장즈펀(Zhang Zhifen)의 학문적 기여

라이너 방정식의 한계 주기 수에 대해

1. 라이너 방정식의 한계 주기 고유성에 대해

의 고유성에 대한 질문 존재론적 문제는 1940년대와 1950년대가 되어서야 N. Levinson, G. Sansone, R. Conti, J.I. 얻은 값은 함수 g(x), f(x) 또는 F(x)의 대칭성 또는 해당 영점의 대칭성에 추가됩니다. 1957년 장즈펀(Zhang Zhifen)은 박사 논문에서 처음으로 감쇠 함수의 오목함과 볼록함이 극한 주기의 고유성에 영향을 미치는 더 중요한 특성임을 지적했습니다. 실제로 f(x)의 별 모양은 다음과 같습니다. 독특함을 보장합니다. 1958년과 1986년에 발표된 기사에서 그녀는 정상적인 조건에서 일반화된 Liner 시스템의 경우 도함수 함수가 (0,

무한))이면 (4)의 한계 사이클이 고유하다는 것을 증명했습니다. 이 결과는 국내외 동료들로부터 널리 인용됐다. 예를 들어, Qin Yuanxun의 "미분 방정식으로 정의된 적분 곡선"(2권)(1959), Ye Yanqian의 "Limit Ring Theory"(1984), Sansone 및 Conte의 저서 "비선형 미분 방정식"("비선형 미분 방정식")을 참조하세요. ) (1964), L. Perko의 저서 "미분 방정식 및 동역학 시스템"(1993). 2차 다항식 시스템 및 생물수학과 같은 분야에서 극한 주기의 많은 고유성 문제는 이 고유성 정리를 사용하여 증명됩니다. 1982년에 Zhang Zhifen의 학생이자 동료인 Zeng Xianwu는 감쇠 함수의 대칭성과 볼록성의 제약 없이 발산 적분 A에 대한 상호 보상 방법을 사용하여 시스템(1)의 고유성 정리에서 중요한 진전을 이루었습니다. 좀 더 정확한 추정이 이루어졌습니다. 그런 다음 Zhang Zhifen, Zeng Xianwu 및 Gao Suzhi는 이 결과를 시스템 (1)에서 시스템 (4)로 확장했습니다. 그들은 지난 20~30년 동안의 관련 결과를 정리하고 심도 깊은 연구 끝에 "일반화된 리에나르 방정식의 한계주기의 고유성에 대하여"라는 논문을 발표했다. 이는 단순한 종합 논문이 아니다. 기사 인용 정리는 방정식 (4)의 발산 적분의 가장 본질적인 특성을 보여줍니다. 각 정리 뒤에 있는 추론은 정리의 핵심 사항과 이를 적용하는 방법을 지적합니다. 이 기사의 결과.

2. 주기적으로 감쇠되는 라이너 방정식 클래스의 한계 사이클의 고유성에 대해

Zhang Zhifen은 1980년에 처음으로 방정식을 증명했습니다.

모든 μ≠에 대해 0인 경우, 위상 공간(x,)의 대역 ||≤(n 1)π에는 정확히 n개의 한계 사이클이 있습니다. 이는 오랜 추측입니다(n=0, 1, 2,...). 이 결과는 국내외 동료들의 관심을 끌었다. 수년간 풀리지 않은 추측일 뿐만 아니라, 힐베르트의 16번 문제와도 연관되어 있기 때문이다. 분석 시스템은 경계 영역에서 제한된 수의 한계 사이클을 갖는 것으로 알려져 있습니다. 방정식 (5)는 분석 시스템이지만 무한대로 조밀하게 채워진 무한 한계 주기를 가지고 있으며 분석성은 한계 주기 수의 국소적 유한성을 보장할 수 있을 뿐 전역적 유한성을 보장할 수 없음을 밝히기 위해 예를 사용합니다. 다항식 시스템의 한계. 링의 수는 전체 평면에서 제한됩니다.

토폴로지 동적 시스템 정보

1. 비균질 최소 세트

전체 메트릭 공간에 정의된 거의 주기적인 최소 세트는 컴팩트 토폴로지 그룹입니다. 그룹의 는 클로저까지 균일하게 확장될 수 있으므로 균질합니다. 즉, 각 점의 치수가 동일합니다. E.E. Floyd가 R2 정사각형의 닫힌 부분 집합에서 정의한 이산 역학 시스템은 비균질하며 0차원 및 1차원 점을 갖습니다. Zhang Zhifen이 0, 1,..., n-1 차원 포인트를 갖는 n차원 사각형의 닫힌 하위 집합에서 정의한 이산 동적 시스템입니다.

이러한 방식으로, 0, k1, k2,...,kj 차원 점만 갖는 n차원 컴팩트 비균질 최소 집합이 정의될 수 있습니다. n-1. 이는 거의 주기적인 최소 집합과 최소 집합의 차이를 보여줍니다. G.D. Birkhoff는 n차원 다양체에 정의된 최소 집합은 모두 동질적이라고 추측했습니다. A. Markov는 이 추측이 유한차원 연속 흐름의 최소 세트에 대해 정확하다는 것을 증명했습니다.

2. Antonie 목걸이

1950년대에 W.H. Gottschalk는 Antonie 목걸이 A를 최소 세트로 정의하는 것이 가능한지 제안했습니다. 1982년 Science in China에 발표된 기사에서 Zhang Zhifen은 R3에서 자체로의 위상 매핑 Φ를 정의하여 A를 완전히 연결되지 않은 (R3, Φ)의 컴팩트 완전 불변 집합(Cantor(Cantor) 집합과 동일)으로 만들었습니다. ), 그리고 R3/A는 단순히 연결되어 있지 않으며(따라서 목걸이의 이름), A는 정확히 이산 동적 시스템(R3, Φ)의 최소 집합이므로 긍정적인 Teschalk의 질문에서 처음으로 Ge의 대답에 대답합니다. 더욱이 A 역시 (R3, Φ)의 거의 주기적인 최소집합이므로 동질적이며, 각 점의 차원은 0이다. 따라서 A는 컴팩트 토폴로지 그룹일 뿐만 아니라, 단순 토폴로지 그룹이기도 하다. 즉, 의 조밀한 순환 하위 그룹을 갖습니다. A의 역학은 매우 간단하지만 A의 기하학은 분명 유한 다양체의 결합이 아닙니다.

벡터장의 분기 이론에 대하여

장지펀(Zhang Zhifen)은 1980년대부터 벡터장의 분기 이론에 관심을 가져왔는데, 주로 해밀턴 벡터장의 분기 문제, 즉 시스템 ( 2) 한계주기수 문제는 약한 힐베르트 16차 문제라고도 합니다.

H=h0과 H=h1이 각각 해밀턴 벡터장 dH=0의 특이점과 특이 폐궤도에 해당한다고 가정합니다. 닫힌 궤도 Гh를 H-1(h)(h0lt; hlt; h1)의 작은 가지로 가정합니다. 섭동 시스템(2)에서 Гh의 푸앵카레 지도가 Pε(h)라고 가정하면 변위 함수

ΔPε=ΔPε(h)-h=εM1 o(ε)

는 1차 Melnikov 함수라고도 알려진 아벨 적분입니다.

교란된 시스템(2)의 닫힌 궤도에 대한 필요 충분 조건은 변위 함수 ΔPε=0, M1(h)가 ε에 대한 변위 함수의 1차 근사이므로 격리된 영점 수(가중 시간)의 (h0, h1)에 있습니다. N(m, n)은 시스템의 제한 사이클 수(2)와 밀접한 관련이 있습니다. 여기서 degH=m 1, max(degP , degQ) = n.

1. m=n=2인 경우 N(m, n)의 정확한 추정치를 제공합니다.

m=2, dH=0*** 5가지 일반적인 방법이 있습니다. 상황이 있고 존재하지 않는 상황도 8가지가 있습니다. N(2,2)=2 또는 3이라는 것이 증명되었습니다. 그 중 8개의 비일반적인 사례는 I.D. Iliev, Li Chengzhi, Zhao Yulin 등이 해결했습니다. 5가지 일반적인 상황 중 하나는 Zhang Zhifen과 Li Chengzhi에 의해 해결되었습니다. 최근 Li Chengzhi와 그의 학생 Chen Fengde는 실제 영역의 다섯 가지 보편적 상황에 대한 통일된 증거를 제시했습니다.

2. 폰트리아긴 정리의 일반화에 대하여

1934년 폰트리아긴은 연립방정식 (2)의 우변이 충분히 매끄러우며 M1(h*)=0일 때를 증명했습니다. M(h*)≠0이면 시스템 (2)는 고유한 한계 사이클 Lh를 갖습니다. ε→0일 때 ε, Lh→Гh*에 지속적으로 의존하고, εM1(h*)lt(gt;) 0일 때 Lh는 안정(불안정)합니다. 그녀의 부박사 논문에서 Zhang Zhifen은 (h*) = 0 (k = 0, 1, 2,..., n-1) 및 (h*) ≠ 0일 때 다음과 같은 가정이 있음을 증명했습니다. 충분히 작은 ε0gt;0, δ0gt;0. 시스템 (2)는 |ε|ε0일 때 δ(Гh*)=U Гh에서 최대 n개의 한계 사이클을 갖습니다. 이 결과는 "소련 수학 40년"에 인용되었습니다.

3. 다각형 고리의 순환

다각형 고리는 무한 동일 차원과 유한 k 동일 차원의 두 가지 범주로 나뉩니다.

첫 번째 유형의 고리에 대해 Zhang Zhifen과 그녀의 학생 Li Baoyi는 특정 비축퇴 조건 하에서 S(2)의 순환성이 레벨 2라는 것을 증명했습니다.

동일차원 k를 갖는 고리의 경우, k=1,2일 때 그 순환도 E(k)≤k이고, k≥4일 때 E(k)gt;k인 것으로 알려져 있습니다. Zhang의 박사과정 학생인 Zhao Liqin은 자신의 논문에서 이 질문에 대해 만족스럽게 답했습니다. 그녀는 k=1, 2, 3인 경우에만 E(k)≤k임을 증명했습니다.

4. 닫힌 표면의 "푸른 하늘 재앙", 일종의 글로벌 분기

J. Palis와 다른 학자들은 1975년에 Lecture Notes Math.Volume 468을 출판했습니다. , 동적 시스템에서 해결되지 않은 50개의 문제가 제안되었습니다. 37번째 문제는 다음과 같습니다. 단일 매개변수 일반 벡터 필드 계열, 즉 C++ 컴팩트에서 "푸른 하늘 재앙"이 발생할 수 있습니까? 연속 벡터장군(Continuous Vector Field Family) 주기 T(μ) → . 그러나 L(μ)은 특이점에 대한 경향이 없으며 갑자기 사라지지만 이는 특이점에 가깝기 때문에 발생하는 것은 아닙니다. Li Weigu와 Zhang Zhifen은 닫힌 표면에서 이 문제를 더욱 철저하게 해결했습니다. 그들은 S2와 P2 외에도 모든 닫힌 표면에서 "푸른 하늘 재앙"이 발생할 수 있지만 단일 매개변수 일반 계열의 경우 클라인 병 K2에서만 발생할 수 있다는 것을 증명했습니다. 구체적인 방법.

5. 적분 가능한 비-해밀턴 시스템

약한 힐베르트 16 문제에 관해서는 어려운 문제가 많이 남아 있는데, 그중에서도 적분 가능한 비-해밀턴 시스템을 언급할 가치가 있습니다. 체계. 적분 요인은 일반적으로 매우 불규칙하기 때문입니다. 아벨 적분에 이러한 인수를 곱하는 것은 어렵고, 기존 작업도 소수에 불과합니다. 그러나 적분 가능 시스템에 유리 중심이 있는 경우, 즉 유리 대수 폐곡선이 중심을 둘러싸는 경우 Darboux 정량화에 따르면 시스템의 적분 요소는 유리 함수입니다. 중심이 저차 대수 폐곡선으로 둘러싸인 경우에 대해 Zhang Zhifen과 그녀의 동료들은 모든 시스템에서 중심이 2차 대수 곡선으로 둘러싸여 있을 때 N(n)=O(n)임을 증명했습니다. 모든 2차 다항식 시스템에 대해 중심 근처에 3차 대수 곡선 또는 4차 대수 곡선이 있을 때 N(n) = O(n)입니다. 이러한 노력은 어려운 문제를 해결하기 위한 한 단계입니다.

위 세 가지 과학 연구 방향에서 장즈펀은 학생, 동료들과 협력해 국내외 잡지에 50편 이상의 논문을 게재했다. "라이너 방정식의 한계 주기 수 문제와 위상학적 동적 시스템의 여러 예"는 1988년 국가 교육 위원회 과학 기술 진보상에서 2등상을 받았습니다.

교육 및 대학원생 훈련

1957년 이래로 사람들을 가르치고 교육하는 일에서 Zhang Zhifen은 고등 대학생과 대학원생 교육에 중점을 두었습니다. 그녀는 국가의 우수한 인재를 양성하여 그들이 미래의 직위에서 계속 발전하고 점차 징계 발전의 최전선에 설 수 있도록 하는 것이 매우 어려운 일임을 깨달았습니다.

장즈펀은 1960년대부터 대학생과 대학원생을 대상으로 미분방정식의 질적 이론에 관한 여러 전문 강좌를 개설해 왔으며, 이후 이 강의를 바탕으로 딩퉁런(Ding Tongren), 황원자오(Huang Wenzao), Dong Zhenxi 이 책은 1985년 Science Press에서 Fundamentals of Modern Mathematics 시리즈로 출판되었으며 1997년에 재인쇄되었으며 1992년 American Mathematical Society Press에서 영어로 번역되었으며 Mathematics Monographs Translation 101권으로 출판되었습니다. 시리즈.

동시에 Zhang Zhifen, Ding Tongren, Huang Wenzao 등이 협력하여 선배 학생과 젊은 교사를 위한 위상학적 동적 시스템 세미나를 열었습니다. 기본 교재는 Zhang Zhifen의 멘토인 Nemetsky와 V.V. (Stepanov의) "질적 이론"의 관련 장과 그의 두 가지 포괄적인 기사는 2명의 6년제 대학생을 교육했으며, 이들은 10개 이상의 졸업 논문을 완료했으며 일부는 석사 논문 수준에 도달했습니다. 교수진이 완성한 논문과 함께 이 논문은 Nemetsky의 종합 기사에 나열된 답변되지 않은 질문의 절반에 답합니다.

1981년부터 10년 넘게 Zhang Zhifen, Li Chengzhi, Li Weigu 등은 벡터장 분기 이론 및 동적 시스템에 대한 세미나를 지속적으로 조직하고 일부 기본 문헌과 중요한 새로운 결과를 체계적으로 읽었습니다.

세미나의 학술 활동은 ​​교사와 학생의 시야를 크게 넓혔습니다. 대학원 교육과 관련하여 Zhang Zhifen은 학생의 출처와 같은 문제 외에도 교사에게 최우선 과제는 학생의 실제 상황을 최대한 토대로 주제를 선택하고 방향을 정하는 것임을 깨달았습니다. 논문의 내용은 최첨단에 가까워야 졸업 후에도 계속해서 탐구할 가치가 있습니다. 둘째, 문학 읽기부터 질문, 문제 해결까지 전 과정을 훈련해야 한다. 각 논문에는 학생들이 스스로 해결해야 할 몇 가지 어려운 점이 있어야 졸업 후 능력과 자신감을 향상할 수 있고 졸업 후에도 독립적으로 연구 작업을 수행할 수 있는 용기를 가질 수 있습니다. 그녀가 이끄는 세미나는 대학원 교육에서도 중요한 역할을 합니다. 이 기간 동안 Zhang Zhifen은 8명의 석사 과정 학생과 11명의 박사 과정 학생을 교육했습니다. 오늘날 그들 대부분은 Li Chengzhi, Zheng Zhiming, Li Weigu, Zhang Weinian, Li Cuiping, Xiao Dongmei, Cao Yongluo, Qi Dongwen, Wang Lanyu, Zhao Liqin, Zhao Yulin, Li Baoyi를 포함하여 관련 기관의 전문가 및 교수가 되었습니다. , Wang Tianxi 등