연속체 가설

연속체 가설은 셀 수 있는 무한 기수(유리수 등)와 셀 수 없는 실수 기수 사이에 다른 기수가 없다는 의미입니다.

유한 집합의 경우 카디널리티를 집합에 있는 요소의 수로 생각할 수 있습니다.

무한 집합의 수를 계산하는 것은 불가능합니다. 사람들은 일대일 매핑을 설정하여 무한 집합의 카디널리티를 정의합니다.

예를 들어 모든 자연수는 무한집합이고 모든 유리수도 무한집합이다.

유리수는 m/n으로 표현될 수 있기 때문이다(m과 n은 모두 정수이다) ), 2 ^m x 3^n을 사용하면 유리수가 모든 자연수의 하위 집합에 매핑될 수 있습니다. 반대로 모든 자연수 N은 N/1(유리수의 하위 집합)에 매핑될 수 있습니다.

이것은 자연수의 밑이 유리수와 같고, 밑이 가산적으로 무한하다는 것을 증명할 수 있습니다.

하지만 실수는 셀 수 없으므로 반증할 수 있습니다.

실수가 셀 수 있다고 가정하면 자연수처럼 대기열에 넣을 수 있습니다.

자연수 숫자는 다음과 같이 대기열에 추가됩니다. 1, 2, 3, 4,...n...

실수 대기열은 A1, A2, A3,...An...입니다.

실수는 무한 소수로 기록될 수 있으므로(유한 소수에는 무제한 0이 추가될 수 있음) 실수 대기열은 다음과 같이 작성되어야 합니다:

A11 A12 A13...A1n.. .

A21 A22 A23... A2n...

A31 A32 A33...A3n...

...

An1 An2 An3...Ann...

...

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...

그 중 A11은 A1의 가장 높은 숫자, A12는 A1의 두 번째 숫자를 나타냅니다.

이제 손으로 하나 만듭니다. 실수 Ak, Ak1≠A11, Ak2≠A22, Ak3≠A33...Akn ≠Ann,

그러면 실수 Ak는 대기열에 있는 모든 실수와 같지 않습니다. 즉, 실수와 자연수 사이에는 일대일 매핑이 이루어질 수 없으므로 실수는 셀 수 없을 정도라고 합니다.

연속체 가설을 살펴보면, 자연수 밑과 실수 밑 사이에 다른 기수는 존재하지 않으며, 괴델과 코헨은 연속체 가설과 집합론이 서로 독립임을 증명했습니다. 예를 들어, 어느 쪽에서 시작하더라도 다른 쪽의 정확성을 증명할 수는 없지만 많은 사람들은 연속체 가설의 진실성에 대해 회의적이며 이를 대체할 수 있는 공리를 찾고 있습니다.

선택의 공리는 비어 있지 않은 집합이 집합군을 형성하는 경우 각 집합에서 요소를 선택하는 방법을 찾을 수 있어야 함을 의미합니다.

연속체 가설과 마찬가지로 선택 공리는 독립적입니다.

선택 공리가 사용되지 않으면 수학의 많은 분야가 멸망하고 미적분학의 이론적 토대마저도 사라지게 됩니다. 문제가 될 것입니다;

선택 공리를 사용하면 Banach-Tarski 역설과 같은 괴물이 생성됩니다(유한한 조각으로 자른 공은 원래 공과 같은 크기의 공 두 개로 재조립될 수 있습니다).

그래서 사람들은 항상 교체를 원했지만 현재로서는 어려운 것 같습니다.

이 분야의 책에 대한 소개는 중국 백과사전 수학 권의 특별 항목입니다.

더 나아가 보다 포괄적인 대학 집합 이론 교과서가 이를 다룰 것입니다.

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중국 전문 서적에는 장진원(요녕교육출판사)의 '연속체 가설'과 자오시순(인민출판사)의 '선택의 공리' 등이 있습니다. 두 책 모두 수학적 논리학과 집합론을 공부했다는 가정을 전제로 합니다. , 대학 수학 전공을 읽는 것이 가장 좋습니다.