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수학 확률에 관한 문제의 세부 사항을 찾아내다.

확률, 기회율 또는 확률과 가능성이라고도 하는 확률은 수학 확률론의 기본 개념으로, 0 에서 1 사이의 실수이며, 무작위 사건 발생 가능성의 측정이다. 어떤 사건이 발생할 확률을 나타내는 숫자를 그 사건의 확률이라고 한다. 무작위 사건 발생 가능성의 척도이자 확률론의 가장 기본적인 개념 중 하나이다. 사람들은 종종 누군가가 시험에 합격할 가능성이 얼마나 되는지, 어떤 일이 발생할 가능성이 얼마나 큰지, 모두 확률의 예라고 말한다. (존 F. 케네디, 자신감명언) 그러나 이벤트가 발생할 확률이 1/n 인 경우 이벤트가 n 개 이벤트 중 한 번 발생해야 한다는 것이 아니라 이벤트가 발생하는 빈도가 1/n 값에 가깝다는 의미입니다.

확률에 대한 빈도 정의 정의 정의

사람들이 직면한 문제가 점점 복잡해짐에 따라, 등 가능성은 점차 그 약점을 드러내고 있다. 특히 같은 사건의 경우, 서로 다른 가능성의 관점에서 서로 다른 확률을 계산할 수 있어 각종 역설을 만들어 낼 수 있다. 한편, 경험이 축적됨에 따라, 대량의 반복 실험을 할 때, 실험 횟수가 증가함에 따라, 한 사건의 발생 빈도는 항상 고정된 수 근처에서 흔들리며 일정한 안정성을 나타낸다는 것을 깨닫게 되었다. R.von mises 는 이것을 이벤트의 확률로 정의합니다. 이것이 확률의 빈도 정의입니다. 이론적으로 확률의 빈도 정의는 충분히 엄격하지 않다. 안드레 콜모고로프는 1933 에서 확률의 공리화 정의를 제시했다.

확률의 엄격한 정의

E 를 무작위 실험으로 설정하고 ω를 샘플 공간으로 설정하십시오. E 의 각 이벤트 a 에 P(A), 이벤트 a 라는 확률로 기록된 실수를 할당합니다. 여기서 p () 는 컬렉션 함수이고 p () 는 다음 조건을 충족해야 합니다.

(1) 음수가 아님: 각 이벤트 A 에 대해 P (A) ≥ 0 이 있습니다.

(2) 정규성: 필연적인 이벤트 s 의 경우 p (s) =1;

(3) 가산성: A 1, A2…… ...... 상호 호환되지 않는 사건이 되다. 즉 i≠j, Ai∩Aj=φ, (I, j =/;

무작위 사건의 발생은 우연적이지만, 무작위 사건이 발생할 가능성은 여전히 다르고 측정할 수 있다. 사실, 생활, 생산, 경제 활동에서 사람들은 종종 무작위 사건이 발생할 가능성에 관심을 갖는다.

예를 들면 다음과 같습니다.

(1) 앞면과 측면의 확률이 각각 1/2 인 균일한 동전을 던집니다.

(2) 복권에 당첨될 확률은 얼마나 됩니까?

앞서 언급한 긍정적인 기회와 복권에 당첨될 확률이나 적중률은 모두 무작위 사건이 발생할 확률을 측정하는 데 사용된다. 무작위 이벤트 A 의 확률을 이 이벤트의 확률이라고 하며 P(A) 로 표시됩니다.

확률은 0 에서 1 사이의 숫자입니다. 확률이 높을수록 사건이 발생할 가능성이 커집니다. 확률이 낮을수록 사건이 발생할 가능성이 적다. 특히 불가능한 사건의 확률은 0 이고, 필연적인 사건의 확률은 1 입니다.

P(φ)= 0, p(ω)= 1

확률의 고전적 정의

테스트가 두 가지 요구 사항을 충족하는 경우:

(1) 실험은 제한된 수의 기본 결과만 가지고 있다.

(2) 테스트의 각 기본 결과의 가능성은 동일합니다.

이런 실험은 고전적인 실험이 되었다.

고전 실험에서 이벤트 a 의 확률은 다음과 같이 정의됩니다.

P(A)=m/n 여기서 n 은 실험에서 가능한 모든 기본 결과의 총 수를 나타냅니다. M 은 이벤트 A 에 포함된 기본 테스트 결과의 수를 나타냅니다 ... 확률을 정의하는 이 방법을 확률의 고전적인 정의라고 합니다.

확률의 통계적 정의

일정한 조건 하에서 실험은 N 번을 반복합니다. 여기서 nA 는 이벤트 A 가 N 회 중에 발생한 횟수입니다. N 이 증가함에 따라 빈도 nA/n 이 특정 값 P 근처에서 안정화되는 경우 P 값을 이벤트 A 가 이 조건에서 발생할 확률이라고 하며 P (a) = P 로 기록됩니다. 이 정의는 확률의 통계적 정의가 됩니다.

역사적으로, 초기 확률론사에서 가장 중요한 학자인 제이콥 베르누이 (기원 1654 ~ 1705) 는 "실험 횟수 N 이 점차 늘어나면서 주파수 nA 가 확률 P 를 안정시킨다" 는 주장에 대해 엄격한 의미와

확률의 통계적 정의에서 볼 수 있듯이 숫자 P 는 이벤트 A 가 이 조건에서 발생할 가능성을 설명하는 정량화 지표입니다.

주파수 nA/n 은 항상 0 에서 1 사이이므로 확률의 통계적 정의에서 알 수 있듯이 모든 이벤트 A 에 대해 0≤P(A)≤ 1, P (ω) =/

ω와 φ는 각각 필연적인 이벤트 (특정 조건 하에서 발생해야 하는 이벤트) 와 불가능한 이벤트 (특정 조건 하에서 발생하지 않아야 하는 이벤트) 를 나타냅니다.

역사

확률을 계산하는 첫 번째 시스템은 16 세기의 칼다노입니다. 이것은 그의 책에 기록되어 있다. 책 속의 확률의 내용은 굴드가 라틴어에서 번역한 것이다.

카르다노의 수학 저서는 도박꾼에게 많은 충고를 한다. 이 건의들은 모두 짧은 글에 적혀 있다. 예를 들면: "누구, 언제 도박을 해야 합니까?" 아리스토텔레스가 도박을 정죄한 이유는 무엇입니까? 다른 사람에게 도박을 가르치는 사람들도 도박을 잘 합니까? "잠깐만요.

그러나 파스칼과 페르마 사이의 일련의 편지에서 확률에 대한 체계적인 연구가 처음 제기되었다. 이 통신은 처음에 파스칼에 의해 제기되었는데, 그는 페마에게 체발리어 드 멜에 대해 몇 가지 질문을 하고 싶었다. 체발리어 드 멜은 유명한 작가이자 루이 14 세 궁정의 걸출한 인물이자 열광적인 도박꾼이다. 주사위 던지기 문제와 경기 보너스 분배 문제 등 두 가지 문제가 있다.

두 범주 간의 고전적인 확률 상관 관계

고전적인 확률 토론의 대상은 무작위 실험의 가능한 모든 결과가 제한적이고 동일한 경우로 제한됩니다. 즉, 기본 공간은 유한 요소 또는 기본 이벤트로 구성되며 수는 N 으로 기록되며 각 기본 이벤트의 가능성은 동일합니다. 이벤트 a 에 m 개의 기본 이벤트가 포함된 경우 이벤트 a 의 확률은 p(A)=m/n 으로 정의됩니다. 즉 이벤트 a 의 확률은 이벤트 a 에 포함된 기본 이벤트 수를 기본 공간의 총 기본 이벤트 수로 나눈 것과 같습니다. 이것은 P.-S. 라플라스의 확률에 대한 고전적인 정의 또는 확률의 고전적인 정의입니다. 역사적으로 고전 확률은 주사위 등 도박 게임의 문제를 연구하여 생겨났다. 고전적인 확률을 계산하면 모든 기본 이벤트를 궁리법으로 나열한 다음 한 이벤트에 포함된 기본 이벤트의 수를 세고 분할하여 계산 프로세스를 단순화할 수 있습니다.

기하학적 확률 상관 관계

기하학적 확률 무작위 테스트에서 무한한 수의 기본 이벤트가 있고 각 기본 이벤트가 동일한 가능성을 가지고 있다면 고전 확률을 사용할 수 없으므로 기하학적 확률이 발생합니다. 기하학적 확률의 기본 아이디어는 이벤트를 기하학적 영역에 매핑하고 기하학적 영역의 측정을 사용하여 이벤트의 확률을 계산하는 것입니다. 부폰의 투침 문제는 기하학적 확률을 적용하는 전형적인 예이다.

확률론 발전 초기에 사람들은 고전적인 확률이 제한된 검사 결과만 고려하는 것만으로는 충분하지 않으며, 무한한 검사 결과도 고려해야 한다는 것을 알아차렸다. 이 때문에 무한대의 테스트 결과는 유클리드 공간의 한 영역 S 로 표시할 수 있으며, 테스트 결과는' 균일 분포' 라는 특성을 가지고 있습니다. 균일 분포의 정확한 정의는 고전 확률론에서' 등가능성' 의 개념과 비슷하다. 면적 S 와 그 안에 나타날 수 있는 작은 영역 A 는 모두 측정할 수 있으며 측정된 크기는 각각 μ(S) 와 μ(A) 로 표시됩니다. 예를 들어 1 차원 공간의 길이, 2 차원 공간의 면적, 3 차원 공간의 볼륨 등이 있습니다. 이 측정에는 음수와 가산성과 같은 길이와 같은 다양한 속성이 있다고 가정합니다.

◆ 기하학적 확률의 엄격한 정의

이벤트 A (S 의 한 영역) 에는 A 가 포함되며 측정 크기는 μ(A) 입니다. P(A) 가 이벤트 A 의 확률을 나타내는 경우 "균일 분포" 를 고려하여 이벤트 A 의 확률은 P(A)=μ(A)/μ(S) 로 계산됩니다. 계산된 확률을 기하학적 확률이라고 합니다.

◆ φ가 불가능할 경우, 즉 φ가 ω의 빈 영역이고 측정 크기가 0 이면 확률 p (φ) = 0 입니다.

독립 테스트 시퀀스

일련의 실험에 다음 세 가지가 있다면:

(1) 실험당 두 가지 결과만 있습니다. 하나는' 성공', 하나는' 실패', P{ 성공 }=p, P{ 실패} =1-입니다

(2) 매 실험마다 성공 확률 P 는 변하지 않는다.

(3) 실험은 서로 독립적이다.

이 일련의 테스트를 독립 테스트 시퀀스라고 하며, 베르누이 확률이라고도 합니다.

피할 수 없는 사건과 불가능한 사건

특정 무작위 실험에서 가능한 각 결과를 기본 이벤트라고 하며, 모든 기본 이벤트 모음을 기본 공간이라고 합니다. 무작위 이벤트 (이벤트라고 함) 는 몇 가지 기본 이벤트로 구성됩니다. 예를 들어 주사위를 연속으로 두 번 던지는 무작위 실험은 z 와 y 로 각각 첫 번째와 두 번째 발생 지점을 나타낸다. Z 와 y 는 1, 2,3,4,5,6 의 값을 취할 수 있으며 각 점 (z, y) 은 기본 이벤트를 나타내므로 기본 공간에는 36 개의 요소가 포함됩니다. 점 합계 2 는 집합 {(1, 1) 을 사용할 수 있는 기본 이벤트 (1,1) 로 구성된 이벤트입니다 점 합계 4 도 이벤트이며 (1, 3 으로 구성됩니다. 점 수의 합이 1' 도 하나의 이벤트로 간주된다면, 그것은 어떤 기본 이벤트도 포함하지 않는 이벤트이며, 이를 불가능 이벤트라고 한다. 이 사건은 실험에서 발생할 수 없다. 점 수의 합계가 40 미만이라고 생각하면 모든 기본 이벤트가 포함되며 이 이벤트는 실험에서 발생해야 하므로 필연적인 이벤트라고 합니다. A 가 이벤트인 경우' 이벤트 A 가 발생하지 않음' 도 이벤트다. 이벤트 A 라는 반대 이벤트다 ... 현실에서는 각종 사건과 그 관계, 기초공간의 다양한 요소 하위 집합 및 그 관계를 연구해야 한다.

예를 들어 샤오밍은 다섯 개의 공을 네 개의 서랍에 넣어야 하는데, 그 중 한 서랍에는 두 개의 공이 있을 것이다. 이것은 불가피한 사건이다.

또 다른 예: 샤오밍은 다섯 개의 서랍에 세 개의 공을 넣고 싶어한다. 모든 서랍에 공이 있다면, 이것은 일어날 수 없는 사건이다.

임의 이벤트, 기본 이벤트 및 기타 발생 가능한 이벤트, 상호 배타적 이벤트 및 특정 조건 하에서 발생하거나 발생하지 않을 수 있는 이벤트를 임의 이벤트라고 합니다.

가능한 모든 결과의 실험을 기본 사건이라고 한다.

일반적으로 실험의 한 사건은 기본 사건으로 구성되어 있다. 실험에서 N 가지의 가능한 결과가 있는 경우, 즉 실험은 N 개의 기본 이벤트로 구성되어 있으며 모든 결과가 발생할 가능성이 같으면 이러한 이벤트를 등위 사건이라고 합니다.

동시에 발생할 수 없는 두 이벤트를 상호 배타적인 이벤트라고 합니다.

대립 사건이라는 상호 배타적인 사건이 있어야 한다.

P (필수 이벤트) = 1 입니다.

P (가능한 이벤트) =(0- 1) (점수를 사용할 수 있음)

P (불가능 이벤트) =0

자연

속성 1.p (φ) = 0.

특성 2 (제한된 가산성). N 개의 이벤트 A 1, ..., An 이 서로 호환되지 않을 때 P(a 1∨) 입니다. 。 。 ∩an) = p (a1)+...+p (an).

부동산 3. 모든 이벤트의 경우 a: p (a) = 1-p (a 아님) 입니다.

부동산 4. 이벤트 a 와 b 충족 a 가 b 에 포함된 경우 P(B-A)=P(B)-P(A) 인 경우 p (a) ≤ p (b).

재산 5. 모든 사건 a 에 대해 p (a) ≤ 1 입니다.

부동산 6. 두 개의 이벤트 a 와 b 의 경우 p (b-a) = p (b)-p (ab) 입니다.

속성 7 (더하기 공식). 두 개의 이벤트 a 와 b 의 경우 p (a ≈ b) = p (a)+p (b)-p (a ≈ b) 입니다.

(참고: 숫자 1, 2, ... a 뒤의 n 은 모두 아래 첨자를 나타냅니다. ) 을 참조하십시오

빈도 및 확률

확률은 사건 가능성의 정량화에 도입된다.

"통계적 규칙 성"

독립 반복 실험의 총 수 N, 사건 발생 빈도 a μ,

이벤트 a 의 주파수 Fn(A)=μ/n, 이벤트 a 의 주파수 Fn(A) 에 안정값이 있습니까?

예를 들어 이전 동전 던지기 테스트 (아래 표 44 페이지)

있는 경우 주파수 μn 의 안정값 P 를 이벤트 A 발생 확률이라고 하며 P(A)=p [확률의 통계적 정의]

P(A) 는 객관적이고 Fn(A) 는 경험에 의존한다.

통계학에서 N 이 크면 Fn(A) 의 값이 확률의 근사치로 사용되는 경우가 있습니다.

세 가지 기본 속성

1. [음수가 아님]: 모든 이벤트 a, P(A)≥0.

2.[ 완전성 ]: p (ω) = 1

3. [가산 법칙] 이벤트 a 와 b 가 호환되지 않는 경우, 즉 AB=φ, P(A+B)=P(A)+P(B).

덧셈 규칙

이벤트 a 와 b 가 호환되지 않으면 A+B 가 발생할 때 그 중 하나만 발생해야 합니다. 독립적으로 n 번의 실험을 반복하다. 예를 들어, 이벤트 A 의 빈도는 μA 와 Fn(A), 이벤트 B 의 빈도는 μB 와 Fn(B), 이벤트 A+B 의 빈도는 μA+B 와 Fn(A+B) 입니다. μA+B =μA +μB, ≈. 이들의 안정치도 P(A+B)=P(A)+P(B) [덧셈법] 이벤트 a 와 b 가 호환되지 않으면 AB=φ 생각해 보세요: 만약 A 와 B 가 호환되지 않는다면, 아니면 호환될까요? 추가 연구에 따르면 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB), 이것이 이른바' 다퇴소보충' 이라고 한다!

모호함과 확률

1. 불확실성이 무작위성인가요? 우도 비율과 확률이 모든 불확실성을 나타냅니까?

베이지안 진영: 확률은 주파수와 객관적인 측정이 아니라 주관적인 선험적 지식이다.

린들리: 확률은 불확실성에 대한 유일한 효과적이고 충분한 묘사이며, 다른 모든 방법은 불충분합니다.

유사성: 불확실성은 단위 간격 [0, 1] 사이의 숫자로 표시되며 집합, 관련, 연결, 분포 등의 명제가 있습니다.

차이: 한턱 내다. 고전적인 집합론,

확률적으로 불가능한 사건을 나타낸다. 모호성은

(1) 항상 사실입니까?

논리적 또는 부분적으로' 모순되지 않는 정리' (아리스토텔레스의 3 대' 사고정리' 중 하나) 를 위반할 수 있는지 여부를 고려하면 중정리도 마찬가지다.

성정리 이것들은 흑백이 아닌 고전적인 정리이다. ) 모호성 (모순) 은 서구 논리의 끝입니다.

(2) 조건부 확률 연산자를 내보낼 수 있습니까?

고전 집합론에서:

퍼지 이론: 수퍼 세트가 서브 세트의 서브 세트 프로세스라고 생각하십시오.

도, 이것은 모호한 세트 특유의 문제이다.

모호성과 확률: 얼마나 많은가?

모호성은 사건이 발생한 정도입니다. 무작위성은 이벤트가 발생했는지 여부에 대한 불확실성입니다.

예: 내일 비가 올 확률이 20% 입니다 (복합불확실성 포함).

주차 공간 문제

냉장고 안에 사과가 하나 있고, 냉장고 안에 사과가 반 개 있을 확률이 있다.

사건이 역전되어 지구가 원점으로 진화했다.

모호성은 확실성의 불확실성이며 물리적 현상의 특성이다. 모호성으로 불확실성을 표시하다

결과는 충격적일 것이며, 사람들은 현실 모델을 재검토해야 한다.

확률의 경제 개념

[1] 확률은 어떤 결과가 나올 가능성을 가리킨다. 서론은 형식화하기 어려운 개념이다. 그 형성은 불확실한 사건의 성격과 사람들의 주관적인 판단에 달려 있기 때문이다. 도입된 객관적인 척도는 과거 유사 사건의 발생 빈도에서 나온 것이다. 과거의 경험에 근거하여 판단할 수 없는 상황에서 확률의 형성은 직관에 기반한 주관적인 판단에 의존한다. 이때, 사람마다 다른 판단을 형성하고 다른 선택을 할 것이다.