도전하고 싶다~~굉장히 어려운 논리 문제~

퍼지 집합 이론을 공부해 보시길 권합니다. 이 문제에 대해 새롭게 이해하게 될 것이며 이것이 소속 문제라는 것을 알게 될 것입니다!

퍼지 수학

현대 수학은 집합론을 기반으로 합니다. 집합론의 중요성은 수학의 추상적 능력을 인간 인지 과정의 깊이까지 확장하는 능력에 있습니다. 객체 집합은 속성 집합을 결정합니다. 사람들은 속성을 설명하여 개념(의미)을 설명할 수도 있고 객체를 지정하여 설명할 수도 있습니다. 개념을 따르는 객체의 총체를 개념의 확장이라고 하며 확장은 실제로 집합입니다. 이러한 의미에서 집합은 개념을 표현할 수 있으며, 집합 이론의 관계와 연산은 판단과 추론을 표현할 수 있습니다. 모든 현실적인 이론 시스템은 집합 설명의 수학적 틀에 통합될 수 있습니다.

그러나 수학의 발전도 단계적으로 이루어집니다. 고전 집합 이론은 그 표현력을 명확한 확장을 가진 개념과 사물로만 제한할 수 있습니다. 각 집합은 명확한 요소로 구성되어야 하며 집합에 대한 요소의 소속이 명확해야 한다는 점을 명확하게 정의합니다. 확장이 명확하지 않은 개념이나 사물에 대해서는 고전 집합론에서는 이를 당분간 반영하지 않고 발전시켜야 할 범주이다.

오랜 시간에 걸쳐 정밀수학과 확률론적 수학은 자연 속 다양한 사물의 움직임 패턴을 기술하는 데 놀라운 성과를 거두었습니다. 그러나 객관적인 세계에는 아직도 모호한 현상이 많이 퍼져 있습니다. 사람들은 이를 회피하곤 했지만, 현대 기술이 직면한 시스템이 점점 복잡해지면서 모호함은 언제나 복잡성을 동반하게 됩니다.

다양한 분야, 특히 인문학, 사회과학 및 기타 "소프트 과학"의 수학적, 정량적 추세로 인해 퍼지의 수학적 처리가 중심 위치로 밀려났습니다. 더 중요한 것은 전자 컴퓨터, 사이버네틱스, 시스템 과학의 급속한 발전으로 인해 컴퓨터가 인간의 두뇌와 같은 복잡한 사물을 인식하는 능력을 갖추려면 모호성을 연구하고 처리해야 한다는 것입니다.

우리는 인간 시스템의 행동을 연구하거나, 항공 우주 시스템, 인간 두뇌 시스템, 사회 시스템 등 인간 시스템의 행동과 비교할 수 있는 복잡한 시스템을 다룹니다. 매개 변수와 변수가 많습니다. , 다양한 요소가 서로 얽혀 있어 시스템이 복잡하고 모호함도 분명합니다. 인지적 관점에서 모호함은 개념 확장의 불확실성을 말하며, 이는 판단의 불확실성을 초래합니다.

일상생활에서 우리는 명확한 양적 경계가 없이 모호한 일들을 많이 접하게 되므로 이를 설명하기 위해서는 모호한 단어와 문구를 사용할 필요가 있습니다. 예를 들면, 더 젊다, 더 키가 크다, 더 뚱뚱하다, 더 착하다, 더 예쁘다, 더 친절하다, 더 뜨겁다, 더 멀다… 이러한 개념은 단순히 예, 아니오, 숫자로 표현될 수 없습니다. 사람들의 업무 경험에는 모호한 것들이 많이 있습니다. 예를 들어 용강의 용광로가 제련되었는지 여부를 판단하기 위해서는 용강의 온도, 조성비, 용광로의 용융시간 등의 정확한 정보 외에 용강의 색상과 같은 퍼지 정보도 함께 참조할 필요가 있다. 용강 및 끓는점 조건. 따라서 오류와 관련된 초기 계산 수학 외에도 퍼지 수학이 필요합니다.

일반적으로 인간의 두뇌는 컴퓨터에 비해 퍼지 정보를 처리하는 능력이 있고 퍼지 현상을 판단하고 처리하는 데 능숙합니다. 그러나 컴퓨터는 퍼지 현상을 인식하는 능력이 부족합니다. 퍼지 현상을 인식하는 컴퓨터의 능력을 향상시키기 위해서는 사람들이 일반적으로 사용하는 퍼지 언어를 기계가 받아들일 수 있는 명령어와 프로그램으로 설계해야 합니다. 인간의 두뇌처럼 간결하고 유연하게 반응하여 퍼지 현상을 자동으로 식별하고 제어하는 ​​효율성을 향상시킵니다. 이처럼 퍼지 정보를 기술하고 처리할 수 있는 수학적 도구를 찾을 필요가 있으며, 이는 수학자들이 퍼지 수학을 심층적으로 연구하도록 유도합니다. 따라서 과학, 기술, 수학의 발달로 퍼지수학의 출현은 불가피하다.

퍼지 수학 연구 내용

1965년 미국의 사이버네틱스 전문가이자 수학자 채드는 퍼지 수학이라는 주제의 탄생을 알리는 논문 '퍼지 세트'를 발표했다.

퍼지수학의 연구 내용은 크게 다음 세 가지 측면을 포함한다.

첫째, 퍼지수학의 이론과 정밀수학과 랜덤수학과의 관계를 연구한다. Chad는 정확한 수학적 집합 이론을 기반으로 하며 수학적 집합 개념의 수정 및 일반화를 고려합니다. 그는 퍼지를 표현하기 위한 수학적 모델로 "퍼지 집합"을 사용할 것을 제안했습니다.

"퍼지 집합"에 대한 연산 및 변환 규칙을 점진적으로 확립하고 관련 이론적 연구를 수행함으로써 현실 세계의 수많은 퍼지 조건을 연구하기 위한 수학적 기초를 구축하고 겉으로 보기에는 정량적으로 기술하고 분석할 수 있을 것이다. 복잡한 퍼지 시스템. 수학적 처리 방법.

퍼지 집합에서 주어진 범위 내 요소의 소속 여부는 반드시 "예" 또는 "아니요"일 뿐만 아니라 0과 1 사이의 실수로 표시됩니다. 제휴, 중간 전환 상태도 있습니다. 예를 들어, "노인"은 모호한 개념입니다. 70세는 확실히 노인이고 그 소속 정도는 1입니다. 40세는 확실히 노인이 아니며 그 소속 정도는 입니다. 0. Chad가 제시한 공식에 따르면 55세는 "노인" 정도가 0.5, 즉 "반나이"이고, 60세 정도는 0.8이다. Chad는 각 요소가 속한 집합을 지정하는 것이 집합을 지정하는 것과 동일하다고 믿습니다. 0과 1사이의 값에 속하면 퍼지집합이다.

둘째, 퍼지 언어학과 퍼지 논리학을 공부하세요. 인간의 자연어는 모호합니다. 사람들은 종종 퍼지 언어와 퍼지 정보를 받아들이고 올바른 식별과 판단을 내릴 수 있습니다.

자연어를 이용해 컴퓨터와 직접 소통하기 위해서는 컴퓨터에 명령을 입력하기 전에 인간의 언어와 사고 과정을 수학적 모델로 다듬어 퍼지 수학적 모델을 구축하는 것이 필요하다. 수학의 열쇠. Chad는 퍼지 집합 이론을 사용하여 퍼지 언어의 수학적 모델을 확립하여 인간 언어를 정량화하고 형식화합니다.

표준 문법 문장의 소속 함수 값을 1로 설정하면 약간의 문법 오류가 있지만 유사한 개념을 표현할 수 있는 다른 문장도 0과 1 사이에서 사용할 수 있습니다. 연속된 숫자는 그 정도를 나타냅니다. "올바른 문장"에 대한 회원 자격. 이러한 방식으로 퍼지 언어를 정량적으로 설명하고 일련의 연산 및 변환 규칙을 정의합니다. 현재 퍼지 언어는 아직 매우 미성숙한 상태이며, 언어학자들은 이를 심도 있게 연구하고 있습니다.

사람들의 사고 활동은 개념의 확실성과 정확성을 요구하는 경우가 많으며, 참도 거짓도 아닌 형식논리의 배제중의 법칙을 채택하고 판단과 추론을 통해 결론을 내립니다. 기존의 컴퓨터는 모두 이진 논리를 기반으로 하며 객관적인 사물의 확실성을 처리하는 데 큰 역할을 하지만 사물과 개념의 불확실성이나 모호성을 처리하는 능력은 없습니다.

컴퓨터가 인간 두뇌의 고급 지능 특성을 시뮬레이션하기 위해서는 컴퓨터를 다치논리의 기반으로 옮겨 퍼지논리를 연구하는 것이 필요하다. 현재 Fuzzy Rocky는 아직 매우 미성숙하여 추가 연구가 필요합니다.

셋째, 퍼지 수학의 응용을 연구합니다. 퍼지 수학은 불확실성을 연구 대상으로 삼습니다. 퍼지 집합의 출현은 수학이 복잡한 사물의 설명에 적응할 필요가 있다는 점입니다. Chad의 공헌은 퍼지 집합 이론을 사용하여 퍼지 객체에 대한 해결책을 찾고 이를 정밀하게 만들어 결정론적 객체를 연구하는 수학이 소통할 수 있다는 데 있습니다. 불확실한 물체의 수학으로 과거의 정밀한 수학적 기술과 무작위적인 수학적 기술의 단점을 보완할 수 있습니다. 퍼지 수학에는 현재 퍼지 토폴로지, 퍼지 그룹 이론, 퍼지 그래프 이론, 퍼지 확률, 퍼지 언어학, 퍼지 논리 등의 분야가 있습니다.

퍼지 수학의 응용

퍼지 수학은 처음에는 퍼지 제어, 퍼지 식별, 퍼지 클러스터 분석, 퍼지 의사결정, 퍼지 평가 등에 사용되었습니다. 시스템 이론, 정보 검색, 의학, 생물학 및 기타 측면. 기상학, 구조역학, 제어, 심리학 등의 분야에서 구체적인 연구 결과가 나와 있습니다. 그러나 퍼지수학의 가장 중요한 응용분야는 컴퓨터 기능이며, 많은 사람들은 이것이 차세대 컴퓨터의 발전과 밀접한 관련이 있다고 믿고 있다.

현재 세계 선진국에서는 지능형 퍼지 컴퓨터에 대한 연구가 활발히 진행되고 있으며, 1986년 일본의 야마카와 레츠(Yamakawa Retsu) 박사가 최초로 퍼지 추론 엔진을 시험 제작하는 데 성공했습니다. 속도는 1000만회/초이다. 1988년에 몇몇 박사 과정 학생들은 우리 나라의 Wang Peizhuang 교수의 지도 하에 퍼지 추론 기계, 즉 추론 속도가 1,500만 회/초인 개별 부품 프로토타입을 성공적으로 개발했습니다. 이는 우리나라가 퍼지정보 처리의 어려움을 극복하는 데서 중요한 발걸음을 내디뎠음을 보여줍니다.

퍼지 수학은 성숙과는 거리가 멀고, 실제로 테스트해야 할 다양한 의견과 관점이 여전히 존재합니다.

퍼지 수학은 수학에서 새롭게 떠오르는 주제이며 그 미래는 무한합니다.

1965년에 "Fuzzy Set"이라는 논문이 출판되었습니다.

저자는 미국 캘리포니아주립대학교 사이버네틱스 전문가로 유명한 L.A. 자데(L.A. Zadeh) 교수이다. 칸토어의 집합론은 현대 수학의 기초가 되었습니다. 물론 오늘날 누군가가 집합의 개념을 수정하는 것은 전례가 없는 일입니다. Zadeh의 퍼지 집합 개념은 퍼지 이론의 기초를 마련했습니다. 복잡한 시스템, 특히 인간 개입이 있는 시스템을 다루는 데 있어서의 단순성과 강력함으로 인해 이 이론은 고전 수학과 통계 수학의 단점을 어느 정도 보완했으며 빠르게 광범위한 주목을 받았습니다. 지난 40년 동안 이 분야는 이론에서 응용까지, 소프트 기술에서 하드 기술까지 유익한 결과를 얻었으며 관련 분야 및 기술, 특히 일부 첨단 및 신기술의 개발에 점점 더 중요한 영향을 미쳤습니다.

다음과 같은 고대 그리스 역설이 있습니다.

“한 개의 씨앗은 확실히 더미가 아니며, 두 개의 씨앗도 아니고, 세 개의 씨앗도 아닙니다... 다른 하나는 씨앗이 아닙니다. 1억 개의 씨앗을 더미라고 해야 한다는 데 모두가 동의합니다. 그렇다면 123,585개의 씨앗을 더미라고 부르지 않는 것이 적절한 한계는 어디일까요? "더미"는 두 가지 다른 개념입니다. 그러나 그 차이는 갑작스러운 것이 아니라 점진적이며, 둘 사이에는 명확한 경계가 없습니다. 즉, "더미"라는 개념은 어느 정도 모호함을 담고 있습니다. '늙었다', '키가 크다', '젊다', '매우 크다', '똑똑하다', '아름답다', '싸고 좋다' 등 유사한 개념이 나열된다.

고전적인 집합 이론에서는 요소가 집합에 속하는지 여부를 결정할 때 "예" 또는 "아니오"라는 두 가지 대답만 있습니다. 이를 설명하기 위해 0 또는 1 두 가지 값을 사용할 수 있습니다. 집합에 속하는 요소는 1로 표시되고 집합에 속하지 않는 요소는 0으로 표시됩니다. 하지만 위에서 언급한 '늙었다', '키가 크다', '젊다', '매우 크다', '똑똑하다', '아름답다', '싸고 좋다' 등의 상황은 훨씬 더 복잡하다. 키가 1.8미터인 사람을 키가 큰 사람으로 간주한다고 규정하면 키가 1.79미터인 사람도 포함됩니까? 고전 집합론의 관점에서 보면 그것은 중요하지 않습니다. 그러나 이는 상당히 불합리해 보인다. 원을 사용하는 경우 원 내부와 원주 위의 점은 집합 A를 나타내고 원 외부의 점은 A에 속하지 않음을 나타냅니다. A의 경계는 분명히 원주입니다. 이것은 클래식 컬렉션의 그림입니다. 이제 키가 큰 사람들의 집합을 그래프로 표현하면 그 경계가 모호해집니다. 즉, 가변적입니다. 왜냐하면 요소(예: 키 1.75미터의 사람)의 키가 100%는 아니지만 여전히 상대적으로 키가 크고 어느 정도 키가 큰 사람 집합에 속하기 때문입니다. 이때, 원소가 집합에 속하는지 여부는 0과 1이라는 두 숫자만으로는 표현할 수 없고, 0과 1 사이의 어떤 실수라도 될 수 있다. 예를 들어 키가 1.75미터인 경우 70%가 키가 큰 사람 집합에 속한다고 할 수 있습니다. 장황해 보일 수도 있지만 더 실용적입니다.

정밀함과 모호함은 모순의 쌍이다. 상황에 따라서는 정확성이 필요할 때도 있고, 모호함이 필요할 때도 있습니다. 예를 들어, 전쟁에서 지휘관은 "새벽에 총공격을 개시하라"라는 명령을 내립니다. 이때, 정확성이 요구된다: "총공세는 초 단위 ×월 오차로 오전 6시에 발사된다. 그러나 상황은 반전되어야 합니다. 모든 것이 정밀성을 요구한다면 사람들은 원활하게 아이디어를 교환할 수 없을 것입니다. 두 사람이 만나 "잘 지내세요?"라고 묻습니다. 그러나 "좋은"이란 무엇이며 "좋은"에 대한 정확한 정의를 내릴 수 있는 사람은 누구입니까?

어떤 현상은 본질적으로 모호하기 때문에 정확하게 표현하려고 하면 현실에 적응하기 어려울 수밖에 없습니다. 예를 들어, 학생의 성적을 평가할 때 60점 이상이면 합격으로 간주한다고 규정되어 있습니다. 그러나 단 1점의 차이로 합격과 불합격을 구별할 수 있는 근거가 충분하지 않습니다.

모호한 경계를 지닌 컬렉션이 흔할 뿐만 아니라, 인간의 사고 역시 모호한 특성을 가지고 있습니다. 일부 현상은 정확하지만 적절한 퍼지화는 문제를 단순화하고 유연성을 크게 향상시킬 수 있습니다. 예를 들어, 밭에서 옥수수를 따는 경우 가장 큰 옥수수를 찾는 것은 번거롭고 거의 현학적인 일입니다. 우리는 옥수수밭에 있는 모든 옥수수를 측정하고 비교하여 결정해야 합니다. 작업량은 옥수수 밭의 면적에 정비례합니다. 토지 면적이 클수록 작업이 더 어려워집니다. 그러나 질문의 ​​공식을 약간 변경하면 됩니다. 가장 큰 옥수수를 찾을 필요는 없지만 더 큰 옥수수를 찾으려면, 즉 일반적인 말에 따르면 밭에 가서 큰 옥수수를 선택하십시오.

이 시점에서 문제는 정확한 것에서 모호한 것으로 바뀌지만, 동시에 불필요하게 복잡한 것에서 예상치 못한 단순한 것으로 바뀌기도 하며, 몇 가지 선택만으로 요구 사항을 충족할 수 있습니다. 일의 양은 토지와 관련이 없습니다. 그러므로 지나친 정확성은 오히려 현학적인 것이 되고, 적절한 모호함은 유연해진다.

물론 옥수수의 크기는 길이, 부피, 무게에 따라 달라집니다. 크기는 모호한 개념이지만 길이, 부피, 무게 등은 이론상으로는 모두 정확할 수 있습니다. 그러나 이러한 정확한 값은 실제로 옥수수 크기를 판단하는 데 일반적으로 필요하지 않습니다. 마찬가지로, "힙"이라는 모호한 개념은 정확한 "알갱이"를 기반으로 하며, 사람들은 앞에 있는 것이 더미라고 불리는지 판단할 때 "알갱이"를 셀 필요가 없습니다. 때때로 사람들은 모호함을 물리적 현상으로 생각합니다. 가까운 것은 선명하게 보이지만 멀리 있는 것은 선명하게 보이지 않습니다. 일반적으로 멀리 있을수록 흐릿해집니다. 그러나 예외가 있습니다. 해변에 서 있으면 해안선이 흐려지고, 높은 고도에서 내려다보면 해안선이 매우 선명하게 보입니다. 너무 높고 흐릿합니다. 정확성과 모호함 사이에는 본질적인 차이가 있지만 본질적으로 서로 관련되어 있으며 모순적이고 상호의존적이며 서로 변형될 수 있습니다. 따라서 정밀도의 나머지 절반은 모호함입니다.

모호성에 대한 논의는 아주 일찍부터 거슬러 올라갑니다. 20세기의 위대한 철학자 B. 러셀은 오늘날 우리가 '모호함'이라고 부르는 문제(엄격히 말하면 둘 다 다를 수 없음)에 대해 구체적으로 논의하면서 다음과 같이 분명히 지적했습니다. 신뢰할 수 없다." 러셀의 명성에도 불구하고 Journal of Southern Hemisphere Philosophy에 게재된 이 기사는 당시 학문적 관심을 불러일으키지는 못했습니다. 모호성 또는 모호성에 대한 큰 관심. 이는 문제가 중요하지 않아서도 아니고, 기사가 심오하지 않아서도 아니고, “아직 때가 이르지 않았기 때문”입니다. 러셀의 통찰력 있는 견해는 시대를 앞서 있었습니다. 오랫동안 사람들은 모호함을 경멸적인 용어로 여기고 정확성과 엄격함만을 존중해 왔습니다. 20세기 초반 사회의 발전, 특히 과학기술의 발달은 아직까지 모호성에 대한 연구가 필요하지 않았다. 사실, 퍼지 이론은 전자 컴퓨터 시대의 산물입니다. 사람들에게 정밀도의 한계에 대한 더 깊은 이해를 제공하고 그 반대 또는 "다른 절반"인 모호성에 대한 연구를 촉진한 것은 바로 이 매우 정밀한 기계의 발명과 광범위한 적용입니다.

자데는 1921년 2월 소련 바쿠에서 태어났다. 1942년 이란 테헤란대학교 전기공학과를 졸업하고 학사학위를 받았다. 그는 1944년 미국 매사추세츠공과대학(MIT)에서 전기공학 석사학위를, 1949년 미국 컬럼비아대학교에서 박사학위를 받았다. 이후 컬럼비아, 프린스턴 등 유명 대학에서 근무했다. 1959년부터 그는 캘리포니아 대학교 버클리 캠퍼스의 전기 공학 및 컴퓨터 과학과 교수로 재직하고 있습니다.

Zade는 1950년대 엔지니어링 사이버네틱스 연구에 참여하여 고전으로 간주되고 현장에서 널리 인용되는 비선형 필터 설계에서 일련의 중요한 결과를 달성했습니다. 1960년대 초, Zade는 다목적 의사결정 문제를 연구하고 비열등 솔루션과 같은 중요한 개념을 제안했습니다. 오랫동안 Zadeh는 의사결정, 제어 및 이와 관련된 일련의 중요한 문제에 대한 연구를 통해 전통적인 수학적 방법과 현대 전자 컴퓨터를 적용하여 이러한 문제를 해결하는 것의 성공과 실패를 통해 점차적으로 전통적인 수학적 방법의 한계를 깨달았습니다. 그는 “인간 지식 분야에서 모호하지 않은 개념이 중요한 역할을 하는 유일한 학과는 고전 수학”이라며 “인간의 인지 과정을 심층적으로 연구하면 인간의 활용 능력을 발견하게 될 것”이라고 지적했다. 퍼지 개념은 부담이라기보다 큰 자산입니다. 이는 인간 지능과 기계 지능의 근본적인 차이를 이해하는 열쇠입니다. "정확한 개념은 공통 집합으로 설명할 수 있습니다. 퍼지 개념은 해당 퍼지 집합으로 설명되어야 합니다. 이 점을 포착하여 Zade는 먼저 퍼지 집합의 정량적 설명에 획기적인 발전을 이루었고 퍼지 이론과 그 응용의 기초를 마련했습니다.

세트는 현대 수학의 기초입니다. 퍼지 세트가 제안되자마자 "퍼지"라는 개념은 수학의 여러 분야에도 침투했습니다. 퍼지 수학의 발전 속도도 상당히 빠르다. 발표된 논문을 보면 거의 기하급수적인 증가세를 보이고 있습니다. 퍼지 수학에 대한 연구는 세 가지 측면으로 나눌 수 있습니다. 첫째, 퍼지 수학 이론과 정밀 수학과 통계 수학과의 관계에 대한 연구, 둘째, 퍼지 언어 및 퍼지 논리에 대한 연구, 퍼지 수학의 응용. 퍼지 수학 연구에는 현재 퍼지 토폴로지, 퍼지 그룹 이론, 퍼지 볼록 이론, 퍼지 확률, 퍼지 링 이론 등의 분야가 있습니다.

퍼지 수학은 새로운 학문 분야이지만 처음에는 자동 제어, 패턴 인식, 시스템 이론, 정보 검색, 사회 과학, 심리학, 의학 및 생물학 등에서 사용되었습니다. 미래에는 퍼지 논리회로, 퍼지 하드웨어, 퍼지 소프트웨어, 퍼지 펌웨어가 등장할 수도 있고, 자연어로 사람과 대화할 수 있고 인간 지능에 더 가까운 새로운 형태의 컴퓨터가 등장할 수도 있다. 따라서 퍼지 수학은 점점 더 큰 활력을 보여줄 것입니다.

이의는 없나요? 물론 있습니다. 일부 확률 이론가들은 퍼지 수학이 단지 확률 이론을 적용한 것이라고 믿습니다. 이론수학을 하는 어떤 사람들은 이것이 수학이 아니라고 말합니다. 응용 프로그램 작업을 하는 사람들은 의미는 있지만 실제로 실질적인 효과는 없습니다. 그러나 국제적으로 유명한 응용수학자 A. 카우프만(A. Kauffman) 교수는 중국 방문 중 "그들의 공격은 불합리하다. 남들이 뭐라고 하든 우리는 열심히 일할 뿐이다"라고 말했다.