확률이라는 단어는 우리 생활 곳곳에서 볼 수 있다. 수학자가 복권에 당첨될 확률이 높습니까?

확률이라는 단어는 우리 생활 곳곳에서 볼 수 있다. 수학자가 복권에 당첨될 확률이 높습니까? 확률의 정의는 애매하지 않지만, 모든 사람이 사용할 수 있을 것 같지만, 확률 계산의 결론은 종종 그들의 판단에 위배되며, 확률론에는 말할 수 없는, 알 수 없는 오류가 많다. 자신의 직관을 완전히 믿을 수는 없다!

운전자의 시력에' 맹점' 이 있는 것처럼, 욕실 거울을 몇 번 봐야 없앨 수 있기 때문에 그들의 사고 과정에도 맹점이 있어 계산과 사고를 통해 반응해야 한다. 확률론은 종종 판단과 반대되는 이상한 결론을 도출하는 산업이다. 수학자라도 조심하지 않으면 큰 실수를 하게 된다. 자, 먼저 전통적인 확률에서' 기본 비율' 이라는 잘못된 예를 들어보겠습니다.

생활의 한 가지 예시에서, 우리는 점차 병원에 가서 그가 어떤 병에 걸릴 확률을 검사하기 위해 검사를 했다. 결과가 양성이라는 사실이 그녀를 놀라게 하고, 서둘러 인터넷에서 조회했다. 온라인 자료에 따르면, 검사는 항상 편향되어 있는데, 이런 검사는' 위양성율 1%, 위음성율 1%' 이다. 이 말은 환자 중 1% 는 위음성, 99% 는 진양성이라는 뜻이다. 하지만 병이 없는 사람들 중 1% 는 위양성, 99% 는 진음성이다. 그래서 이런 말에 따르면 왕홍 자신은 이 병에 걸릴 확률이 99% 일 가능성이 있다.

왕홍은 위양성률이 1% 이고 99% 가 진양성이라 해도 내 무리가 이 병에 감염될 확률은 99% 라고 생각했다. 하지만 의사는 그가 일반인들 사이에서 감염될 확률이 0.09(9%) 정도라고 말했다. 어떻게 된 거야? 왕홍의 잘못된 관념은 어디에 있습니까?

색상 갤러리: pexls 박사는 "99%? 그렇게 큰 확률감은 없다. 99% 는 당신이 아플 확률이 아니라 테스트의 정확도입니다. 한 가지를 잊어버렸습니다. 이 병의 정상 감염률은 크지 않습니다. 1000 명 중 한 명만이 병에 걸렸습니다. " 원래 이 박사는 의학 외에도 수학을 연구하는 것을 좋아했고, 의학적으로도 확률 방법을 자주 사용했다.

그의 계산 방법은 대부분 이렇다. 탐지된 누락률이 1% 이기 때문에 곧 1000 명이' 위양성' 으로 보고될 것이다. 이 질병의 인구 비율 (1/ 1 1 양성인 중 하나만 진양성 (병) 이면 왕홍이 감염될 확률은 약 1/ 1 1 이다

왕홍은 생각만 해도 막막했지만, 이 일은 왕홍이 이전에 배운 확률론에 대한 기억을 강화시켰다. 문장 을 보고 의사 의 우화 알고리즘 을 생각 했 다. 그 는 자신 이 실수 를' 기본 비례 오류' 라고 하는 것 은' 이 질병 에서 사람들 중 가장 기본 비율 은 (1/ 1000)' 이라는 사실 이다

비례 오류에 대해 말하자면, 우리는 확률론에서 유명한 베이시안 정리로 시작하는 것이 가장 좋다. Thomas Bayes (1701-1761) 는 영국 통계학자이자 법사였다. 베이시안 정리는 확률론과 응용통계학에 대한 그의 큰 공헌으로, 오늘날 인공지능 기술에 일반적으로 사용되는 기계 학습 알고리즘의 기본 틀이다. 그 개념은 일반인의 인지능력보다 훨씬 더 심오하다. 아마도 베네스 본인은 생전에 이 일을 알지 못했을 것이다. 이렇게 중요한 성과로 그는 생전에 발표하지 않았고, 죽은 후에야 좋은 친구가 1763 을 발표했다.

대충 말하자면, 베이시안 정리는 두 개의 무작위 변수 A 와 B 의 상호 작용을 다루고 있는데, 한 마디로 요약하면, 이 법칙들은 B 가 존재하지 않을 때 A 의' 선험적 확률' P(A) 를 수정하여 B 가 존재하는 후의' 표준 확률' P(A|B) 를 얻는 방법에 관한 것이다. 계산을 위해 공식을 작성하는 경우 다음을 수행합니다.

여기서 선험과 후험의 정의는 일반적이고 상대적이다. 예를 들어, A 와 B 는 그림의 슬래시와 같이 B 의 선험적 확률 P(B) 에서 B 의 "표준 확률" P(B | a) 를 얻는 방법을 거꾸로 설명할 수도 있습니다.

공식 계산을 두려워하지 마라. 예를 들어, 우리는 점차 그것을 이해할 수 있다. 예를 들어, 왕홍의 경우 무작위 변수 A 는 "왕홍덕이 어떤 질병을 앓고 있다" 고 말했다. 무작위 변수 b 는 "왕홍의 테스트 결과" 를 나타냅니다. 선험적 확률 P(A) 는 검사 결과 없이 왕홍이 이 병에 걸릴 확률을 말한다 (즉, 이 병의 가장 기본적인 확률은 0.1%); 표준 확률 (또는 후검사 확률) P(A|B) 는' 검사 결과가 양성인 경우 왕홍이 이 병에 걸릴 확률 (9%) 을 가리킨다. 어떻게 기본 확률에서 사후 확률로 조정합니까? 우리 나중에 다시 이야기하자.

베이시안 정리는 18 신세기 시대의 산물이다. 2000 년 내년이면 쓸 수 있을 거야, 70 년대부터 시련에 부딪히고 싶지 않아. 이 검사는 DanielKahneman 과 Tversky 가 제기한' 기본 비율 오류' 에서 나온 것이다. 전자는 아프리카계 심리학자로 2002 년 노벨 경제학상을 수상했다.

비례 오류는 기본적으로 베이시안 정리를 부정하는 것이 아니라 혼란스러운 문제를 토론하는 것이다. 왜 인간의 직관은 종종 베이시안 공식의 가치에 반하는 것일까? 앞서 예시한 바와 같이, 사람들은 판단을 사용할 때 종종 기본 확률을 무시한다. 카니만 등은 그들의 문장' 사고, 빠르고 느림' 에서 택시 한 대를 경멸하며' 관리 결정' 을 해치는 주요 원인을 고려하도록 영감을 주었다. 우리는' 결정론' 에 대한 기본 비율의 오류의 가치에 대해 이야기하고 싶지 않다. 단지 이 예를 이용하여 베이시안 공식에 대한 우리의 이해를 증강시킬 뿐이다.

한 도시에 파란색과 녹색의 두 가지 택시가 있다고 가정해 봅시다 (시장 점유율은15: 85). 밤에 택시 한 대가 소니를 쳤는데 다행히 목격자가 있었다. 목격자들은 가해자의 택시가 파란색이라고 추정했다. 하지만 그의 "진실성" 은 어떨까요?

공안기관은 증인에 대해 같은 자연환경에서' 녹색 블루' 테스트를 실시한 결과 80% 의 사건이 정확하고 20% 의 사건이 잘못된 것으로 확인됐다. 아마도 독자들은 즉시 결과를 얻었을 것이다: 사고 차량이 파란색이 될 확률은 80% 여야 한다. (알버트 아인슈타인, Northern Exposure (미국 TV 드라마), 스포츠명언) 만약 당신이 이런 반응을 보인다면, 당신은 위의 예시에서 왕홍과 같은 실수를 저질렀고, 선험적 확률을 무시하고, 이 도시의 가장 기본적인' 녹색' 차 비율을 고려하지 않았다.