몇 개의 숫자를 어떻게 조합합니까?

키워드: 조합 정렬, 문제 해결 전략

첫째, 인접 문제 바인딩 방법

예 1.7 학생이 일렬로 서 있다. A 와 B 는 몇 가지 다른 배열이 있어야 함께 서 있을 수 있나요?

해결 방법: 두 요소를 함께 정렬하는 문제는 "바인딩" 방법으로 해결할 수 있습니다. 하나, 갑, 을, 다른 다섯 명을 하나의 원소로 배열하여 갑, 을의 순서를 고려해서 모두 두 종이다.

코멘트: 일반적으로 개인은 일렬로 서 있는데, 그 중 하나는 인접해 있어서' 묶음' 으로 해결할 수 있다. 세 가지 정렬 방법이 있습니다.

둘째, 인접하지 않은 문제-빈 삽입 방법

예 2. 일곱 명의 학생이 일렬로 서 있다. A 와 B 가 인접하지 않을 때 몇 가지 다른 배열이 있습니까?

솔루션: A 와 B 가 인접하지 않은 배열은 일반적으로 "공간 삽입" 방법을 사용하므로 A 와 B 가 인접하지 않은 총 배열 수는 다음과 같아야 합니다.

코멘트: 개인이 일렬로 서 있고 개인이 인접하지 않은 곳은' 빈 삽입' 으로 해결할 수 있는데, 두 가지 방법이 있습니다.

셋. 복잡한 문제-전체 제외 방법

직접법이 고려하기 어렵거나 분류가 불분명하거나 다중일 경우' 제외법' 을 고려해 볼 수 있다. 형상 문제를 해결하려면 해당 구성 요소에 대한 형상의 제한에 주의해야 합니다.

예 3. (1996 전국 수능) 정육각형의 중심과 정점에는 7 개의 점이 있고, 3 점을 정점으로 하는 삼각형은 몇 개입니까?

솔루션: 7 시에 3 점을 구하는 방법에는 세 가지가 있지만 정육각형의 대각선에 포함된 중심과 정점이 동일선상에 있으므로 세 개의 삼각형이 있으므로 -3 = 32 개의 삼각형이 조건을 충족합니다.

넷째, 특별한 요소-우선법

조건이 제한된 배열 조합 응용 문제의 경우 다른 위치를 고려하기 전에 특수 위치를 우선적으로 고려할 수 있습니다.

예 4. (1995 상하이 수능) 1 선생님과 4 명의 수상자들이 줄을 서서 기념사진을 찍었다. 양단에 선생님을 배정하지 않았다면, 또 다른 안배가 있었다.

해결 방법: 먼저 특수한 요소 (교사) 의 배치를 고려한다. 선생님은 양끝에 배정된 것이 아니기 때문에 가운데 세 곳에서 한 자리를 선택할 수 있고, 다른 학생들의 안배가 다르기 때문에 72 가지의 다른 안배가 있다.

예 5. (2000 년 전국 수능) 탁구대 10 명 중 주전 3 명, 5 명 출전. 3 개의 주력은 1, 3, 5 위에 배치해야 하고, 다른 7 개는 2, 4 위에 배치해야 하기 때문에 다른 출전이 있다.

해결 방법: 1 위, 3 위, 5 위가 특별하기 때문에 주력 선수만 배정할 수 있고, 다른 7 명 중 2 명은 2 위, 4 위에 배정될 수 있기 때문에 252 가지의 다른 타법 배치가 있습니다.

다섯째, 여러 문제-분류 토론 방법

많은 요소, 많은 선택권, 필요에 따라 토론하고, 마지막으로 총합을 할 수 있다. (윌리엄 셰익스피어, 햄릿, 지혜명언)

예 6. (2003 년 베이징 춘수) 한 반의 신년 파티에서 예정됐던 5 개 프로그램이 이미 프로그램 목록에 배치되어 공연 전에 두 개의 새로운 프로그램을 더 추가했다. 이 두 렌디션을 원본 렌디션 목록에 삽입하면 다른 삽입 방법의 수는 (A) 입니다.

A.42 B.30 C.20 D. 12

해결 방법: 새로 추가된 두 프로그램은 인접하거나 인접하지 않은 두 가지 상황: 1 으로 나눌 수 있습니다. 인접하지 않음: 총 62 종; 2. 인접: 총 A2A6 1 종. 따라서 다른 보간 방법의 수는 A62 +A22A6 1=42 이므로 A 를 선택합니다.

예 7. (2003 년 전국 수능) 그림과 같이 한 지역은 5 개 행정구로 나뉘어 있고, 지금은 지도가 컬러로 되어 있어 인접 지역이 같은 색깔을 사용할 수 없도록 요구하고 있다. 네 가지 색상 중에서 선택할 수 있는데 몇 가지 다른 색칠 방법이 있나요? (숫자로 대답)

해결 방법: 1 영역은 다른 4 개 영역에 인접해 있고, 한 영역마다 3 개 영역에 인접해 3 ~ 4 개 색상을 칠할 수 있습니다. 세 가지 색상으로 색칠하는 방법은 =24 가지 방법, 네 가지 색상으로 색칠하는 방법은 =48 가지이므로 24+48=72 가지 방법이 있습니다. 72 를 채워야 합니다.

여섯째, 혼합 문제-선호 및 후행법

정렬된 조합이 있는 혼합 응용 문제의 경우 먼저 요소를 선택한 다음 정렬하는 전략을 사용할 수 있습니다.

예 8. (2002 베이징 대학입시) 12 학우가 3 개의 다른 길목으로 가서 교통 흐름을 조사하다. 길목당 4 명의 학생이 있다면, 서로 다른 분배 방안 () 이 있다.

A. 종 B.

C. 종 D.

해결책: 이 문제는 균일 한 그룹화 문제입니다. 그리고 12 의 학생들은 모두 세 가지 방법으로 세 그룹으로 나뉘어 세 가지 서로 다른 분배 방안을 세 개의 서로 다른 길목에 분배하여 A 를 선택했다.

예 9. (2003 베이징 대학 입학 시험) 오이, 배추, 유채, 렌틸콩 네 가지 채소 중에서 세 가지 채소를 골라 각각 세 가지 토질의 땅에 심습니다. 그 중 오이는 반드시 재배해야 하며, 다른 재배 방법이 있습니다 ().

A.24 종 B. 18 종 C. 12 종 D.6.

해결 방법: 먼저 뒷줄을 선택하고 단계적으로 실시한다. 제목에 따라 선택 방법은 C32 이고 정렬 방법은 A3 1 A22 이므로 재배 방법이 A3 1 C32 A22 = 12 이므로 C 를 선택해야 합니다.

일곱. 같은 요소 분포-베젤 분리법

예제 10. 같은 책 10 권을 1, 2, 3 번 3 개 학생 열람실로 보냅니다. 열람실당 할당된 책 수는 그 번호보다 적습니다. 다른 점의 수를 알아내려고 노력하다. 가능한 한 많은 방법을 사용하여 문제를 해결하고 이러한 방법이 더 일반적인 상황에 적합한지 여부를 고려해 보십시오.

이 문제는 조합 문제를 고찰하고 있다.

해결책: 열람실 2 와 3 을 차례로 1 책, 책 2 권을 받도록하십시오. 나머지 7 권의 책을 분배하여 열람실당 적어도 한 권의 책이 있는지 확인합니다. 7 권의 같은 책 사이에 있는 6 개의' 틈' 에 두 개의 같은' 나' (일반적으로' 칸막이' 로 간주됨) 를 삽입하는 것과 같습니다. 즉 15 가지 삽입 방법이 있습니다.

결론적으로, 배열 조합 응용 문제를 해결하는 아이디어는 다음과 같이 요약할 수 있습니다. 배열이 명확하고 덧셈 곱셈이 명확합니다. 질서 정연한 배열, 무질서한 조합; 분류는 덧셈, 차근차근 곱셈이다.

특히, 일반적으로 다음과 같은 몇 가지 방법으로 정렬 조합의 응용 문제를 해결할 수 있습니다.

(1) 요소를 호스트합니다. 즉, 다른 요소를 고려하기 전에 특정 요소의 요구 사항을 충족합니다.

(2) 부지 선정을 주체로 하는 경우, 즉 특수한 부지 선정의 요구 사항을 먼저 충족한 다음 다른 부지 선정을 고려한다.

(3) 추가 조건을 고려하지 않고 배열 또는 조합의 수를 계산한 다음 불합격 배열 및 조합의 수를 뺍니다.

조합 정렬 문제를 해결하는 전략

장, 후베이 성 안육시 제 2 중학교

조합된 지식은 실천에서 광범위하게 응용되고, 조합된 지식을 습득하면 많은 생산생활에서 실제 응용문제를 해결하는 데 도움이 될 수 있다. 조합 문제를 동시에 배열하는 것은 항상 큰 난제였다. 따라서 배열 조합에 대한 지식을 전면적으로 파악하려면 배열 조합의 문제 해결 규칙과 방법을 총결해야 한다.

먼저 조합종합문제의 일반적인 문제 해결 법칙을 배열해 보겠습니다.

1) "분류 수 원리" 또는 "단계별 수 원리" 사용 여부는 우리가 한 가지 일을 완성하는 방식에 따라 달라집니다. 우리는 분류가 완료될 때 "분류 수 원리" 를 사용할 수 있고, 점진적으로 완성해야 할 때는 "단계 수 원리" 를 사용할 수 있습니다. 그렇다면 분류인지 점진적인지 어떻게 확인할 수 있습니까? "분류" 란 이들 중 하나가 지정된 이벤트를 독립적으로 완료할 수 있는 반면 "단계별" 은 지정된 이벤트의 모든 단계를 완료해야 한다는 의미입니다. 따라서 두 가지 원리를 정확하게 이해하고, 한 가지 일을 완성하는 몇 가지 방법이 서로 간섭하지 않고, 서로 독립적이며, 서로 교차하여 하나의 빈 세트로 통합된다는 점을 강조한다. 어떤 방법이든 독립적으로 일을 완성할 수 있다. 단계별 계산 원리는 모든 단계가 필수적이라는 점을 강조하며, 이 일을 완성하기 위해서는 모든 단계를 완료해야 한다.

2) 정렬 조합의 정의는 순서와 관련이 있는지 여부에 따라 유사합니다.

3) 복잡한 배열 문제는 종종 실험을 통해 시각화되고 "트리" 와 "블록 다이어그램" 을 그려 해결 방법을 찾는다. 결과의 정확성은 검사하기 어렵기 때문에, 종종 다른 방법으로 풀어야 검사를 받을 수 있다.

4) 요소 특성별로 분류하고, 사건의 연속성에 따라 점진적으로 진행하는 것은 배열 조합 문제를 처리하는 기본적인 사고 방법이며,' 최소한, 최대' 등 제한적인 단어의 의미에 유의해야 한다.

5) 전체적인 생각은 먼저 요소 (조합) 를 선택한 다음 배열하고, 요소의 특성별로' 분류' 하고, 이벤트의 진행에 따라' 점진적' 하는 것이다. 이는 항상 배열 조합 문제를 처리하는 기본 원칙과 방법이다. 문제 해결 훈련을 통해 분류와 점진적인 기본기를 축적하고 파악함으로써 각 단계가 독립적이고 분류 기준이 명확하고 차근차근 명확하고 빈틈이 없음을 보장합니다.

6) 조합종합배열문제를 해결할 때 조합배열이라는 개념을 깊이 이해하고, 문제를 능숙하게 분류하고, 조합수를 배열한 공식과 조합수의 성격을 명심해야 한다. 발생하기 쉬운 오류는 중복 및 누락 개수입니다.

간단히 말해서, 배열 조합 문제를 해결하는 기본 법칙은 분류 더하기, 단계별 곱셈, 정렬 그룹화가 명확하고 덧셈 곱셈이 명확하다는 것입니다. 질서 정연한 배열, 무질서한 조합; 어렵다면 반대하고, 간접적으로 배제하다.

둘째, 문제의 본질적 특성과 법칙을 파악하는 동시에 기본 원리와 공식을 유연하게 활용해 분석하고 해결하는 동시에, 일부 문제 해결 전략과 방법에 주의를 기울여 복잡해 보이는 문제를 해결할 수 있도록 한다. (데이비드 아셀, Northern Exposure (미국 TV 드라마), 문제명언) 다음은 몇 가지 일반적인 문제 해결 방법과 전략에 대해 설명합니다.

첫째, 특수 피쳐 (비트) 의 "우선 순위 지정 방법": 특수 피쳐 (비트) 의 배열 조합에 대해서는 일반적으로 특수를 먼저 고려한 다음 다른 것을 고려합니다.

예 1, 0, 2, 3, 4, 5 5 개의 숫자로 세 개의 숫자를 구성합니다. 반복되지 않습니다. 여기서 짝수는 () 입니다.

A.24 B.30 C.40 D.60

[해석] 3 자리 숫자는 짝수이므로 끝의 숫자는 짝수여야 하고 0 은 1 등을 할 수 없기 때문에 0 은' 특수' 요소 중 하나이므로 우선적으로 고려해야 한다. 두 가지 범주로 나눌 수 있습니다: 마지막 0 과 마지막 0: 1) 0 행 마지막에는 A42, 2) 마지막에는 C2 1A38 이 있습니다.

2. 총탈락법: 부정적인 문제에 대해서는 불합격을 총에서 제거할 수 있다. 예를 들어, 1 의 경우에도 이 방법으로 해결할 수 있습니다. 다섯 자릿수로 구성된 세 자리 전체 정렬에는 A53 이 있습니다. 배열 후 0 은 1 등을 할 수 없고, 숫자 3 과 5 는 마지막에 올 수 없다는 것을 발견했다. 이 두 가지 배열은 제외될 예정이므로 A53-3A42+C21A31= 30 개의 짝수가 있습니다.

3. 구속된 배열 조합 문제에 대해 합리적인 분류와 정확한 단계별 분류를 하고, 요소의 성격에 따라 사물의 연속 과정에 따라 단계적으로 분류하여 분류 기준이 명확하고, 단계별 수준이 명확하고, 새지 않는다.

4. 인접 문제의 바인딩 방법: 특정 요소가 인접해야 하는 문제를 해결할 때 먼저 전체 문제를 고려하여 인접한 요소를 하나의 "큰" 요소로 "바인딩" 하고 다른 요소와 함께 배열한 다음 바인딩 방법을 고려합니다.

예 2, 8 권의 다른 책이 있습니다. 그중 수학서 3 권, 외국어서 2 권, 기타 과목서 3 권. 이 책들을 책꽂이에 일렬로 늘어놓고 수학책을 함께 배열한다면, 외국어는 마침 () 종류로 배열되어 있다. (결과는 숫자로 표시됩니다.)

해결 방법: 세 권의 수학 책을 한 권의 큰 책으로 묶고, 두 권의 외국어 책을 한 권의 큰 책으로 묶는다. 다른 세 권의 책과 함께 오행으로 간주해 총 A55 종의 배열이다. 다른 세 권의 수학 책은 A33 배열이고, 두 권의 외국어 책은 A22 배열이다. 단계별 계산 원리에 따라 총 배열 방법 A55 A33 A22= 1440 (종) 입니다.

참고: 바인딩 방법을 사용하여 조합 정렬 문제를 해결할 때는 "바인딩" 큰 요소의 내부 순서에 주의해야 합니다.

5. "보간" 은 인접하지 않은 문제에 사용됩니다. 인접하지 않은 문제는 일부 요소가 인접하지 않고 다른 요소에 의해 분리되는 것을 의미합니다. 이 문제를 해결하려면 먼저 다른 요소를 배열한 다음 지정된 인접하지 않은 요소를 양쪽 끝의 간격과 위치에 삽입하여 보간법이라고 합니다.

예 3: 1, 2,3,4,5,6,7,8 을 사용하여 중복 숫자가 없는 8 자리 숫자를 구성합니다. 요구 사항 1 2 인접, 2 와 4 인접, 5 와 6 인접, 7 은 8 에 인접하지 않습니다. 이런 8 자리 숫자가 있습니다. (숫자로 대답)

솔루션: 요구 사항 1 은 2 에 인접해 있고 2 는 4 에 인접해 있으므로 1, 2,4 는 함께 바인딩되어 하나의 큰 요소를 구성할 수 있습니다. 이 큰 요소는 중간에 2 만 정렬할 수 있고 양쪽에 1 을 정렬할 수 있습니다 33 개의 배열이 있습니다. 그런 다음 앞에 배열된 3 개의 요소와 양끝의 4 개 위치에 의해 형성된 틈 중 2 개를 선택하여 서로 인접하지 않은 숫자 7 과 8 을 삽입합니다. A42 개의 배열이 있어서 합격한 8 자리 숫자는 A22A3A342 = 288 (종) 입니다.

참고: 보간법을 사용하여 인접하지 않은 문제를 해결할 때는 삽입할 위치에 양쪽 끝이 포함되어 있는지 확인해야 합니다.

6. "나누기" 를 사용하여 순서를 고정합니다. 일부 요소가 특정 순서로 정렬된 문제의 경우 먼저 이러한 요소를 다른 요소와 함께 배열한 다음 총 정렬 수를 해당 요소의 총 정렬 수로 나눌 수 있습니다.

예 4: 6 명이 줄을 섰고, A, B, C 는' A-B-C' 순서로 줄을 섰다. 줄을 서는 방법은 몇 가지가 있습니까?

해결: 추가 조건에 관계없이 A66 가지 대기열 방법이 있으며 A, B, C 의 A33 가지 대기열 방식 중 하나만 요구 사항을 충족합니다. 따라서 A66 ÷A33 = 120 개의 조건부 배열 방법이 있습니다. (또는 A63)

예 5. 남자 아이 네 명과 여자 아이 세 명이 키가 같지 않다. 자, 그들을 일렬로 세워서 왼쪽에서 오른쪽으로 여학생을 낮은 것부터 높은 것까지 배열하도록 하세요. (데이비드 아셀, Northern Exposure (미국 TV 드라마), 남녀명언) 얼마나 많은 종류의 배열이 있습니까?

해결 방법: 첫째, 7 개 위치 중 4 개는 남자에게 주고, A74 의 배열은 있고, 나머지 3 개는 여자에게 주고, 단 1 개의 배열만 있어서 A74 의 배열이 있습니다. (A77 ÷A33 일 수도 있음)

7. 배열된 문제는' 직선' 으로 해결한다. 몇 개의 원소를 몇 줄로 배열한 문제는 일렬로 늘어서서 해결할 수 있다.

예 6. 일곱 명이 두 줄로 나뉘어 앉았고, 첫 번째 줄은 세 개, 두 번째 줄은 네 개로 나뉘었다. 얼마나 많은 다른 앉은 자세가 있나요?

해석: 7 명이 마음대로 앞 두 줄에 앉을 수 있고, 다른 조건은 없기 때문에, 두 줄은 일렬로, 총 A77 가지의 다른 좌법이 될 수 있다.

여덟 개. 조별 테스트법: 질문에 부가조건이 늘어나면서 난점을 직접 해결할 때 실험을 통해 점진적으로 법칙을 찾는다.

예 7. 상자의 숫자 1, 2,3,4 를 숫자 1, 2,3,4 로 채우고 각 상자에 1 을 채웁니다. 정사각형에서 서로 다른 숫자의 채우기 방법 수는 () 입니다.

A.6 B.9 C. 1 1 D.23

해결 방법: 첫 번째 상자는 2 개, 3 개 또는 4 개를 담을 수 있습니다. 첫 번째 상자가 2 를 채우면 두 번째 상자는 1 또는 3 또는 4 를 채울 수 있습니다. 두 번째 상자가 1 으로 채워지면 마지막 두 상자는 한 가지 방법밖에 없습니다. 두 번째 상자가 3 이나 4 로 채워졌다면 마지막 두 상자는 한 가지 채우기만 있을 것이다. 채우기 방법에는 9 가지가 있습니다. B 를 선택하세요.

9, 구조 모델 "파티션 방법"

복잡한 스케줄링 문제의 경우 다른 시나리오를 설계하고 분할 모델을 구축하여 문제를 해결할 수 있습니다.

예 8. 방정식 a+b+c+d= 12 에는 몇 세트의 양의 정수 솔루션이 있습니까?

해석: 베젤 모델 만들기: 12 개의 동일한 공을 일렬로 배열하고 그 사이에 무작위로 3 개의 베젤을 삽입하여 공을 4 더미로 나눕니다. 나눗셈당 얻은 각 공 더미의 수는 A, B, C, D 의 양의 정수에 해당하므로 원래 방정식의 양의 정수는 모두 그룹이 있다.

또 방정식 a+b+c+d= 12 의 음수가 아닌 정수 솔루션 수를 예로 들면 이 방법으로 해결할 수 있습니다.

10. 어려움이 있으면 역방향 제외 방법을 사용합니다

"최대" 또는 "최소" 배열 조합 질문의 경우 복잡한 토론이 필요한 경우 "전체 잡동사니 제거" 방법, 즉 그룹에서 불합격한 정렬 조합을 제거하여 적합한 정렬 조합 수를 계산할 수 있습니다.

예 9: A 형 4 대, B 형 TV 5 대 중 3 대 중 적어도 1 A 형 TV 와 1 B 형 TV 가 필요하므로 () 다양한 선택 방법이 있습니다.

A. 140 종 B.80 종 C.70 종 D.35

해결 방법: 꺼낸 세 정거장 중 A 를 함유하지 않거나 주제와 맞지 않는 추출 방법은 하나도 없으므로, 질문과 일치하는 추출 방법은 C93-C43-C53=70 (종) 이므로 C.

참고: 이 방법은 부정상황이 명확하고 간단한 연습문제를 계산하는 데 적용된다.

XI. 점진적으로 탐구법: 상황이 복잡하고 그 법칙을 발견하기 어려운 문제는 진지하게 분석하고 탐구해야 한다.

예 10, 1 부터 100 까지, 한 번에 두 개의 다른 숫자를 꺼내 합이 100 보다 크면 몇 개의 차이를 가져옵니까

솔루션: 두 숫자의 덧셈에서 작은 숫자는 더하기,1+100 >; 100 과 1 이 가산인 경우 1, 2 는 가산, ..., 49 는 가산, 50 은 가산이지만 5/kloc-

열두. 일대일 대응 방법:

예: 1 1. 100 명의 선수 중 1 사이클 토너먼트 (즉, 실패 후 퇴장) 를 하는 데 얼마나 많은 경기가 있어야 우승을 할 수 있을까?

해결 방법: 챔피언을 만들려면 챔피언을 제외한 모든 선수를 탈락해야 한다. 즉 99 명의 선수를 탈락해야 하고 1 명의 선수를 탈락해야 하기 때문에 99 경기가 있다.

위의 방법은 일반적인 배열 조합 문제를 해결하는 일반적인 방법이지만 절대적인 것은 아니라는 점을 지적해야 한다. 수학은 매우 유연한 수업이며, 같은 문제에는 때때로 여러 가지 해법이 있다. 이때 분석을 자세히 생각하고 최적의 방법을 유연하게 선택해야 한다. 다원문제의' 분류',' 리본 케이블',' 등 확률법' 등도 있으니 자세히 설명하지 않겠습니다.