고전 확률 문제는 어떻게 해결합니까?

확률은 현대 수학의 중요한 부분이고, 고전 확률은 확률의 중요한 부분이다. 현실 생활과 밀접한 관련이 있을 뿐만 아니라, 학생들이 수학 지식을 이용하여 문제를 분석하고 문제를 해결할 수 있는 능력도 고찰할 수 있다. 그래서 새 과목권 속 천진 쓰촨 호북 등 성시는 모두 수능 고전 확률 제목으로 등장해 점점 더 중시되고 있다. 그 난이도가 적당하거나 중간인데, 구상이 참신하고, 질문이 교묘하며, 생활에 접근하는 것이 특징이다. 새로운 수능 이슈가 되다. 따라서 고전 확률의 특징을 깊이 파악하면 고전 확률의 문제 해결 전략을 연구하는 것이 특히 중요하다.

고전적인 확률에는 두 가지 특징이 있습니다.

(1) 실험에서 가능한 기본 이벤트 수는 제한되어 있습니다.

(2) 각 기본 사건의 가능성은 동일합니다.

다음은 몇 가지 고전 확률의 확률을 구하는 문제 해결 전략이다.

1. 상호 배타적인 이벤트나 반대 이벤트로 확률을 구하다.

복잡한 계산을 피하기 위해 요청된 이벤트를 쉽게 찾을 수 있는 상호 배타적인 사건의 합으로 바꿀 수도 있고, 반대 사건으로 찾을 수도 있다.

예 2 책가방에는 흰 공 세 개와 검은 공 세 개가 있다. 그 중 두 개를 선택한다면, 최대 한 개의 검은 공이 있을 확률은 얼마입니까?

분석: 분류를 통해 대립 사건을 토론하거나 이용한다.

솔루션 1: 가방에서 무작위로 두 개의 공을 꺼내면 6ⅹ5÷2= 15 가지 가능한 결과가 있습니다. 두 개를 선택하면 최대 한 개의 검은 공이 두 개의 상호 배타적인 이벤트인' 글로벌 화이트 볼' 과' 블랙 볼 한 개, 화이트 볼 한 개' 의 합집합으로 간주된다. "전백구" 는 3ⅹ2÷2=3 개의 가능한 결과가 있고, "1 흑 1 백구" 는 3ⅹ3=9 개의 가능한 결과가 있다. 사건 A 를' 최대 검은 공이 하나 있다' 로 설정하다. 이벤트 a 에는 9+3= 12 개의 기본 이벤트가 포함되어 있습니다.

따라서 이벤트 p (a)= =0.8 의 확률 P(A) 입니다.

솔루션 2: 이벤트 A 의 반대 이벤트는 "둘 다 검은 공 (이벤트 B 로 기록됨)" 이고 이벤트 B 에 포함된 기본 이벤트 수는 3ⅹ2÷2=3 입니다.

따라서 이벤트 a 의 확률은 p (a) =1-p (b) =1-= 0.8 입니다.

공식을 사용하다

P(A)= 이벤트 a 에 포함된 기본 이벤트 수/총 기본 이벤트 수.

예 1 기존 제품 10 개 중 8 개는 정품이고 2 개는 불량품입니다.

(1) 만약 당신이 안에서 한 개를 꺼내서 돌려놓고, 한 개 더 들고, 다시 들고, 한 개 더 들고, 세 번 연속 꺼내는 제품은 모두 정품일 확률입니다.

(2) 한 번에 세 개를 취하면 세 개 모두 진품의 확률이다.

분석: (1) 은 릴리스가 있는 샘플입니다. (2) 비 대체 샘플링

해결책: (1) 세 번 추출했고 결과 (x, y, z) 는 추출 순서로 기록되므로 x, y, z 는 10 이 가능하므로 실험의 모든 결과는/

사건 A 를' 3 회 연속 인출한 제품은 모두 정품입니다' 라고 설정했습니다. 위 계산법에 따르면 8 개 ⅹ 8 = 512 개의 기본 사건이 있습니다.

따라서 이벤트 a 의 확률은 P(A)= =0.5 12 입니다.

(2) 방법 1: 샘플이 세 번 되돌려지지 않고 순서가 다르고 기본 이벤트가 다르다는 것을 알 수 있습니다. 결과 (x, y, z), x 는 10 가능성, y 는 9 가지 가능성, z 는 8 가지 가능성이 있는 경우 테스트의 모든 결과는 10ⅹ9ⅹ8=720 가지 가능성입니다

사건 B 를' 세 건 모두 진품' 으로 설정하는데, 상술한 계산법에 따르면 8ⅹ7ⅹ6=336 개의 기본 사건이 있다. 따라서 이벤트 B 의 확률 P(B)= ≈0.467 입니다.

방법 2: 3 차 샘플링이 되돌려지지 않고 먼저 추출 순서로 결과 (x, y, z) 를 기록한 것으로 간주될 수 있습니다. x 는 10 가지 가능성, y 는 9 가지 가능성, z 는 8 가지 가능성이 있지만 (x, y, z)

따라서 이벤트 B 의 확률 P(B)= ≈0.467 입니다.

리뷰: 샘플링되지 않은 기본 이벤트 수를 계산할 때 질서 정연하거나 무질서한 것으로 간주할 수 있습니다. 결과는 동일하지만 어떤 방법을 선택하든 관찰 각도가 일치해야 합니다. 그렇지 않으면 오류가 발생합니다.

3. 집합의 교차와 합집합을 통해 확률을 구합니다.

실험의 가능한 모든 결과는 집합, 즉 완전한 세트로 볼 수 있고, 각 이벤트는 완전한 세트의 하위 집합으로 볼 수 있기 때문에 집합과 이벤트 확률의 관계는 이벤트와 집합의 대응을 통해 설정됩니다. 따라서 집합의 연산과 성격을 이용하여 간결하고 쉽게 확률 문제를 해결할 수 있습니다.

예 3 은 1 ∼100 에서 무작위로 정수를 취하여 (1) 6 과 8 로 균등하게 나눌 수 있는 확률을 구합니다. (2) 6 이나 8 로 나눌 수 있는 확률.

분석: (1) 무작위로 정수를 취하며 100 가지의 가능한 결과가 있습니다. 6 과 8 로 나눔된 수는 24 로 나눈다.1≤ 24n100 (n),1≤ n Ͱ 에서 나눈다

(2) 1≤6n 1≤ 100 에서 1 ≤ n/kloc/를 얻습니다 8 로 나눔되는 숫자는 12 개, 6 과 8 로 나눔되는 숫자는 4 개 가능한 결과이므로 6 이나 8 로 나눔되는 숫자의 가능한 결과는 16+ 12-4=24 입니다. 6 이나 8 로 나눌 수 있다' 를 사건 B, P(B)= =.

4. 고전 확률 모델 수립

고전 확률은 응용성이 강한 특징을 가지고 있으며, 생활 속의 많은 현상이 분석되어 고전 확률의 특징에 부합한다. 그래서 우리는 그것을 해결할 모델을 만들 수 있습니다.

예 4 한 야생 동물 보호구역의 특정 야생 동물 수를 조사하기 위해 조사원들은 하루에 1200 마리의 이런 동물을 잡아 표시를 하고 돌려놓았다. 일주일 후, 그들은 1000 마리의 이런 동물을 잡았는데, 그중에는 1000 마리의 동물이 포함되어 있다. 보호구역 내 이런 동물의 수를 어떻게 추정합니까?

분석: 우선, 이것은 삶의 실제 문제입니다. 우리는 이런 야생 동물 수를 일일이 집계할 수도 없고, 전혀 필요하지 않다. 필요한 인력과 물력을 낭비했기 때문에 수학적 모형을 만들어야 한다. 확률의 방법에 따르면 이 문제는 잘 해결될 수 있다.

해결책: 각 동물이 잡힐 가능성은 같고 모든 동물은 제한되어 있기 때문에 고전적인 확률 모델을 만들 수 있습니다. 보호구역에 X 마리의 야생 동물 한 마리가 있다고 가정하면, 각 동물이 잡힐 확률은 같다. 그래서 x/1200 =100/1000 입니다. 이런 식으로 자연보호구역 내에는 약 12000 마리의 이런 동물이 있다.

댓글 바로 수학 지식을 운용함으로써 고전 확률을 확립하고 추정할 수 있다. 이러한 확률 방법으로 추정되는 오차는 상당히 작아서 인력, 물력, 재력을 절약할 수 있다는 것이 실증되었다.

5. 방정식의 사상으로 확률을 연구하다.

한 반에 36 명의 학생이 지금 두 명을 선택해서 하나의 임무를 완성한다. 마찬가지로 모든 학생이 선출된다고 가정할 수 있다. 선택한 두 사람이 동성일 확률이 0.5 라면 반에서 남학생과 여학생의 수를 구하세요.

아이디어: 첫째, 모든 기본 이벤트의 총 수를 찾으십시오. 만약 N 명의 남학생, 36-n 명의 여학생이 있다면 동성의 기본 사건 수를 찾아라. 솔루션이 필요한 방정식을 나열합니다. N 의 값이 문제의 의미와 일치하는지 확인하십시오.

해결책: 36 명 중 2 명을 선택하고 나타나는 순서대로 결과 (x, y) 를 기록하십시오. 모든 사람이 당선될 가능성이 같기 때문에 X 는 36 가지 가능성이 있고 Y 는 35 가지 가능성이 있지만 (X, Y) 는 (Y, X) 와 동일하므로 모든 당선 결과는 36ⅹ35÷2=630 이다. 같은 계산 방법에 따르면, 선택한 두 사람이 모두 남자라면 n (n-1) 이 있습니다. 선택한 두 사람이 모두 여자라면 (36-n) (35-n) ÷ 두 가지 결과가 있다. 이벤트 a 를 동성으로 설정하면 이벤트 a 에 포함된 기본 이벤트 수는 n(n- 1)÷2+(36-n)(35-n)÷2 입니다. 문제의 의미에서 볼 때:

P (a) = [n (n-1) ÷ 2+(36-n) (35-n) ÷ 2]/630 =/kloc-0-0

즉 2n-36n+ 15=0 입니다.

해법은 n= 15 또는 n=2 1 입니다.

고찰을 통해 우리는 모든 학우들이 모두 요구 사항을 충족한다는 것을 알고, 이 반 남학생 15, 여학생 2 1 또는 남학생 2 1, 여학생 15.

6. 컴퓨터 (또는 계산기) 를 사용하여 즉시 시뮬레이션 실험을 통해 사건의 확률을 추정합니다.

컴퓨터가 보급됨에 따라, 그것은 이미 교육과 과학 연구 등 많은 분야에 광범위하게 적용되었다. 우리는 컴퓨터 시뮬레이션 무작위 실험을 통해 확률 문제를 해결할 수 있다.

동전을 던지는 예를 들어 컴퓨터로 난수를 생성하는 방법을 제시했다. 통계 기능이 있는 모든 소프트웨어에는 무작위 기능이 있습니다. Excel 소프트웨어를 예로 들어 Excel 소프트웨어를 열고 다음 단계를 수행합니다.

1. A 1 셀을 선택하고 "=RANDBETWEEN(0, 1)" 을 입력한 다음 enter 키를 누르면 해당 셀의 숫자가 무작위로 0 또는/를 생성합니다

2. A 1 셀을 선택하고 Ctrl+C 를 누른 다음 0 및 1 에 대한 셀을 선택하여 무작위로 생성합니다. 예를 들어 A2 가 Ctrl+V 에서 A 100 까지 누르면 A2 100 의 모든 숫자가 무작위로 생성된 0 또는 1 이면 곧 65438 을 받게 됩니다. ,

3. C 1 셀을 선택하고 주파수 함수 "= frequency (A 1: a100,0.5)" 를 입력하고 enter 키를 누릅니다 5 소수 숫자의 수, 즉 0 의 주파수, 즉 반대 방향의 주파수입니다.

4. D 1 셀을 선택하고 "=1-c1100" 을 입력한 다음 Enter 키를 누릅니다. 이 셀의 숫자는 이 100 테스트 중 1 의 주파수, 즉 위를 향하는 주파수입니다.

동전 던지기 실험은 컴퓨터로 시뮬레이션한 것이다. 우리는이 방법을 무작위 시뮬레이션이라고 부릅니다.

일기예보에 따르면 앞으로 3 일 동안 매일 비가 올 확률은 1/2 입니다. 이 3 일 중 어느 날 비가 올 확률은 얼마나 됩니까?

해결: 이 실험에서 가능한 결과는 몇 가지밖에 없으며, 각 결과의 발생도 똑같이 가능하다. 컴퓨터가 비를 시뮬레이션 할 확률은 2/5 입니다.

해결책: 우리는 시뮬레이션 실험을 설계함으로써 이 문제를 해결했다. 컴퓨터는 0 에서 9 사이의 정수 값의 난수를 생성할 수 있습니다. 우리는 0, 1, 2,3,4 로 비가 오는 것을 나타내고, 5,6,7,8,9 로 비가 오지 않는 것을 나타낸다. 이것은 비가 올 확률이 1/2 라는 것을 보여준다. 3 일이니까 난수가 세 개 있어요. 예를 들어 20 세트의 난수를 생성합니다.

537113 989 907 966191925 271932 8/;

458 056 683 431257 393 027 556 488 730

20 번의 실험을 한 것과 같습니다. 이 숫자들 중 정확히 0, 1, 2,3,4 에 숫자가 있다면, 마침 하루 비가 온 것이다. 각각 537,907,925,458,056,683,257,488, 즉 총 8 개의 번호입니다. 우리가 3 일 중 어느 날 비가 올 확률은 약 8/20=2/5 이다.

간단히 말해서, 터치볼, 분방, 생일, 페어링, 복권 당첨, 일기예보 등 생활상의 많은 문제들은 흔히 고전적인 확률로 해결될 수 있다.

참고 자료:

1 위종서' 확률론과 수리통계과정' 베이징: 고등교육출판사, 1999.

2 류소학고 수학 필수 3 베이징: 인민교육출판사, 2005.