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역설이란 무엇인가?
역설은 터무니없는 것처럼 보이지만 수학 철학사에 중요한 영향을 미쳤다. 몇몇 유명한 역설들은 재능이 넘치는 철학자와 수학자들을 놀라게 하고, 머리를 쥐어짜고, 사람들의 오랜 고충을 불러일으켰다. 역설에 대한 연구는 수학 사상의 심화 발전에 큰 기여를 했다고 할 수 있다.
세계 최초의 역설은 기원전 5 세기 그리스 철학자 지노가 내놓은 유명한 스포츠 역설이다. 우리나라 기원전 3 세기의' 장자'? 《천하편》에도 몇 가지 유명한 역설이 있다. 이러한 역설의 제기와 해결은 모두 수학과 관련이 있다. 수학사에서 가장 충격적인 역설은 영국 철학자 로소가 1902 년 제기한' 집합론 역설' 으로, 수학 빌딩 전체의 기초를 거의 흔들어 이른바' 제 3 의 수학 위기' 를 불러일으켰다. 이러한 심각한 주제는 많은 수학 방법론 저작, 수학사 서적 및 관련 독서 자료에서 기재되고 토론된다.
이 문장 그냥 몇 가지 편안한 주제를 말하고 싶어. 사실, 많은 수학적 역설은 매우 흥미 롭습니다. 눈을 뜨게 할뿐만 아니라 무한한 즐거움을 누릴 수 있습니다. 사상적이고 재미있고 곤혹스러운 문제들에 직면하여, 너는 반드시 지적인 준비를 해야 한다. 그렇지 않으면 너는 이 역설 미로에서 돌아서지 못할 수도 있다. 아래의 작은 이야기를 보면, 너는 이 말이 사실이라고 믿을 것이다.
첫 번째 이야기는 한 조사관에게 일어났다. 연구자들은 A, B, C 3 개 중학교에 의뢰되어 학생들이' 중학생수학' 을 구독하는 상황을 조사했다. 그는 곧 A 학교에서 구독하는 남학생의 비율이 여학생보다 크고 B 학교와 C 학교에 대한 조사도 같은 결과를 냈다고 집계했다. 그래서 그는 세 학교의 조사 데이터를 보면 남학생이 중학생 수학을 구독하는 비율이 여학생보다 크다고 간단한 보고서를 작성하려고 한다. 나중에 그는 세 학교의 학생들을 함께 집계했는데, 놀라운 일이 일어났다. 이때 그가 얻은 통계 결과는 그를 깜짝 놀라게 했다. 중학생 수학을 구독하는 모든 학생 중 여학생의 비율이 남학생보다 크다. 어떻게 그럴 수 있죠? 마술처럼, 덜 많이 변하고, 변화무쌍하다. (서양속담, 지혜속담) 당신은 그가 원인을 찾도록 도와줄 수 있습니까?
다음 역설은 더 간단해 보인다. 어떤 사람들은 그것을 수학의 게임 이론 연구 범주에 포함시켰다.
한 미국 수학자가 카지노에 와서 무작위로 두 명의 도박꾼을 가로막고 간단하고 수익성 있는 도박 방법을 가르쳐 주었다. 방법은 두 사람이 돈을 모두 꺼내서 세어보는 것이다. 돈이 적은 사람은 돈이 많은 사람의 모든 돈을 이길 수 있다. 도박꾼 A 는 내 몸에 있는 돈이 상대보다 많으면 내가 졌다고 생각하지만, 만약 그의 상대가 나보다 돈이 많으면 내가 가지고 있는 것보다 더 많은 돈을 이기 때문에 내가 이기는 것이 지는 것보다 더 많을 것이라고 생각한다. (윌리엄 셰익스피어, 햄릿, 돈명언) 우리가 가지고 있는 돈의 수는 무작위이고, 가능성은 5 ~ 5 개일 수 있기 때문에 이런 도박 방식은 나에게 유리하고 시도해 볼 만하다. 도박꾼 B 의 생각은 A 와 일치한다. 그래서 두 사람 모두 수학자의 건의를 즐겁게 받아들였다. 이것은 정말 돈을 버는 도박인 것 같다.
이제 문제는, 도박이 어떻게 쌍방 모두에게 이득이 될 수 있는가 하는 것이다. 동전의 앞면과 뒷면을 똑같이 추측할 수 있는 게임인가요? 지면 1 원만 배상하고 이기면 2 위안을 받나요? 수학자와 논리학자들의 골치 아픈 문제였다고 한다. 사이언티픽 아메리칸 잡지는 줄곧 이 질문에 대한 답을 찾고 있다. 사실 자세히 분석하기만 하면 이 문제는 설득력 있는 설명을 하기 어렵지 않다.
또 다른 논리적 역설을 보세요. 한 자릿수학 교수는 학생들에게 시험이 다음 주 어느 날 열릴 것이라고 말했다. 어느 날인가? 시험 날까지 나는 이것이 사전에 예상하지 못한 것임을 알았다. 학생들은 강력한 논리적 추리 능력을 가지고 있다. 그들은 교수에 따르면 금요일에 시험이 없을 것이라고 생각한다. 목요일에 시험이 없다면 교수가 말한 "시험 당일에야 알게 될 것이다. 이것은 예상치 못한 것" 이라는 말이 틀렸기 때문이다. 그래서 금요일 시험은 배제할 수 있다. 그리고 월요일부터 목요일까지만 시험을 볼 수 있다. 이 경우 목요일 시험은 불가능하다. 수요일에 시험이 없다면 목요일밖에 없기 때문이다. 이런 상황에서도 놀라지 않을 것이다. 그래서 목요일 시험도 제외되었다. 너는 같은 이유로 수요일 화요일 월요일에 시험이 불가능하다고 말할 수 있다. 결론을 얻어 학생들은 매우 기뻤다. 교수의 말은 갈등을 불러일으켰다. 긴장을 풀자. 그 결과 다음주 화요일에 교수가 시험을 발표하자 학생들은 깜짝 놀랐다. 왜 엄격한 추리가 실패했는가? 교수는 정말 그가 말한 것을 실현했고, 아무도 시험 시간을 예측할 수 없었다. 이제 생각해 보세요. 학생들의 추리에 무슨 문제가 있습니까?
운동 역설은 유래가 깊다. 여기에 소개된 개미와 고무줄 역설은 재미있는 수학 문제이며, 너의 직관을 시험한다. 문제는 개미 한 마리가 긴 1 00m 의 고무줄을 따라 초당1센티미터의 일정한 속도로 한쪽 끝에서 다른 쪽 끝으로 올라간다는 것이다. 고무줄은 1 초마다 100 미터씩 늘어납니다. 예를 들어 10 초 후에 고무줄이 1000 미터까지 늘어납니다. 물론 이 문제는 순수 수학적입니다. 고무 끈이 자유롭게 신축될 수 있고 스트레칭이 균일하다고 가정합시다. (데이비드 아셀, Northern Exposure (미국 TV 드라마), 스포츠명언)
개미도 지치지 않고 위로 올라갈 수 있다. 밧줄이 고르게 늘어지면 개미의 위치는 자연스럽게 고르게 앞으로 움직인다. 자, 개미가 이런 속도로 결국 고무줄 반대편으로 올라갈 수 있을까요?
개미가 기어가는 불쌍한 거리는 고무줄보다 만 배나 더 길게 뻗지 못하지만, 종점에서 점점 멀어지고 있다고 생각할지 모릅니다! 그러나 개미가 종점까지 오르는 것은 사실이다. 이상한가요?