 따라서 학생들의 이미지 사고를 효과적으로 자극하기 위해, 우리는 컴퓨터 그래픽 디스플레이, 애니메이션 시뮬레이션, 수치 계산, 문자 설명 등을 통해 멀티미디어 지원 이론 교육 수단을 채택하고 있습니다. 그림과 영상, 시청각 결합, 수형이 결합된 생동감 있고 직관적인 교육 환경을 구축하여 학생들의 사고를 넓혔다. 확률론의 기초 이론을 파악하는 데 유리하다. 동시에 학생들이 이론 지식을 받아들이는 과정에서 현대 교수의 매력을 체득하고 전통 교수가 달성할 수 없는 교육 효과 [6] 를 실현하게 한다. 4 학생들이 전통적인 교수법을 적극적으로 탐구하도록 지도하는데, 교사들은 종종 수업시간에 입에 물을 가득 채우고, 방법이 단일하며, 학생 지식의 축적에만 치중한다. 교사는 교육의 주체이며 교육 과정에 중점을 둡니다. 그러나, 그것은 가르침이 가르침과 학습의 상호 작용 과정이라는 것을 간과한다. 대조적으로, 현대 교수법은 학생들의 학습 잠재력을 발굴하는 데 더 중점을 두고 있으며, 학생의 지능을 극대화하기 위한 것이다. 예를 들어, 조건부 확률의 정의가 주어지면 P (a) > 를 알 수 있습니다. 0,P(B | a) 는 p (b) 와 같지 않을 수 있습니다. 그러나 P(B | A) =P(B) 이면 이벤트 a 의 발생은 이벤트 b 의 발생에 영향을 주지 않습니다. 마찬가지로 p (b) >: 0 에서 P(A| B) = P(A) 이면 0, P(B)>0, P(B | A) = P(B) 와 P(A| B) = P(A) 가 모두 성립되어 두 이벤트의 발생은 서로 영향을 주지 않습니다. 우리는 학생들이 다음과 같이 두 사건의 독립성을 정의할 수 있는지 적극적으로 생각하도록 할 수 있다.

1 정의: p (a) >; 0, P(B)>0, P(B | A) = P(B) 와 P(A| B) = P(A) 가 있다면 이벤트 a 와 이벤트 b 는 서로 독립적이라고 합니다. 이어 학생들에게 1 > 0 과 P(B)> 0 정의의 조건 p (a) 가 본질적인 요구 사항인지 자세히 살펴보도록 안내할 수 있다. 사실 p (a) >; 0, P(B)>0, 우리는 다음을 얻을 수 있습니다.

P(B | A) = P(B)? P(AB) = P(A)P(B)? P (a | b) = p (a) 입니다. 하지만 P(A) = 0, P(B) = 0 이면 어떻게 될까요? 사건 사이의 관계와 확률의 본질에서 우리는 AB 를 알고 있습니까? A, AB? B, 그래서 P(AB) = 0 = P(A)P(B), 등식은 여전히 성립된다. 따라서 1 > 0 에서 조건 P (A) 의 정의를 포기할 수 있습니다. P(B)>0, 즉 이벤트의 독립성은 다음과 같이 정의됩니다.

정의 2: a 와 b 를 두 개의 임의 이벤트로 설정합니다. 방정식 P(AB) = P(A)P(B) 가 성립되면 A 와 B 는 독립사건이다. 즉 A 와 B 는 서로 독립적이다. 분명히 정의 2 는 정의 1 보다 간결합니다. 이 정의를 찾는 과정에서 학생들이 적극적으로 생각하도록 독려할 뿐만 아니라, 학생들이 문제를 제기하고, 문제를 분석하고, 문제를 해결하는 능력을 잘 키우고 훈련시켜 수학 사상을 체험하고 수학의 아름다움을 느낄 수 있다. 5 실천을 통해 우리는 수학사를 교실에 도입함으로써 학생들이 무작위 수학의 형성과 발전 과정을 깊이 이해할 수 있을 뿐만 아니라 무작위 수학의 사고방식도 실감할 수 있다는 것을 알게 되었습니다. 사례를 교육에 적용하고, 교실에서 무작위 실험을 하면 확률론의 기초지식을 시각화하고, 과정의 재미를 높여 학생들의 이해와 파악을 용이하게 할 수 있다. 학생들이 적극적으로 탐구하도록 유도하면 교육과 학습의 상호 작용 과정을 강화하고 학생들이 수학 사상을 이용하여 확률론에서 직면한 문제를 해결하도록 자극할 수 있다. 결론적으로 확률론 교수에서는 학생들이 무작위 수학을 배우는 사고방식을 키우고, 교수법의 다양성과 교육 내용의 풍부함을 통해 객관적인 무작위 현상에 대한 학생들의 인식과 이해를 심화시키는 데 주력해야 한다. 또 인재 양성을 근본으로 교사 중심의 교육을 실현해야 한다. 주객의 결합, 학생을 주체로 하는 교학이념은 학생들의 실천능력, 혁신의식, 혁신능력을 키우는 이념을 실처에 두고 학생들의 이익 극대화의 목표를 달성하고, 학생들이 앞으로 경제학, 금융학, 관리학, 교육학, 심리학, 전파학 등의 학과에 종사할 수 있도록 좋은 기초를 다진다.

【참조】.

[1] c r 법. 통계와 진리 [M]. 베이징 과학 출판사 2004.

[2] 주용, 송나청. 수학사를 수학과정에 통합한다 [J]. 수학교육학보, 2008,17 (4):11–1

[3] 왕자 쿤. 확률론과 그 응용 [M]. 베이징: 베이징 사범대학 출판사, 2007.

[4] 장 디엔주. 망망한 우주의 무작위 현상 [M]. 난닝: 광시 교육 출판사, 1999.

[5] 왕자 쿤. 무작위 과정과 오늘날의 수학 [M]. 베이징: 베이징 사범대학 출판사, 2006.

덩화령, 푸, 임영태. 확률론과 수리통계실험과정의 토론과 실천 [J]. 대학수학, 2008,24 (2):11–14.

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