옵션 가격 결정 방법

이것은 오래된 화제다. 아는 것에도 비슷한 문제가 있다. 하지만 항상 모든 답이 부족하다고 느끼기 때문에 여기서 모든 수치 방법을 정리해 주길 바란다. (윌리엄 셰익스피어, 템페스트, 희망명언) 내 개인의 분류에 따르면, 옵션 가격 책정의 수치 방법은 분석 솔루션, 트리 방법, 편미분 방정식 수치 솔루션, 몬테카를로 방법, 푸리에 변환 방법의 다섯 가지 범주로 나눌 수 있습니다.

1) 해결 방법:

옵션 가격 결정 문제는 실제로 알려진 무작위 미분 방정식 (SDE) 모델을 기반으로 이 무작위 프로세스의 함수 표현식을 해결하는 프로세스입니다. 이것이 무작위 미적분학과 이토 보조가 금융공학의 핵심 지식 중 하나인 이유입니다. 이토는 무작위 과정의 함수로 만족하는 새로운 SDE 를 직접 알려주기 때문입니다.

\rm{d}f(t, X_{t})=\frac{\partial f}

그래서, 우리가이 SDE 에 대한 분석 솔루션을 찾을 수 있다면, 유럽식 비 경로 옵션의 가격은 최종 가치에 대한 할인 기대치입니다. 이것은 옵션 가격 결정에 대한 분석적 해법이다. 물론 PDE 로도 해결할 수 있습니다. Feynmankac 정리 때문에, PDE 와 조건이 기대하는 답은 같을 것이다.

이 방법의 장점은 분명하다. 일단 분석이 이루어지면 옵션 가격 공식의 계산 속도가 매우 빨라져서 맞춤과 최적화 모두 효율성이 향상됩니다. 이 방법의 단점도 분명합니다. 즉, 대부분의 모델과 대부분의 기이한 옵션에 대한 해석 솔루션이 존재하지 않을 수 있습니다.

2) 트리 방법

나무를 부르는 방법이 다이트리라고 하지 않는 이유는 우리도 삼지나무 모형에 대해 토론하기 때문이다. 그러나 본질적인 사상은 완전히 똑같다. (알버트 아인슈타인, 생각명언)

기본 자산의 변동성을 알고 있는 경우 다음 공식을 사용하여 n 세그먼트 이진 트리의 변동성을 구성할 수 있습니다.

U = \ RM {e} {\ sigma \ sqrt {t/n}}, d = \ RM {e} {-\ sigma \ sqrt {

그런 다음 역계산을 통해 초기 시점의 옵션 가격을 얻을 수 있습니다.

트라이던트 나무는요? 먼저 다음 조건을 충족하는 트라이던트 트리 모델 (u 는 위쪽 포크, d 는 아래쪽 포크, l 은 중간 포크) 을 제외한 이치를 이해해야 한다

나머지 트라이던트 나무는 불완전한 시장이다. 나머지 나무 모델에서는 완벽한 헤지가 아닌 슈퍼 복제만 할 수 있습니다. 이 독특한 트라이던트 트리 모델도 가장 일반적으로 사용되는 나무 모델 중 하나가 되었습니다. 어쩌면 어떤 사람들은 왜 이진 트리가 있는지 궁금해 할 수도 있고, 어떤 사람들은 더 귀찮은 삼진 나무를 사용할 수도 있습니다. 이것은 트리 트리의 수렴 속도가 이진 트리보다 빠르기 때문입니다.

그렇다면 나무 모델의 장단점은 무엇일까? 트리 모델에는 연속 시간 모델을 대체할 수 없는 장점이 있습니다. 즉, 미국식, 유럽식, 경로 의존성, 기이한 가격 책정은 항상 역귀납의 원리를 통한 명시적 헤지 전략을 수반한다는 것입니다. 연속 시간 모델에서 연속 시간 헤지 전략을 얻는 문제는 역무작위 미분방정식 (BSDE) 문제이며, 특히 옵션에 특이하거나 미국식 속성이 있는 경우 쉽게 해결되지 않는 경우가 많습니다.

한편, 트리 모델의 단점도 분명합니다. 고차원 문제 트리 모델은 해결할 수 없습니다. 여러 기본 자산의 문제, 특히 관련 계수의 문제에 대해서는 다른 방법에만 호소할 수 있습니다. 속도에서 트리 모형의 수렴 속도는 PDE 방법보다 낮습니다.

3) 편미분 방정식 방법

정량화금융학의 많은 낯선 사람들도 Black Scholes PDE 에 대해 들어본 적이 있다. 사실, 서로 다른 무작위 모델은 서로 다른 PDE 에 해당한다. BS PDE 는 단일 자산의 기하학적 브라운 모션 임의 모델의 PDE 표현식일 뿐입니다. 옵션 최종 만기일의 수익을 자주 알기 때문에 수익 함수를 이 PDE 의 최종 가치 조건으로 사용합니다.

PDE 에 해석 솔루션이 있는 경우 가장 좋은 방법은 당연히 해석 솔루션을 찾는 것입니다. 그러나, 만약 해결이 존재하지 않는다면, 우리는 반드시 수치 방법에 의지해야 한다. 가장 일반적으로 사용되는 수치 해석 방법은 유한 차이, 즉 모든 변수를 하나의 그리드로 구성한 다음, 그리드에 차이 방법을 사용하여 편미분을 추정한 다음 PDE 문제를 대수 문제로 변환하는 것입니다. 옵션 가격 책정의 편미분 방정식의 경우 옵션의 성격에 따라 편미분 방정식의 최종 값 조건과 경계 값 조건을 얻습니다. 그러나 때로는 모델에 따라 단순한 PDE 가 아니라 PIDE (부분 적분 미분 방정식) 를 얻을 수 있습니다. 즉, PDE 의 적분 항목이 더 많습니다. 이때 수치 적분을 사용하여 수치 계산을 완료해야합니다.

PDE 의 수치 문제는 당연히 유한 요소법과 스펙트럼 방법을 포함한 많은 선택이 있다. 그러나 옵션 가격 책정 PDE 자체는 많은 물리적 PDE 만큼 비선형적이지 않고 경계도 그렇게 이상하지 않기 때문에 기본적으로 제한된 차이로 대부분의 문제를 해결할 수 있다.

유한 차이 방법에는 명시적 차이, 암시적 차이 및 인터리빙 차이의 세 가지가 있습니다. 알고리즘 우리는 깊이 연구하지 않지만, 몇 가지 점이 있다: 안정상, 명시적 차이는 조건부로 안정되고, 다른 두 개는 무조건적으로 안정적이다. 계산 복잡도 측면에서 가장 간단하고, 암시 적이며, 인터리브가 가장 복잡합니다. 정확도에 있어서, 명시적 및 암시는 같은 수준이다. 엇갈린 차이의 특수한 경우, 명시적 및 암시적 각각 반, 즉 크랭크-양군노 차이가 있을 때 정확도도 시간적으로 한 단계 높아집니다.

또한 옵션 가격 책정의 편미분 방정식은 앞으로 및 뒤로 두 가지 유형이 있습니다. 전통적인 BS PDE 는 역방향의 전형적인 예이며, 최종 조건은 옵션의 지불 함수입니다. 그런 다음 PDE 는 전방 PDE 에 해당하며, 더 이상 옵션 가격 만족의 PDE 가 아니라 이 표지의' 가격 밀도' 가 만족하는 PDE 입니다. 이런' 가격 밀도' 는 국가가격, 아로드브루 가격 또는 그린 함수라고 불린다. 그리고 이것은 나의 이전 문장 중에 이미 소개되었다.

Arrow Debreu 가격 및 빠른 설치

PDE 방법의 단점은 주로 경로 의존성과 고차원이라는 두 가지입니다. 많은 경로 의존 문제의 PDE 형식은 매우 번거롭고, 아리스토텔레스의 옵션 (예: 회보 옵션) 과 같은 표현조차 할 수 없다. 고차원 문제의 경우 PDE 의 숫자 방법을 평면 그리드에서 공간 메시로 올리면 복잡성이 높을 뿐만 아니라 경계 조건도 제어하기 어렵습니다. PDE 의 장점은 속도가 빠르며 차이 수치 방법에 따라 그리스인을 계산할 때 더 이상 흔들릴 필요가 없다는 것입니다. 예를 들어, 차원이 감소하지 않은 경우 두 가지 자산이 있는 옵션의 유한 차이는 다음과 같은 큐브 그리드입니다.

4) 몬테카를로 방법

몬테카를로 방법은 현재 가장 널리 사용되는 방법입니다. 선행권 속성이 없는 옵션 가격은 실제로 기대이므로 많은 경로를 시뮬레이션하여 실제 예상을 추정할 수 있습니다. 선행권 속성을 가진 미국식 또는 버뮤다 옵션 가격은 사실상 무작위 최적화 문제입니다. 회귀 기반 몬테카를로, 즉 최소 평방 몬트캐롤을 사용하여 회귀를 통해 조건 NPV 를 추정한 다음 몬트캐롤을 사용하여 현재 가치를 해결할 수 있습니다.

따라서 몬테카를로 방법이 가장 일반적인 방법입니다. 하지만 몬테카를로의 단점도 분명합니다. 수백만 개의 경로를 시뮬레이션해야 하고, 기이한 옵션에 대해서는 경로를 계산해야 하고, 미국에 대해서는 회귀를 해야 하기 때문에 몬테카를로 방법은 계산 시간이 긴 대명사가 되었습니다. (데이비드 아셀, Northern Exposure (미국 TV 드라마), Northern Exposure (미국 TV 드라마) 다행히도, 우리는 세 가지 가속 방법이 있습니다: 1, 분산 감소를 사용하여 분산을 그대로 유지하면서 시뮬레이션 경로를 줄일 수 있습니다. 2, 복잡성을 줄이기 위해 다층 몬테카를로 방법 사용; 을 눌러 섹션을 인쇄할 수도 있습니다 3. 병렬 컴퓨팅을 위해 GPU 또는 슈퍼컴퓨터를 사용합니다.

일반적인 몬테카를로 방법의 경우, 위의 세 가지 방법 모두 실행 가능하며 GPU 의 속도는 매우 두드러진다. 분산 감소의 경우 일반적으로 가장 쉬운 방법은 이중 변수, 제어 변수, 조건부 예상 사용이라는 점을 강조해야 합니다. 가장 어려운 것은 중요도 샘플링이지만, 효과와 적용 범위에 있어서 그들의 순위는 종종 정반대이다. 예를 들어, 미국 옵션의 최소 평방 몬테 카를로는 분산을 줄이는 가장 효과적인 방법은 중요한 샘플이며 다른 방법은 거의 작동하지 않습니다.

여기서 또 다른 초점은 최소 평방 몬테카를로에 있습니다. 최소 평방 몬트캐롤의 프로세스는 대략 다음과 같습니다. 먼저 대상의 경로를 앞으로 시뮬레이션합니다. 둘째, 각 시간 노드에서 모든 경로 값을 반환하고 초기 시점까지 조건 기대치를 추정합니다. 마지막으로, 보통. 따라서 여기서 단순히 GPU 클러스터로 가속하면 경로 시뮬레이션이 가장 시간이 많이 걸리는 단계가 아니라 모든 경로를 회귀하기 때문에 효과가 좋지 않다는 점에 유의해야 합니다. 그럼에도 불구하고 GPU 클러스터를 사용하여 회귀 정확도를 높일 수 있습니다. 예를 들어 경로를 분류한 다음 전역 회귀량을 여러 로컬 회귀량으로 변환할 수 있습니다.

일반적으로 몬테카를로 방법은 옵션 가격 책정에서 가장 널리 사용되는 수치 방법이지만 가장 느린 방법이기도 합니다. 그러나 분산 감소, 복잡성 감소 및 GPU 계산을 사용하여 몬테카를로 알고리즘을 최적화하여 속도를 높이고 정확성을 높일 수 있습니다.

5) 푸리에 방법

푸리에 방법 (feature function method) 이라고도 하는 푸리에 방법은 많은 모델에 대해 고유 함수가 명시적으로 표현되는 경우가 많습니다. 예를 들어, 독립 증분이 있는 무한 분리 가능 프로세스에 의해 결정되는 모형입니다. 이 경우 Levy-Khintchine 은 분산 감마, 분산 감마 등 많은 맞춤 특성이 좋은 프로세스를 나타냅니다. 특징 함수는 실제로 무작위 변수의 푸리에 변환으로 볼 수 있는데, 이것이 바로 이 이름의 유래이다.

만약 우리가 명시적으로 표현된 특징 함수를 가지고 있다면, 푸리에 역변환을 통해 원시 무작위 변수의 밀도를 얻어서 옵션 가격을 해결하는 목적을 달성할 수 있다. 일반적으로 이 방법은 PDE 방법보다 빠릅니다. 왜냐하면 숫자 적분은 미분 방정식의 수치 해법보다 빠르기 때문입니다. 그러나이 방법의 단점도 분명합니다. 예를 들어 경로 의존성 및 차원 문제와 같이 고유 함수의 명시 적 표현이 있어야합니다.

요약:

여기서는 표면적인 것만 말한다. 나는 위챗 공식 계좌에서 구체적으로 심층적인 것, 즉 파생 금융이라고 말했다.