프랙탈 수학이란 무엇입니까?

프랙탈은 일반적으로 "여러 부분으로 나눌 수 있는 거칠거나 단편적인 형상 모양, 각 부분 (최소한 대충) 은 전체 크기가 줄어든 모양" [1] 입니다. 이 특성을 자기 유사성이라고 합니다. 프랙탈이라는 단어는 본화 만델보가 1975 에서 제기한 것으로,' 단편적',' 산산조각' 을 의미한다.

프랙탈은 일반적으로 [2] 와 같은 특징을 가지고 있습니다

어떤 작은 규모에서도 미세한 구조를 발견할 수 있습니다.

그것은 너무 불규칙해서 전통적인 유클리드 기하학의 언어로 묘사하기가 어렵다.

자기 유사성 (적어도 대충 또는 임의로)

Hausdorff 치수는 Hilbert 곡선과 같은 공간 채우기 곡선을 제외한 토폴로지 치수보다 큽니다.

간단한 재귀 정의가 있습니다.

프랙탈은 모든 규모에서 비슷하기 때문에 종종 무한히 복잡한 것으로 간주됩니다 (부정확한 용어로). 자연계에서 프랙탈과 비슷한 것은 구름, 산, 번개, 해안선, 눈송이 등이다. 그러나 모든 자기 유사 물건이 프랙탈인 것은 아니다. 실선은 형식상 자체 유사성을 가지고 있지만 프랙탈의 다른 특징에 부합하지 않습니다.

17 세기에 수학자이자 철학자 라이프니츠는 재귀적 자기 유사성에 대해 생각했고, 프랙털 수학은 그 이후로 점차 형성되었다.

1872 까지 Karl Veiershtrass 는 어디에서나 연속적이지만 미세한 함수를 제공했으며, 오늘은 프랙탈 그래픽으로 간주됩니다. 1904 년, 코흐 반 카카는 웨일슈글라스의 추상화와 해석의 정의에 만족하지 않고, 기능적으로는 비슷하지만 더 기하학적인 정의를 제시했습니다. 이것이 바로 오늘날의 코흐 눈송이입니다. 이듬해에 셰르빈스키 카펫이 만들어졌습니다.190 1938 폴 피에르 레비는 그의 논문' 전체와 비슷한 부분으로 구성된 평면 또는 공간 곡선과 표면' 에서 자기 유사 곡선의 개념을 더 제시했다. 그는 글에서 새로운 프랙털 곡선인 리비 C 자 곡선을 묘사했다.

게오르그 콘토도 심상치 않은 성격의 실수 하위 세트인 콘토세트를 제시했고, 오늘도 프랙탈로 여겨진다.

복면의 반복 함수는 65438+2009 년 말과 20 세기 초에 율리 헨리 푸갈레, 펠릭스 클라인, 피에르 파투, 개스톤 줄리아에 의해 연구되었지만, 지금까지 컴퓨터 그래픽을 통해 그들이 발견한 많은 함수들이 그들의 아름다움을 보여 주었다.

1960 년대에 Benhua Mandelberg 는 자기 유사성을 연구하기 시작했고, "영국의 해안선은 얼마나 깁니까? 통계적 자기 유사성 및 프랙탈 차원. 마지막으로 1975 년, Mandelberg 는 Hausdorff 차원이 토폴로지 차원보다 큰 물체를 표시하는' 프랙털' 이라는 단어를 제안했다. 만델버그는 이 수학적 정의를 뛰어난 컴퓨터 아키텍처 이미지로 묘사하는데, 이 이미지는 보편적입니다. 대부분 재귀, 심지어 프랙탈의 일반적인 의미에 기반을 두고 있다.

입법

프랙탈을 만드는 네 가지 일반적인 기술은 다음과 같습니다.

탈출 시간 프랙털: 만델버그 세트, 줄리아 세트, 연소선 프랙털, 새 프랙털, 레오폴드 프랙털 등 공간 (예: 복평면) 의 각 점에 대한 반복 관계로 정의됩니다. 탈출 시간 수식이 한두 번 반복되어 생성된 2D 벡터 필드도 프랙탈을 생성합니다. 점이 이 벡터 필드를 반복해서 통과하면 프랙탈을 생성합니다.

반복 함수 시스템: 이러한 프랙탈에는 고정 형상 대체 규칙이 있습니다. 콘토집, 세르빈스키 삼각형, 세르빈스키 카펫, 공간 채우기 곡선, 코흐 눈송이, 용곡선, T 형 정사각형, 망그 스펀지가 모두 이런 프랙탈의 예이다.

임의 프랙털: 브라운 모션 트랙, 리비 비행, 프랙털 경관, 브라운 나무 등과 같은 무작위적이고 불확실한 프로세스에 의해 생성됩니다. 후자는 확산 제한 집합이나 반응 제한 클러스터처럼 나무 프랙탈이라는 프랙탈을 생성합니다.

기이한 유인자: 혼돈을 표시할 초기 미분방정식의 매핑이나 반복 그룹에서 발생합니다.

[편집] 분류

프랙탈은 자체 유사성에 따라 분류할 수도 있습니다. 다음 세 가지가 있습니다.

정확한 자기 유사성: 이것은 가장 강력한 자기 유사성이며, 프랙탈은 어떤 규모에서도 동일하게 보입니다. 반복 함수 시스템에 의해 정의된 프랙탈은 일반적으로 정확한 자체 유사성을 나타냅니다.

반자 유사성: 느슨한 자기 유사성으로, 프랙탈은 서로 다른 규모에서 거의 동일하게 나타납니다 (정확하지 않음). 반자 유사 프랙탈에는 전체 프랙털 변형과 퇴화 형태의 축소 치수가 포함되어 있습니다. 재귀 관계에 의해 정의된 프랙탈은 일반적으로 완전히 자기 유사성이 아니라 반 자기 유사성입니다.

통계적 자기 유사성: 가장 약한 자기 유사성입니다. 이 프랙탈은 서로 다른 규모에서 고정된 숫자나 통계적 측정을 유지할 수 있습니다. 프랙탈의 합리적인 정의는 대부분 특정 유형의 통계적 자기 유사성으로 이어질 수 있습니다 (프랙털 차원 자체는 다른 스케일에서 고정된 숫자 측정입니다). 무작위 프랙탈은 통계적 자기 유사성의 한 예이지만 정확하지 않고 반 자기 유사성이다.