확률의 정의는 무엇인가요?

확률, 기회율 또는 확률, 가능성이라고도 알려진 확률은 수학적 확률 이론의 기본 개념으로 0과 1 사이의 실수이며 무작위 사건의 가능성을 측정합니다. . 어떤 사건이 일어날 가능성을 나타내는 숫자를 그 사건의 확률이라고 합니다. 무작위 사건이 발생할 가능성을 측정한 것으로 확률론의 가장 기본적인 개념 중 하나입니다. 사람들은 자신이 시험에 합격할 것이라고 얼마나 확신하는지, 어떤 일이 일어날 가능성이 얼마나 되는지에 대해 자주 이야기합니다. 이것들은 모두 확률의 예입니다. 그러나 어떤 사건이 일어날 확률이 1/n이라면 그 사건이 n번에 반드시 한 번만 일어나야 한다는 뜻은 아니고, 그 사건의 빈도가 1/n의 값에 가깝다는 뜻이다.

1. 확률의 엄격한 정의

E가 무작위 실험이고 Ω이 표본 공간이라고 가정합니다. E의 각 사건 A에 대해 P(A)로 표시되는 실수가 할당되며, 이를 사건 A의 확률이라고 합니다. 여기서 P(·)는 집합함수이고 P(·)는 다음 조건을 만족해야 합니다:

(1) 비음성: 각 사건 A에 대해 P(A)≥0;

(2) 규범성: 불가피한 사건 S에 대해 P(S)=1;

(3) 가산성: A1, A2...가 상호 배타적인 일관된 사건이라고 가정합니다. 즉, i≠j, Ai∩Aj=ψ, (i, j=1,2...)에 대해 P(A1∪A2∪...)=P(A1) P(A2)... …

무작위 사건이 발생하는지 여부는 우연의 문제이지만, 무작위 사건이 발생할 가능성은 여전히 ​​다양하고 측정 가능합니다. 실제로 생활, 생산, 경제 활동에서 사람들은 무작위적인 사건이 발생할 확률에 관심을 갖는 경우가 많습니다.

예:

(1) 짝수 동전을 던졌을 때 앞면과 뒷면이 나올 확률은 각각 1/2입니다.

(2) 복권을 구매하면 당첨될 확률은 얼마나 되나요?

위에서 언급한 긍정적인 등장 확률, 복권 당첨 확률, 적중률 등은 모두 무작위 사건의 가능성을 측정하는 데 사용됩니다. 무작위 사건 A가 발생할 확률을 이 사건의 확률이라고 하며 P(A)로 표시됩니다.

확률은 0에서 1 사이의 숫자입니다. 확률이 높을수록 사건이 발생할 가능성이 높아지고, 확률이 작을수록 사건이 발생할 가능성이 낮아집니다. 특히, 불가능한 사건이 일어날 확률은 0이고, 필요한 사건이 일어날 확률은 1입니다. 즉,

P(Φ)=0, p(Ω)=1

2. 확률론적 고전적 정의

실험이 두 가지 조건을 충족하는 경우:

(1) 실험에는 유한한 수의 기본 결과만 있습니다

(2 ) 각 실험의 기본 결과가 발생할 가능성은 동일합니다.

이러한 실험은 고전적인 실험이 됩니다.

클래식 실험에서 사건 A의 확률은 다음과 같이 정의됩니다.

P(A)=m/n, n은 실험에서 가능한 모든 기본 결과의 총 수를 나타냅니다. 머리. m은 이벤트 A에 포함된 기본 테스트 결과의 개수를 나타냅니다. 확률을 정의하는 이러한 방식을 확률의 고전적 정의라고 합니다.

3. 확률의 통계적 정의

특정 조건에서 n번의 테스트를 반복하면 nA는 n번의 테스트에서 사건 A가 발생하는 횟수, n이 점차 증가하면 빈도 nA가 됩니다. /n은 특정 값 p 근처에서 점차 안정화되고, 값 p는 이 조건에서 사건 A가 발생할 확률이라고 하며 P(A)=p로 기록됩니다. 이 정의는 확률의 통계적 정의가 되었습니다.

역사상 처음으로 "시도 횟수 n이 점차 증가하면 빈도 nA는 확률 p에서 안정된다"는 주장에 엄밀한 의미와 수학적 증명을 부여한 사람이 확률론의 초기 역사였다. 가장 중요한 학자는 야콥 베르누이(Jacob Bernoulli, 1654-1705 AD)였습니다.

확률의 통계적 정의에서 p 값은 이 조건에서 사건 A가 발생할 가능성을 설명하는 정량적 지표임을 알 수 있습니다.

빈도 nA/n은 항상 0과 1 사이이므로 확률의 통계적 정의를 통해 어떤 사건 A에 대해서도 0≤P(A)≤1, P(Ω)=임을 알 수 있습니다. 1, P(Φ)=0.

Ω과 Φ는 각각 피할 수 없는 사건(특정 조건에서 반드시 일어나야 하는 사건)과 불가능한 사건(특정 조건에서 일어나면 안 되는 사건)을 나타냅니다.