푸리에 급수란 무엇입니까?

푸리에 급수

푸리에 급수

특별한 삼각형 시리즈. 프랑스 수학자 J.-B.-J. 푸리에 편미분 방정식의 경계 값 문제를 연구할 때 제기되었다. 편미분 방정식 이론의 발전을 크게 촉진시켰다. 국내에서 정민덕은 먼저 다원삼각급수와 다원푸리에 급수를 체계적으로 연구했다. 그는 먼저 다원 삼각급수 볼과 유일성 정리를 증명하며 다원 푸리엽 급수 Riess-Bochner 볼의 평균적인 많은 특징을 밝혀냈다. 푸리에 급수는 편미분 방정식 이론의 발전을 크게 촉진시켰다. 수학, 물리학, 공학에 중요한 응용이 있습니다.

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푸리에 급수 공식

주어진 기간이 t 인 함수 x(t) 는 무한 시리즈로 나타낼 수 있습니다.

& lt 수학 & gtx(t)= \ 합계 _ {k =-\ infty} {+\ infty} a _ k \ cdote {JK (\; /math > (j 는 허수 단위) (1)

그 중에서도,

& lt 수학>A _ k = \ frac \ int _ x (t) \ cdot e {-JK (\ frac {2 \ pi}) t} & /math > (2)

주의하다

푸리에 급수의 수렴

푸리에 급수의 수렴성: 디리클레이 조건을 만족하는 주기 함수가 나타내는 푸리에 급수는 모두 수렴된다. Dilihri 조건은 다음과 같습니다.

X(t) 는 어떤 기간에도 절대적으로 통합 가능해야 한다.

임의의 유한 간격 내에서 x(t) 는 제한된 최대 또는 최소 값만 가질 수 있습니다.

임의의 유한 간격 내에서 x(t) 는 첫 번째 유형의 불연속 점만 제한적으로 가질 수 있습니다.

기브스 현상: x(t) 의 비미세점에서 (1) 오른쪽 무한대 수 중 유한한 항목만 X(t) 의 합계로 취하면 X(t) 가 이 점에서 변동할 수 있습니다. 간단한 예는 구형파 신호입니다.

삼각 함수 패밀리의 직교성

두 개의 다른 벡터의 직교성이란 내부 곱이 0 이라는 것을 의미합니다. 즉, 두 벡터 사이에는 연관성이 없습니다. 예를 들어, 3D 유클리드 공간에서 서로 직각인 벡터는 직교입니다. 사실 직교는 수학에서 수직성에 대한 추상과 요약이다. N 개의 서로 직각인 벡터 세트는 반드시 선형과 무관하므로 n 차원 공간이어야 합니다. 즉, 공간의 모든 벡터를 선형으로 표현할 수 있습니다. 삼각 함수 패밀리의 직교성은 공식으로 표시됩니다.

& lt 수학> \ int _ {2 \ pi} \ sin (NX) \ cos (MX) \, dx = 0；; & lt/math & gt；;

& lt 수학> \ int _ {2 \ pi} \ sin (MX) \ sin (MX) \, dx = 0；; (m \ ne n)& lt；; /math >

& lt 수학> \ int _ {2 \ pi} \ cos (MX) \ cos (MX) \, dx = 0；; (m \ ne n)& lt；; /math >

& lt 수학> \ int _ {2 \ pi} \ sin (NX) \ sin (NX) \, dx = \ pi& lt/math & gt；

& lt 수학> \ int _ {2 \ pi} \ cos (NX) \ cos (NX) \, dx = \ pi& lt/math & gt；

홀수 및 짝수 함수

홀수 함수 < 수학 > math >f _ o(x)& lt；; /math > 사인 시리즈, 심지어 함수로 표현할 수 있습니다.

& lt 수학>F _ o (x) = \ sum _ {-\ infty} {+\ infty} b _ k \ sin (kx); & lt/math & gt；;

& lt 수학>F _ e (x) = \ frac+\ sum _ {-\ infty} {+\ infty} a _ k \ cos (; & lt/math & gt；; 오일러 공식에만 주의하면 됩니다.

일반화 푸리에 급수

모든 직교 함수 시스템

& lt 수학> \ int _ f 2 (x) \, dx = \ sum _ {k =1} {\ infty}; /math > (4),

그리고 드라마가 이어졌다

& lt 수학>C _ n = \ int _ f (x) \ phi _ n (x) \, dx < /math > (6) 입니다.

사실, (5) 수렴 여부와 상관없이, 우리는 항상 다음을 가지고 있습니다.

& lt 수학> \ int _ f 2 (x) \, dx \ ge \ sum _ {k =1} {\ infty /math > 이것이 이른바 베셀 부등식이다. 또한 공식 (6) 은 모든 단위 직교 베이스에 대해 직교에서 쉽게 파생됩니다