기금넷 공식사이트 - 금 선물 - 라그랑주 승수 방정식을 푸는 데 어떤 기교가 있습니까? 이해하기 어렵다.
라그랑주 승수 방정식을 푸는 데 어떤 기교가 있습니까? 이해하기 어렵다.
구체적인 방법은 다음과 같습니다.
주어진 이진 함수 z=? (x, y) 및 추가 조건φ (x, y)=0, z=? (x, y) 추가 조건에서 극한점의 경우 라그랑주 함수 L(x, y)=? (x, y)+λφ(x, y) 여기서 λ는 매개변수입니다.
L(x, y) 대 x, y 의 1 차 편미분을 구하여 0 과 같게 하고, 부가조건을 결합해
L'x(x, y)=? X(x, y)+λφ'x(x, y)=0
L'y(x, y)=? Y(x, y)+λφ'y(x, y)=0
φ(x, y)=0
미시경제학에 적용: 효용 함수 U(Qx, Qy) 를 설정합니다. 제약 조건 하에서 극한값을 얻기 위해 라그랑주 함수 L=U(Qx, Qy)+λ( I-Px? Qx-Py? Qy), λ는 매개 변수입니다.
L(x, y) 이 x, y 에 상대적인 1 차 편미분을 구하여 0 과 같게 하고 추가 조건이 성립된다.
즉,
L/? Qx=? U/? Qx-λPx=0 (1)
L/? Qy=? U/? Qy-λPy=0 (2)
I-Px? Qx-Py? Qy=0 (3)
등식 (1) 을 등식 (2) 으로 나누면 다음과 같이 됩니다.
U/? Qx =Px 는 MUx = MUy 를 나타냅니다.
U/? Qy =Py
따라서 소비자가 두 상품의 효용을 극대화하고자 한다면 한계 효용 비율은 가격의 비율과 같아야 한다.
이상은 X 와 Y 상품에 관한 것입니다. 많은 상품에도 적용되나요? 대답은' 예' 입니다. 소비자가 N 가지 상품 중에서 선택한다면 소비자 균형 원칙은 다음과 같이 표현할 수 있다.
Mu1= mu2 = mu3 = ... = mun
P 1= P2= P3=...= Pn
이 결론은 라그랑주 승수로도 증명할 수 있다.
라그랑주 승수법은 N 원 함수를 구하는 것으로 확대될 수 있습니까? M 개의 추가 조건φ (x 1, x2, ..., xn) 아래 (x1,x2, ..., xn) 의 조건부 극한.
이 방법은 다음과 같습니다.
(1) 라그랑주 함수 L(x 1, x2, ..., xn)=? (x 1, x2, ..., xn)+σ I φ I (x1,... x2);
(2) L(x 1, ... xn) x 1, ... xn 에 대한 편미분을 구하여 0 과 같게 하고 추가 조건과 함께 서 있도록 합니다
L'xi==? Xi+σ I φ' I = 0, i= 1, 2, ..., n.
φk(x 1, x2, ..., xn)=0, k= 1, 2, ..., n.
이 방정식 세트를 풀면 극한점을 얻을 수 있다.
질문으로 돌아가서 유틸리티 함수 u (qx 1, qx2, ... qxn) 를 설정해 보겠습니다. 제약 조건 하에서 극한값을 얻으려면 먼저 라그랑주 함수를 설정합니다.
L=U(Qx 1, Qx2, ... qxn)+λ (I-px1? Qx 1-P2? Qy2-...-pxn? Qxn), λ는 매개 변수입니다. L(x 1, x2, ... xn) x 1, ..., xn 의 1 차 편미분을 구하여 0 과 같게 하고 추가 조건으로 설정합니다.
즉,
L/? Qx 1=? U/? Qx1-λ px1= 0 (1)
L/? Qx2=? U/? Qx2-λPx2=0 (2)
......
L/? Qxn=? U/? Qxn-λPxn=0 (n)
I-Px 1? Qx 1-P2? Qy2-...-pxn? Qxn
등식 (1) 을 (n) 으로 나누면
Mux1= mux2 = ... = muxn
Px 1 =Px2 =...=Pn
따라서 소비자가 N 가지 상품의 효용을 극대화하려면 한계 효용 비율은 가격의 비율과 같아야 한다.
확장 데이터:
이 방법은 n 개의 변수와 k 개의 제약 조건이 있는 최적화 문제를 n+k 변수가 있는 방정식의 극한 문제로 변환합니다. 변수는 구속되지 않습니다.
이 방법은 새로운 스칼라 알 수 없는 양, 즉 라그랑주 승수: 제약 방정식 그라데이션의 선형 조합에 있는 각 벡터의 계수를 도입합니다.
주어진 이진 함수 z=? (x, y) 및 추가 조건φ (x, y)=0, z=? (x, y) 추가 조건 하에서 극한점의 경우 먼저 라그랑주 함수를 만듭니다.
F(x, y, λ)=f(x, y)+λφ(x, y)
여기서 λ는 매개변수입니다.
F(x, y, λ) 대 x 와 y, λ의 1 차 편미분은 0, 즉
F'x=? X(x, y)+λφ'x(x, y)=0? [1]?
F'y=? Y(x, y)+λφ'y(x, y)=0
F'λ=φ(x, y)=0
위의 방정식에서 x, y, λ를 풀면 결과 (x, y) 가 함수 z=? 추가 조건φ (x, y)=0 아래 (x, y) 의 가능한 극점.
이런 점이 하나뿐이면 실제 문제에서 직접 확인할 수 있다.
제약 조건 하에서 함수의 조건부 극점은 방정식의 해법이다.
소위 라그랑주 함수 (실수를 라그랑주 승수라고 함) 를 도입하는데, 위의 방정식은 방정식이다.
따라서 조건부 극값을 해결하는 방법에는 일반적으로 세 가지가 있습니다.
1) 직접 방법은 방정식 (1) 에서 해결되고 변수가 있는 함수로 표현되어 문제를 함수의 무조건적인 극한 문제로 변환하는 것입니다.
2) 일반적으로 방정식 (1) 은 풀기가 어렵거나 불가능하므로 위의 해결 방법은 종종 가능하지 않습니다.
일반적으로 사용되는 라그랑주 승수 방법은 방정식 (1) 을 해결하는 데 어려움을 피하고, 조건부 극값 문제를 아래의 라그랑주 함수의 안정점 문제로 변환한 다음, 논의된 실제 문제의 특징에 따라 어떤 안정점이 극치인지 결정합니다.
3) 주어진 조건에서 알 수 없는 양이 대체되거나 해석될 수 있는 경우, 조건 극값은 무조건적인 극값으로 변환되어 라그랑주 승수를 도입하는 번거로움을 피할 수 있습니다.
참고: φ (x, y, z)=0 과 φ(x, y, z) = 0 인 점은 이런 방식으로 계산되지 않으므로 최대값이나 최소값을 구할 때 개별적으로 계산해야 합니다.
참고 자료:
바이두 백과-라그랑주 승수 법