삼각형의 무게중심을 찾는 방법

삼각형의 무게중심은 삼각형의 세 변의 중심선이 만나는 지점이다.

중심의 특성상 세 변의 중심선이 한 지점에서 교차해야 합니다.

따라서 삼각형의 두 변의 중심선을 그리면 그 교차점이 삼각형의 무게 중심이 됩니다.

1. 무게 중심에서 꼭지점까지의 거리와 무게 중심에서 반대쪽 중심점까지의 거리의 비율은 2:1입니다.

증명 1

삼각형 ABC에서 E와 F는 AB와 AC의 중간점입니다. EC와 FB는 G에게 넘겨집니다.

증명: EH를 병렬 BF로 만들기 위해 E를 전달합니다.

∵AE=BE 및 EH//BF

∴AH=HF=1/2AF(중앙선 정리)

및 ∵ AF=CF< / p>

∴HF=1/2CF

∴EG=1/2CG (⊿CFG∽⊿CHE)

2. 무게중심과 3개로 구성 삼각형의 꼭지점 삼각형의 넓이는 같습니다.

증명 2

증명 방법:

ΔABC에서 세 변은 a, b, c이고 점 O는 무게중심이다. 삼각형 AOA1, BOB1 및 COC1은 각각 a, b 및 c의 중심선입니다. 무게 중심의 특성에 따라 OA1=1/3AA1, OB1=1/3BB1, OC1=1/3CC1은 O를 통과합니다. A는 a변의 높이 H1이고, H는 OH1=1/3AH로 알 수 있으며, 그러면 S(ΔBOC)=1/2×h1a=1/2×1/3ha=1/3S(ΔABC) ; 마찬가지로 S(ΔAOC)=1/3S(ΔABC), S(ΔAOB)=1/3S(ΔABC)임을 증명할 수 있습니다. 따라서 S(ΔBOC)=S(ΔAOC)=S( △AOB)

3. 무게 중심에서 삼각형의 세 꼭지점까지의 거리의 제곱의 합이 가장 작습니다. (정삼각형)

증명 방법:

삼각형의 세 꼭짓점이 (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3)이고 그 위의 임의의 점이 있다고 가정합니다. 평면은 (x, y)입니다. 그러면 점에서 세 꼭지점까지의 제곱 거리의 합은 다음과 같습니다. (x1-x)^2 (y1-y)^2 (x2-x)^2 (y2-y) ^2 (x3-x)^ 2 (y3-y)^2

=3x^2-2x(x1 x2 x3) 3y^2-2y(y1 y2 y3) x1^2 x2^2 x3^2 ​​y1^2 y2^ 2 y3^2

=3(x-1/3*(x1 x2 x3))^2 3(y-1/3(y1 y2 y3) )^2 x1^2 x2^2 x3 ^2 y1^2 y2^2 y3^2-1/3(x1 x2 x3)^2-1/3(y1 y2 y3)^2

당연하게도 x=(x1 x2 x3)/ 3. y=(y1 y2 y3)/3 (중심좌표)일 때

위 공식은 최소값 x1^2 x2^2 x3^을 구합니다. 2 ​​y1^2 y2^2 y3^2-1/3 (x1 x2 x3)^2-1/3(y1 y2 y3)^2

드디어 결론에 도달했습니다.

4. 평면 데카르트 좌표계에서 무게 중심의 좌표는 정점 좌표의 산술 평균이며,

즉, 그 좌표는 ((X1 X2 X3) )/3, (Y1 Y2 Y3)/3);

공간 직각 좌표계 - 가로 좌표: (X1 X2 X3)/3 세로 좌표: (Y1 Y2 Y3)/3 세로 좌표: (z1 z2 z3 )/3

5. 세 변까지의 거리의 곱이 가장 큰 삼각형 내의 점입니다.

6. △ABC에서 MA 벡터 MB 벡터 MC 벡터 = 0(벡터)이면 M점은 △ABC의 무게 중심이고, 그 반대도 마찬가지이다.

7. △ABC의 무게중심이 G점이고, 평면에 O점이 있다고 가정하면, 벡터 OG=1/3(벡터 OA 벡터 OB 벡터 OC)

8. 동일한 고삼각형 면적비는 밑변의 비율이고, 밑변이 같은 삼각형의 면적비는 높이의 비율입니다.

증명 방법:

∵D는 BC의 중간점,

∴BD=CD,

및 ∵hΔABD= h △ACD, h`BOD=h`COD,

∴S`ABD=S`ACD, S`BOD=S`COD,

즉, S`AOF S △BOF S △BOD=S △AOE S △ COE S △ COD, S △ BOD = S △ COD,

∴ S △ AOF S △ BOF = S △ AOE S △ COE.

마찬가지로

∵E는 AC의 중간점,

∴SΔAOF SΔBOF=SΔBOD SΔCOD입니다.

∴S`AOE S`COE=S`BOD S`COD.

또한 ∵S`BOF/S`BOD S`COD=OF/OC, S`AOF/S`AOE S` COE,

즉, SΔBOF=SΔAOF입니다.

∴BF=AF,

∴CF는 변 AB의 중심선입니다.

즉, 삼각형의 세 중심선이 한 지점에서 교차합니다.