수학적 능력을 키우는 방법 Zhihu

1. 자신의 요구 사항을 인식하십시오.

수학을 배워야 하는 이유를 먼저 명확하게 생각해야 합니다. 수학에는 많은 하위 범주가 있고 모든 수학 책에는 많은 정리와 결론이 있으므로 공부하는 데 많은 시간이 필요합니다. 인간의 시간은 소중하고 한정되어 있기 때문에 전체적인 목표를 갖고 시간을 합리적으로 계획하고 정리해야 합니다.

1.1 귀하의 목표는 수학을 마스터하고, 수학을 공부하고, 수학으로 생계를 꾸리는 것입니다. 귀하는 대수 기하학을 마스터하고 싶거나 최첨단 물리학을 마스터하고 싶을 수도 있습니다. 그렇다면 현대 대수학, 기하학, 해석학의 탄탄한 기초를 다져야 하며, 많은 시간과 에너지를 준비하고 흔들리지 않는 결단력을 가져야 합니다. (요구 사항: 고급 수학의 세 가지 수준 모두에 능숙함)

1.2 귀하의 목표는 고급 수학을 능숙하게 사용하고, 문제를 해결하고, 새로운 응용 분야를 탐색하기 위한 무기를 익히는 것입니다. 컴퓨터 비전이나 경제학 분야 또는 데이터 마이닝 분야. 그런 다음 행렬 이론, 미적분학, 확률 통계에 대한 탄탄한 기초를 다져야 합니다. (요구 사항: 레벨 1 고급 수학에 능숙함)

1.3 귀하의 목표는 수학의 즐거움을 이해하고 수학 학습을 인생의 주요 취미로 만드는 것입니다. 그렇다면 선형대수학, 수학적 분석, 위상수학, 확률통계학의 탄탄한 기초를 다져야 합니다. 수학을 배우는 재미를 경험하는 것이 더 중요한 목표입니다. (1급 고급수학을 능숙하게 하고, 2급 고급수학을 헤엄치고, 3급 고급수학에 도전해 보세요)

2. 충분한 동기부여를 해주세요

수학을 배우려면 지능이 필요하고 더 많은 시간과 에너지가 필요합니다. 다음 사실은 누구나 잘 알고 있습니다:

1. 쓸모 없거나 유용하지만 사용하지 않는 것은 빨리 배우고 빨리 잊어버립니다. 제 말을 믿을 수 없다면, 1학년이나 중학교 때 들었던 기초과목을 아직도 기억하시나요?

2. 어떤 일에 관심이 없거나 흥미롭지 않다면, 그것을 끝까지 완수하기가 어려울 것입니다. 많은 사람들이 이런 경험을 했습니다. 그들은 책의 처음 세 장을 아주 주의깊게 읽었지만, 그 장들을 점점 더 빨리 읽게 되었는데, 그것은 어쨌든 흥미롭지도 않고 유용하지도 않습니다.

3. 초등학교 수학은 중학교 수학의 기초이고, 중학교 수학은 고등학교 수학의 기초이며, 고등학교 수학은 대학 수학의 기초입니다.

그래서 당신의 목표가 무엇이든, 수학에 참여하는 것이든, 수학을 활용하는 것이든, 수학의 재미를 경험하고 10대 때부터 갖고 있던 꿈을 이루는 것이든. 재미를 위해 배우고 배운 것을 적용하는 것은 동기 부여가 감소하는 것을 막는 가장 중요한 두 가지 요소입니다.

3. 고급수학에서는 무엇을 배울까요?

좋아, 표준 대학 수학의 기술 트리를 살펴보자:

레벨 1:

선형 대수학(행렬 이론), 수학적 분석, 현대 대수학(그룹 링 필드)은 기하학, 분석 및 대수학의 기본 이론을 각각 다루고 있습니다. 확률 이론(분석에 기초한 기본 학문)을 잊지 마세요.

레벨 2:

이러한 기초를 바탕으로 기초의 기초, 추상화 및 확장이 옵니다: 측정 이론(적분의 기초, 물론 확률 이론의 기초) , 위상수학(집합, 공간, 기하학에 관한 매우 중요한 기초과목), 함수해석(선형대수의 일반화), 복소함수(해석의 일반화), 상미분방정식과 편미분방정식(해석의 일반화), 수학적 통계 및 확률론적 과정(확률 이론의 일반화), 미분 기하학(분석과 기하학의 조합).

그리고 수치 분석(알고리즘), 암호학, 그래픽, 정보 이론, 시계열, 그래프 이론 등 신선하고 응용되는 주제도 있습니다.

레벨 3:

다음 레벨은 미분 다양체, 대수 기하학, 확률론적 역학 등 대수학, 기하학, 분석을 함께 다루어야 하는 대학원 주제입니다.

이 과학 기술 트리의 세 번째 단계는 초등학교, 중학교, 고등학교 수학과 매우 유사합니다. 한 단계에 능숙하지 않으면 다음 단계에서 성경을 읽게 됩니다. .

4. 공부하는 방법

4.1 질문은 적당히 하세요.

절대로 질문을 미친 듯이 하지 마세요. 전략적인 대결 게임을 해본 학생들은 낮은 레벨의 병사 몇 명만 키워야 한다는 것을 알고 있습니다. 낮은 레벨의 병사들만 공격하는 것이 아니라 후반 단계에서 승리하려면 높은 레벨의 병사를 구입하기 위해 돈을 모아야 합니다. 힘은 있지만 흥미로운 마법도 없습니다. 존재 목적은 이후 단계까지 생존할 수 있는 능력을 갖는 것입니다. 위에 나열된 강좌가 너무 많습니다. 처음 5년 동안 Jiminovich의 6가지 수학적 분석 문제 세트를 완료하면 30세가 되며 아직 2단계 강좌를 배우기 시작하지 않은 것입니다.

그러므로 뇌 기능을 검토하고, 생각하고, 유지하는 데 도움이 되는 방과 후 운동을 계속해서 거꾸로 학습해야 합니다. 전혀 이해가 되지 않는다면, 돌아가서 아이디어를 명확히 하는 데 도움이 되는 연습을 해보세요.

4.2 아이디어 이해

수학의 본질은 질문의 수가 아니라 아이디어를 숙달하는 데 있습니다. 수학의 각 분야에는 고유한 아이디어와 방법론이 있으며, 서로 다른 분야에는 서로 비교하고 배울 수 있는 사고 방식도 있습니다. 주의를 기울이고, 본받으면, 사소한 지식이 목걸이가 되어, 한 코스를 마스터하게 될 것입니다. 아이디어는 하나의 교과서를 읽는 것으로 쉽게 이해될 수 없습니다. 이를 이해하려면 먼저 여러 권의 책을 읽고 일부 응용 프로그램을 이해해야 합니다. 두 가지 예를 들어보세요:

미적분학에는 몇 가지 주요 라인이 있습니다. 미시적과 거시적 관계가 연결되어 있다는 사실을 인식하고, 미분은 사물이 어떻게 변하는 지 설명하는 데 사용되며, 볼 수 있도록 세부 사항을 확대하고, 적분은 설명하기 위해 사용됩니다. 사물의 전반적인 성격; 미분과 적분은 때때로 현상을 설명하는 다른 방식으로, 수학적 분석 책에서는 쉽게 찾을 수 없지만 물리학을 배우면 Maxwell의 방정식에도 등가 미분 형식과 적분 형식이 있음을 알 수 있습니다. ; 적분 변환은 서로 다른 공간 사이의 연결을 설정할 수 있으며, 공간과 공간 경계 사이의 연결을 설정할 수 있습니다. 이것이 스톡스의 정리입니다. 이 공식은 늦어도 전체 그림을 엿볼 수 있으려면 미분 다양체에 있어야 합니다.

행렬은 공간의 선형 변환을 추상화한 것입니다. 선형 대수학의 전체 의미는 공간 선형 변환 연산자를 표현하고 단순화하고 분류하는 방법을 연구하는 것입니다. SVD 분해는 응용 분야에서만 널리 사용됩니다. Debut는 행렬을 이해하는 데에도 강력한 도구입니다. 행렬은 유한 차원 공간의 선형 연산자입니다. "공간"을 이해하면 행렬을 다시 이해할 수 있을 뿐만 아니라 함수 분석 학습의 좋은 시작도 할 수 있습니다.

4.3 점진적인 순환 학습, 비교 학습

한 권의 책만 읽는 경우가 많을 수 있는데, 이는 저자가 어딘가에 생각에 뛰어들었기 때문일 수 있으며 결코 그렇지 않을 것입니다. 다시 따라갈 수 있습니다. 수학을 배우는 비결 중 하나는 국제적으로 유명한 여러 교과서를 동시에 구입하여 서로 비교하거나, 하나를 읽은 다음 동일한 주제에 대한 다른 책을 읽는 것입니다. 그래도 이해가 안 되면 멈춰서 생각하거나 연습을 해보세요. 이해할 수 있는 부분부터 한 걸음 물러서서 앞으로 나아가면 여러 곳에서 한 가지가 나타나는 것을 발견하게 될 것입니다. 그것에 대한 이해가 깊어질 것입니다. 두 가지 예를 들자면:

국내 일부 수학적 분석 서적에서는 외적 미분법이 소개되지 않는 경우가 있는데, 처음 접한 것은 펑자귀(Peng Jiagui)의 『미분 기하학』에서였는데, 편리하고 기발한 방법이라고 생각했습니다. .도구; 나중에 Zhuo Liqi의 "수학적 분석"과 Rudin의 "수학적 분석 원리"를 읽었는데 둘 다 미분 계산이 서양의 기본 지식이라는 것을 알 수 있습니다. 이를 이해하려면 먼저 행렬을 이해하고 행렬식이 정확히 행렬의 변환 아래에 늘어난 공간 부피의 배수라는 것을 이해해야 할 수 있습니다. 마지막으로, 미분 다양체를 읽으면 외부 미분은 다양체에 대한 스톡스의 정리를 얻기 위한 도구라는 것을 알게 될 것입니다.

포인트 세트 토폴로지는 응용 프로그램에서는 유용하지 않습니다. 그러나 심도 있게 배우고 싶다면 이 과목을 반드시 숙지해야 합니다. 왜냐하면 이 과목은 개방집합, 간소집합, 연속성, 완전성과 같은 기본적인 수학적 개념을 정확하게 묘사하기 때문입니다. 앞으로는 기능 분석과 미분 다양체를 배우게 될 것입니다. 이러한 개념이 없으면 발전할 수 없습니다. 우선 몽클리스의 명작 『토폴로지』를 읽어야 하고, 그런 다음 다른 외국인이 쓴 책을 읽으면 어느 정도 관련 개념을 접하게 되고, 예를 들어 루딘의 『기능 분석』을 읽으면 이해가 깊어질 것입니다. " 》는 선형 위상 공간에 대한 소개로 시작됩니다. 이전 지식을 활용할 수 있습니다.

4.4 서로 다른 학문 간의 연결을 확립하십시오

무언가가 여러 곳에 사용되는 것을 보면 그것에 대한 이해가 깊어지고 천천히 이 사물의 미묘함을 감상할 수 있게 될 것입니다. 결국, 모든 기본 주제가 서로 얽혀 있으며 후속 응용 프로그램에서 서로 도움이 되며 실제로 기본적이고 유용하다는 것을 깨닫게 될 것입니다. 이것이 바로 수학의 즐거움을 경험하는 방법입니다.

4.5 응용 분야에 주의를 기울이십시오

응용만큼 새로운 지식과 새로운 도구에 대한 욕구를 자극할 수 있는 것은 없습니다. 관심 있는 응용 주제에 관한 교과서를 찾아서 읽고, 시야를 넓히고, 미래를 위한 자원을 축적하세요.

내 전공(컴퓨터 비전)과 취미를 바탕으로 한 훌륭한 전문 서적에 대해 이야기해 보겠습니다.

미적분학을 배운 후 스트레스 없이 "파인만의 물리학 강의 1권"을 읽고 힘, 열, 빛, 편미분 방정식을 배운 후에는 "파인만의 물리학 강의 2권"을 부담 없이 읽을 수 있고, 행렬 이론을 배운 후에는 "컴퓨터 비전"을 구입할 수 있습니다. Multi-View Geometry"는 이미징의 신비를 이해하고 이미지 시퀀스의 3차원 재구성을 수행하는 프로그램입니다. 확률 이론을 공부한 학생들은 베이지안 학파와 빈도주의 학파에 대해 들어봤을 것입니다. 이 두 학파의 사람들은 다음과 같은 그림을 그렸습니다. 그리고 기계학습 분야에 대한 기초 수학이 제공하는 유익한 결과와 심오한 통찰력에 깊은 인상을 받았습니다. ""Ray Tracing from the Ground Up"을 읽은 후 실제 장면을 렌더링하기 위해 Ray Tracing을 작성했습니다. 그 기반은 약간의 미적분학 및 행렬입니다...

정말 프로그래밍, 자동화, 로봇 공학, 컴퓨터 비전, 패턴 인식, 데이터 마이닝, 그래픽, 정보 이론 및 암호화를 좋아한다면 어디든 가지고 놀 수 있고 필요한 모델이 너무 많습니다. 약간 고급 수학. 이러한 영역에서는 수학책보다 작업 목표를 찾는 것이 더 흥미롭고 더 쉽다는 것을 알 수 있습니다.

4.6 읽을 만한 흥미로운 책 찾기

수학자들이 쓴 책은 때로 상대적으로 엄격하지만, 저자가 '이것'을 보여주고 싶은 강한 열망을 갖고 있는 교과서가 항상 있습니다. 사실 매우 흥미롭다", "이건 당신이 생각하는 것과 전혀 다르다" 등의 반응을 얻어 성공했고, 한 가지를 다른 분야에 응용한 모습, 또 다른 분야에서 다른 것을 응용한 모습을 보여주는 것을 좋아하는 작가도 있다. 특정 분야입니다. 이런 종류의 책은 당신에게 읽는 즐거움을 선사할 것이다. 대표적인 것이 중국에서 출판된 『수학과 통계에 관한 튜링 시리즈』이다. 『선형대수학은 이렇게 배워야 한다』, 『복소분석: 시각화 방법』, 『미분방정식, 동역학』 등의 책들이 정말 훌륭하다. 시스템과 카오스' '입문'은 개인적으로 수학 학습에 꼭 읽어야 할 고전 교과서라고 생각합니다. 매우 매우 흥미롭습니다.

5. 더 많이 읽고 좋은 책을 읽어라

수학적 능력을 키우는 방법을 단 한 문장으로 요약한다면 바로 이 문장이다. 그러므로 나는 이 단계를 나누어서 몇 마디 더 말씀드리고 싶습니다.

저는 모든 사람이 초등학교 수학에 매우 능숙하고 능숙하게 적용할 수 있다고 믿습니다. 대수기하학을 이해하고 싶거나, 한발 물러서서 정보이론의 기초를 이해하고 싶다면, 가급적이면 외국인이 쓴 몇 가지 좋은 기본 교과서를 골라 초등학교 수학처럼 마스터해야 합니다. 한 권의 책만 읽지 말고, 서로 다른 저자가 쓴 세 권의 책을 찾아서 한 줄씩, 한 단어씩 비교해 보세요. 이해가 안 되는 부분이 있을 수도 있겠지만, 적어 보면 아마 다른 책 어딘가에서 다른 각도에서 언급될 수도 있을 것입니다.

미래에 더 많은 것을 배우고 싶다면 지금 보는 모든 기본 정리가 미래에도 사용될 것입니다.

모든 기본서는 오늘 포기하면 내일부터 다시 시작해야 한다.

성경을 읽는 것처럼 여러 교과서 내용의 유사점과 차이점을 교차해서 읽고 비교해보세요.

5.1. 추천 교과서(실제로 내가 읽었고 좋다고 생각하는 책):

레벨 1:

"선형대수학은 이렇게 되어야 합니다. 배웠다"

Zhuo Liqi의 "수학적 분석 (2 권)"(영어 버전을 읽어보세요. 어렵지 않습니다.

몇몇 친구들은 이것이 아직 간단하지 않기 때문에 먼저 국내 교과서를 읽고 다시 돌아가서 읽을 수 있다고 말했습니다.)

푸단대학교 "확률 이론"

레벨 2 :

Monkris의 "위상학"

Turing 시리즈의 일부 권

Kostrykin의 "대수학 입문"

Vapnik "The Essence of Statistical Learning Theory"

Rudin "수학적 분석의 원리"

Rudin "기능 분석"

Gamelin "복잡한 분석"

Peng Jiagui "미분 기하학"

"정보 이론의 기초" 표지

레벨 3:

"미분 인기와 리만 기하학"

"현대 기하학, 방법 및 응용" 3권

5.2 인기 있는 과학 교과서를 읽어보세요.

"수학이란 무엇입니까?"

" "초등학교 수학 a High Viewpoint"

"Bach, Escher, Gödel"

"The Story of e"

5.3. 다양한 분야에서 가장 흥미로운 독서, 가장 생생하고, 가장 유익하고, 가장 응용 지향적이며, 가장 이해하기 쉬운 교과서와 책

"파인만의 물리학 강의" 3권

"혼돈과 프랙탈": 새로운 과학의 프론티어"

"미분 방정식, 동적 시스템 및 혼돈에 대한 소개"

"복잡한 분석: 시각화 방법"

마지막으로 말씀드리고 싶습니다. 수학은 무저갱이 당신의 소중한 젊음을 앗아갈 것입니다. 아무것도 모른다면 현대 수학을 이해하려는 의욕이 생길 수도 있지만, 중간에 낙담할 수도 있고, 동시에 다른 과학을 마스터할 시간도 부족할 수도 있습니다. 그리고 순수 수학에 능숙하더라도 좋은 기사 몇 편 없이는 일자리를 찾는 것이 쉽지 않습니다.

제가 제안하는 것은 수학을 읽는 과정에서 시야를 넓히는 것입니다. 순수수학과 응용수학을 모두 살펴보고 관심 있고, 널리 사용되고, 취업하기 쉬운 방향을 찾으세요. 돈을 벌다). 가서 그것을 당신의 경력으로 만드십시오. 예를 들어, 수학에 탄탄하고 프로그래밍 능력이 뛰어난 사람은 매우 유망합니다.

저자: Wang Xiaolong

링크: /question/19556658/answer/26950430

출처: Zhihu

저작권은 저작자에게 있습니다. . 상업적인 재인쇄의 경우, 저자에게 연락하여 승인을 받으시기 바랍니다. 비상업적 재인쇄의 경우 출처를 명시해 주시기 바랍니다.