중국 컴퓨터 복지 복권의 수학적 문제

복권의 내재 법칙에 대한 논의는 동전을 던지고 주사위를 던지고 룰렛을 돌릴 때 법칙을 찾을 수 없을 때 무작위라고 해서 확률론을 세웠다. 그 이후로, 과학의 외투 아래, 인류는 다시 한 번 자신의 오만과 무지를 보여 주었다!

인연은 운명이다.

저자 이안 스튜어트 [뉴 사이언티스트 주간지에서]

모든 자연적인 것은 인류의 미해결의 예술이다.

모든 사고에는 보이지 않는 방향이 있다.

모든 불협화는 이해되지 않는 조화이다.

모든 작은 악은 대선의 또 다른 표현이다.

알렉산더 포프.

인간은 법칙을 발견하는 데 매우 뛰어나다. 이 능력은 과학의 초석 중 하나이다. 우리가 어떤 법칙을 발견할 때, 우리는 그것을 공식화하려고 시도하고, 그 공식을 적용하여 우리가 주변 세계를 이해하는 데 도움을 줄 것이다. 만약 법칙을 찾을 수 없다면, 우리는 그것을 무지로 귀결하지 않고, 우리가 특히 즐겨 사용하는 또 다른 개념으로 귀결한다. 우리는 그것을 무작위성이라고 부른다.

전통 관념의 무작위성

동전을 던지고, 주사위를 굴리고, 룰렛을 돌릴 때, 우리는 법칙을 찾을 수 없기 때문에 무작위라고 말한다. 최근까지 우리는 날씨 변화, 전염병 폭발, 액체 난류의 법칙을 발견하지 못했고, 이를 무작위라고 부른다. 사실' 무작위성' 에는 또 다른 해결책이 있다. 그것은 내재적인 법칙이 있을 수도 있고, 단지 인간의 무지를 반영하는 것일 수도 있다. 우리가 현실 세계의 활동을 연구할 때, 우리는 무의식적으로 그것들이 규칙적이거나 무작위적이라고 생각한다. 날씨가 정말 무작위입니까, 아니면 규칙적으로 따를 수 있습니까? 주사위를 던지는 숫자는 무작위입니까, 확정적입니까? 물리학자들은 무작위성을 양자역학 미시과학의 절대적인 기초로 여긴다. 아무도 방사성 원자가 언제 쇠퇴할지 예측할 수 없다고 생각한다. 하지만 이것이 사실이라면, 무엇이 이 사건을 일으켰을까요? 원자는 자신이 언제 쇠퇴해야 하는지 어떻게 "알" 수 있습니까? 이 질문들에 답하기 위해서, 우리는 우리가 토론하는 것이 어떤 무작위성인지 알아야 한다. 그것은 현실의 진정한 본질인가, 아니면 우리가 어떻게 현실의 환각을 흉내내는지 반영한 것인가? 가장 간단한 개념을 먼저 말하다. 만약 시스템이 앞으로 무엇을 할 것인지가 이전의 결정에 의해 결정되지 않는다면, 이 시스템은 무작위라고 할 수 있다. 예를 들어, 완전히' 대칭적인' 동전이 있는데, 여섯 번 연속으로 던지면 모두 정면이다. 일곱 번째 머리와 등이 나타날 확률은 여전히 5 ~ 5 개다. 반대로, 시스템이 이전에 한 일이 미래에 예측 가능한 영향을 미친다면, 이 시스템은 규칙적이다. 1 초도 안 되어 우리는 내일 아침의 일출을 예측할 수 있고, 매일 아침, 우리는 모두 옳다는 것을 증명할 수 있다. 따라서 동전을 던지는 결과는 무작위이지만, sunrise 는 그렇지 않다. 일출의 규칙성은 지구 궤도의 기하학적 규칙성에서 비롯된다. 무작위 동전의 통계 법칙은 훨씬 더 복잡하다. 실험에 따르면 동전이 대칭이라면 장기적으로 앞면과 뒷면의 확률은 결국 동일하다는 것을 보여준다. 장기적으로 볼 때 동전의 앞뒤 양면이 나타날 확률은 결국 동일하다. 이는 대량 투척 후의 순수 통계 현상이다. 더 깊은 질문-대답은 더 혼란 스럽습니다-예: 동전이 떨어지면 앞면과 뒷면의 기회가 얼마나 많은지 어떻게 알 수 있습니까? 사람들이 이 문제를 더 깊이 연구할 때, 동전은 전혀 무작위 시스템이 아니라는 답을 얻을 수 있다.

무작위성과 무질서

우리는 얇은 원반을 동전의 모형으로 사용할 수 있다. 칩이 수직으로 던져지고 속도가 알려진 경우, 우리는 칩이 착륙하기 전에 정확한 회전 수를 계산할 수 있습니다. 디스크가 바운스되면 계산이 더 어려울 수 있지만 이론적으로 결과를 계산할 수 있어야 합니다. 동전을 던지는 것은 고전적인 기계 시스템이다. 또한 운동과 중력의 법칙을 따르므로 행성 궤도를 예측할 수 있습니다. 그렇다면 왜 동전의 운동은 예측할 수 없는 것일까? 분명히, 이론적으로는 가능하다. 그러나 실제 작업에서는 동전이 던지는 속도나 회전 속도를 알 수 없으며 둘 다 최종 결과에 결정적인 역할을 합니다. 동전이 던져진 순간부터 풍속, 행진 거리 및 기타 외부 요인의 영향에 관계없이 그 운명이 결정되었다. 하지만 사람들은 던지거나 회전하는 속도를 모르기 때문에, 계산이 더 빨라도 동전의 운명은 알 수 없다. (아리스토텔레스, 니코마코스 윤리학, 지혜명언) 주사위도 마찬가지다. 점프하는 입방체로 단순화할 수 있는데, 그 동작은 기계적이며 확실성의 요인에 의해 지배된다. 그러나이 문제에는 또 다른 차원이 있습니다. 주사위 롤링 과정의 예측할 수 없는 것은 초기 상황을 알 수 없을 뿐만 아니라 운동의 유일성에도 있다. 그 운동은 무질서하다. 무질서는 무작위가 아니라 인간의 측정 정확도의 한계이며, 이는 예측할 수 없다는 것을 의미한다. 무작위 시스템에서, 이전에 발생한 일은 미래에 영향을 미치지 않는다. 무질서한 시스템에서, 이전에 발생한 일은 미래에 영향을 주지만, 각종 요인에 근거하여 얻은 결과는 약간의 관측 오차로 인해 오류가 될 수 있다. 첫 번째 작은 오차는 운동 과정에서 빠르게 발전하여 결국 사실과는 거리가 멀다. 던져진 동전은 이것과 약간 비슷하다. 초기 속도와 회전 속도를 계산하는 오차가 충분히 크면 결과를 정확하게 예측할 수 없다. 그러나 동전이 공중에서 회전할 때 초기 오차가 느리게 발전하기 때문에 동전이 실제로 고장난 것은 아니다. 정말 무질서한 시스템에서 작은 오차는 기하급수적으로 빠르게 발전한다. 규칙적인 입방체가 평평한 책상에서 튕길 때 주사위의 모서리가 작용하여 기하급수적으로 발전하는 변화를 일으킨다. 그래서 무작위로 보이는 주사위는 동전과 마찬가지로 초기 상태를 모르는 두 가지 이유로 인해 발생합니다. 무질서한 (그러나 확실한) 움직임입니다.

모범적 행위

지금까지 내가 말한 모든 것은 선택한 수학 모형을 기초로 한 것이다. 그럼, 사람이 선택한 모델이 물리적 시스템의 무작위성을 결정합니까? 이 질문에 답하기 위해, 물리학에서 무작위 모델의 첫 번째 위대한 업적, 즉 통계역학을 살펴봅시다. 이 이론은 열역학-기체 물리학을 지지한다. 더욱 효율적인 증기기관을 만드는 수요는 어느 정도 이 학과의 발전을 촉진시켰다. 증기기관은 얼마나 효율적입니까? 열역학은 매우 명확한 경계를 제공합니다. 열역학 발전의 초기에 사람들은 볼륨, 압력, 온도, 열과 같은 몇 가지 거시적 변수에 관심을 기울였다. 소위 "가스 법칙" 은 이러한 변수를 연결합니다. 예를 들어, 보일의 법칙은 특정 온도에서 특정 질량의 기체의 압력이 부피에 반비례한다고 생각한다. 이 법칙은 완전히 확실하다: 부피를 알면 압력을 계산할 수 있고, 그 반대의 경우도 마찬가지이다. 그러나, 사람들은 곧 기체의 미시적 움직임이 우연이라는 것을 발견했다: 기체 분자가 불규칙하게 서로 충돌한다. 루드비히 볼츠만 (Ludwig Boltzmann) 은 분자 충돌과 기체 법칙 (그리고 많은 다른 법칙) 사이의 관계를 연구한 최초의 사람이다. 그의 이론은 작은 딱딱한 구를 기체 분자의 모델로 사용하고 몇 가지 고전적인 변수인 압력, 부피, 온도가 내재적인 무작위 움직임을 가정하는 통계적 평균으로 나타난다는 결론을 내렸다. 하지만 이 가설은 합리적입니까? 동전과 주사위 운동이 기본적으로 결정되는 것처럼, 많은 작은 딱딱한 구체로 구성된 시스템도 확정해야 한다. 각 구체는 역학 법칙에 복종한다. 각 구의 초기 위치와 속도를 알면 후속 모션이 완전히 결정됩니다. 그러나 볼츠만은 각 구의 정확한 경로를 탐구하려고 시도하지 않고 모든 구의 위치와 속도가 어떤 추세에도 치우치지 않는 통계 법칙을 따른다고 가정한다. 예를 들어 모든 구가 어떤 방향으로든 이동할 가능성이 같다고 가정할 때 압력은 이러한 구가 컨테이너 내벽과 충돌할 때의 평균 힘을 표시하는 측정입니다. 통계역학은 평균과 같은 통계적 의미에서 대량의 구체의 확실성 운동을 표현합니다. 즉, 미시적 수준에서 임의 모델을 사용하여 거시적 차원의 확실성 모델을 증명합니다. 이게 합리적입니까? 볼츠만은 몰랐지만, 이것은 합리적이었다. 그는 실제로 두 가지를 단언했다: 구의 운동은 무질서하다. 이것은 특수한 무질서한 상황으로, 결국 일정한 평균 상태를 나타냈다. 논점의 전환은 매우 재미있다. 초기 확실성 모델 (가스 법칙) 은 무작위성 모션의 논리적 결과로 확인되는 임의 모델 (작은 구) 을 기반으로 합니다. 그럼 가스는 무작위인가요? 이것은 전적으로 너의 시각에 달려 있다. 어떤 각도는 통계 모델을 사용하는 것이 가장 좋고, 어떤 각도는 확실성 모델을 사용해야 한다. 이 질문에 대한 답이 없으니 구체적인 상황에 달려 있다. 그래서 우리는 두 개의 다른 모형을 가지고 있는데, 그것들 사이에는 어떤 수학적 관계가 있다. 이 두 모형 모두 비현실적이지만, 모두 현실을 적절하게 묘사했다. 현실이 무작위인지 아닌지를 논의하는 것은 의미가 없는 것 같다. 무작위성은 시스템 자체가 아니라 하나의 시스템에 대한 사고방식의 수학적 특징이다. 양자역학 기초

그럼, 정말 무작위적인 건 없나요? 양자 세계의 본질을 이해하기 전까지는 우리는 확신할 수 없다. 통상적인 해석에서 양자역학은 아원자 수준에서 우주가 절대적이고 순전히 무작위적이라고 생각한다. "숨겨진 변수"-무질서하지만 확실한 행동이 양자 주사위의 운명을 지배한다.-존재하지 않는다. 양자는 무작위입니다. 그것뿐입니다. 정말 그래요? 물론 이 판단은 수학적 근거가 있다. 1964 에서 존 벨은 양자가 무작위인지 숨겨진 변수의 지배를 받는지 여부를 감지할 수 있는 방법을 제시했다. 이는 우리가 아직 어떻게 관찰해야 할지 모르는 양자성질이다. 벨의 작업 센터는 전자와 같은 상호 작용하는 양자 입자 두 개를 멀리 분리하는 것이다. 멀리 떨어져 있는 이 두 입자에 대해 일련의 특수한 측정을 수행함으로써, 사람들은 그 성질이 무작위성인지 숨겨진 변수의 지배를 받는지 결정할 수 있다. 이 대답은 매우 중요합니다. 우주의 양쪽 끝에 있더라도 이전에 상호 작용했던 두 양자 시스템이 미래에 서로의 성격에 영향을 미칠 수 있는지 여부를 결정합니다. 대부분의 물리학자들은 벨 작업에 기반한 실험이 무작위성, 그리고 이상한' 장거리 상호 작용' 이 양자 시스템에서 주도적인 역할을 하고 있다고 생각한다. 그러나 일부 과학자들은 벨이 그의 증명에 모호한 전제, 즉 보편적으로 인정받지 못한 것을 언급했다고 생각한다. 따라서 양자 무작위성에는 여전히 명확하게 설명할 수 있는 공간이 있다. 양자역학은 결정성 이론 때문에 크게 변하지 않는다. 마치 하드볼이 열역학을 바꾸지 않은 것처럼. 그러나 그것은 우리에게 많은 혼란스러운 문제에 대한 새로운 인식을 줄 수 있다. 양자론을 다른 통계과학의 대열로 되돌려 놓을 수도 있다. 어떤 면에서는 우연이고, 어떤 면에서는 확실하다. (알버트 아인슈타인, 과학명언) 양자 이론을 제쳐두고, 우리는 현실에는 소위 무작위성이 없다고 확신할 수 있다. 사실, 무작위적으로 보이는 모든 현상은 자연계 자체의 예측불가능 때문이 아니라 인간의 무지나 세계 인식 과정에 대한 다른 제한 때문이다. 이 이론은 결코 신선하지 않다. 알렉산더 포퍼는 그의' 논인' 에서 "모든 자연사물은 인류가 해결하지 못한 예술/모든 우연, 보이지 않는 방향/모든 불화, 이해할 수 없는 조화/모든 작은 악, 이것은 대선의 또 다른 표상이다" 고 썼다. 자, 선과 악에 관한 그 말을 제외하고 수학자들은 그가 얼마나 정확한지를 분명히 알고 있다.