수익률이 주어지면 1차 지배력과 2차 지배력을 어떻게 도출할 수 있나요?

1차 무작위 우세는 두 가지 보험이 있다는 뜻인데, 하나는 화재 발생 시 10,000, 홍수 발생 시 15,000, 다른 하나는 지진 발생 시 20,000을 지급합니다. 화재의 경우 25,000, 홍수의 경우 50,000 이렇게 하면 앞으로 어떤 상황이 발생하더라도 2차 보험에서 받는 보상액이 더 높아집니다. 이때는 1차 보험보다 2차 보험의 1차 계좌가 더 좋습니다. (여기서 사무적인 오류를 지적해주셔서 바로잡아주신 @豆豆님께 감사드립니다.) 경제학자들은 이때 돈에 대한 선호가 많을수록 좋고 위험 선호가 무엇이든 반드시 첫 번째 대신 두 번째를 선택할 것이라고 말합니다.

1차 확률론적 우세의 개념은 다음 문제를 해결하는 것입니다.

불확실한 사건에 대한 개인의 선호도를 연구할 때 우리는 종종 기대 효용 U를 사용합니다. 만약 기대 효용이 복권 A의 U(A)가 복권 B의 기대 효용 U(B)보다 높으면 이 사람은 B보다 A를 선호할 것이며 동일한 기대 효용을 가진 두 복권 C와 D는 미분화됩니다. 이 환경에서는 우리가 사용하는 베르누이 효용함수는 고정되어 있으므로(그의 선호도는 안정적이라고 가정하므로) 위험 선호도도 고정되어 있습니다.

그러나 불확실한 사건에 대한 다양한 사람들의 선호도를 연구할 때 위의 방법을 사용할 수는 없습니다. 그 이유는 간단합니다. 사람들마다 위험 회피 경향이 다르기 때문에(각 사람의 u에 반영됨) 기대 유용성이 가깝고 위험도 다른 두 복권 c와 d에 대해 사람들마다 선호도가 다를 것입니다. 예를 들어 c는 50의 확률로 10위안, 50의 확률로 20위안, d는 50의 확률로 1위안, 50의 확률로 30위안에 당첨될 수 있습니다. 그러나 복권 d의 예상 수익은 다음과 같습니다. 복권 c보다 높은 것 약간이지만 위험을 회피하는 사람들은 여전히 ​​c를 선택하고 위험을 좋아하거나 위험 중립적인 사람들은 d를 선택합니다. 이런 식으로 우리는 c와 d에 대한 모든 사람의 선호도를 판단하기 위해 기대 효용을 사용할 수 없습니다. 여기서 문제는 우리가 사용하는 베르누이 효용함수와 그것이 나타내는 위험 선호도가 고정되어 있지 않다는 것입니다. 따라서 다양한 복권에 대한 다양한 사람들의 선호도를 비교할 때 기대 효용을 비교하는 방법을 사용할 수는 없지만 좀 더 강력한 규칙이 필요합니다.

1차 확률론적 지배력은 매우 강력한 규칙입니다. 분명히, 복권 a의 1차 무작위 확률이 복권 b보다 낫다면 a의 기대 효용은 분명히 b보다 높습니다(왜냐하면 Σ의 모든 구성 요소가 더 크기 때문입니다). 그러나 복권 a의 1차 무작위 확률이 복권 b보다 더 좋기 위해서는 위의 예에서 1위안의 상황도 발생할 수 없어야 합니다. 이런 식으로 이 사람이 아무리 위험을 회피하더라도 돈에 대한 선호가 많을수록 더 좋다면 그는 반드시 b 대신 무작위로 우세한 1차 복권 a를 선택할 것입니다.

그러면 2차 무작위성이 지배적이라고 말할 수 있습니다. 1차 무작위 우세는 위험을 선호하는 사람들을 대상으로 합니다. 위험을 선호하든 위험을 회피하든, 당신은 반드시 1차 무작위 우세를 가진 복권을 선택할 것입니다. 2차 확률론적 우세는 위험을 회피하는 사람들에게만 해당됩니다(베르누이 효용 함수 u의 한계 효용 감소): 복권 a'가 복권 b'보다 2차 확률론적 우세인 경우 모든 위험 회피 사람들은 복권을 선호합니다. a'에서 b'로. 분명히 복권 a의 1차 무작위 확률이 b보다 낫다면 a도 b보다 나은 2차 무작위 확률이어야 합니다. 모두가 a를 선호하므로 위험을 회피하는 모든 사람들도 a를 선호해야 합니다.

이 두 가지 개념을 좌표축에 그려보세요. 가로축은 소득이고 세로축은 누적분배함수 CDF입니다. a의 1차 랜덤 우세는 b의 것보다 낫습니다. 이는 a의 CDF가 항상 b보다 낮다는 것을 의미합니다. a'의 2차 랜덤 우세는 b'의 CDF보다 낫습니다. a'는 b'의 CDF를 아래에서 위로 통과할 수 있지만 이로 인해 b'보다 높은 a'의 면적은 a'보다 높은 b'의 면적보다 클 수 없습니다. 인간의 말을 사용하기에는 너무 번거롭습니다. 왼쪽이 1층, 오른쪽이 2층입니다.