피타고라스 정리를 증명하는 여러 가지 방법

카테고리: 과학 및 공학

분석:

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매우 매력적 정리 증명

- 피타고라스 정리의 증명

피타고라스 정리는 기하학의 진주이므로 수천 년 동안 사람들은 이를 증명하려고 노력해 왔습니다. 그 중에는 유명한 수학자, 아마추어 수학 애호가, 일반인, 고위 인사, 심지어 국가의 대통령도 있습니다. 아마도 피타고라스의 정리가 중요하면서도 단순하여 사람들의 관심을 끌기가 더 쉽기 때문에 수백 번이나 반복적으로 과장되고 시연되었기 때문일 것입니다. 1940년에는 367가지의 다양한 증명 방법을 모아 놓은 "피타고라스 명제"라는 제목의 피타고라스 정리 증명 앨범이 출판되었습니다. 실제로, 데이터에 따르면 피타고라스의 정리를 증명하는 방법은 500가지가 넘습니다. 청나라 말기의 수학자 화항방(Hua Hengfang)은 20가지가 넘는 훌륭한 증명 방법을 제공했습니다. 이것은 어떤 정리와도 비교할 수 없습니다.

이 수백 가지 증명 방법 중 일부는 매우 흥미롭고 일부는 매우 간결하며 일부는 증명자의 특별한 정체성 때문에 매우 유명합니다.

먼저 중국과 그리스에서 전해졌다는 피타고라스 정리의 가장 흥미로운 증명 두 가지를 소개한다.

1. 중국어 방법

그림과 같이 변의 길이(a+b)를 갖는 두 개의 정사각형을 그립니다. 여기서 a와 b는 직각 변이고 c는 빗변입니다. 이 두 정사각형은 합동이므로 넓이가 같습니다.

왼쪽과 오른쪽 그림에는 각각 원래 직각 삼각형과 합동인 4개의 삼각형이 있습니다. 왼쪽과 오른쪽 삼각형 4개의 면적의 합은 동일해야 합니다. 왼쪽과 오른쪽 그림 모두에서 4개의 삼각형을 제거하고 그림의 나머지 부분의 면적은 동일해야 합니다. 왼쪽 그림에는 두 개의 정사각형이 남아 있으며 각각 a와 b가 변입니다. 오른쪽 그림은 변이 c인 정사각형을 남깁니다. 따라서

a2+b2=c2입니다.

이것이 우리 기하학 교과서에 소개된 방법이다. 직관적이고 간단해서 누구나 이해할 수 있습니다.

2. 그리스식

그림과 같이 직각삼각형의 세 변에 직접 정사각형을 그립니다.

보기 편하다,

△ABA' ≌ΔAA'' 다.

C를 통해 A''B'' 방향으로 수직선을 그리고 C'에서 AB와 교차하고 C''에서 A''B''와 교차합니다.

△ABA'와 정사각형 ACDA'는 밑변도 같고 높이도 같습니다. 전자의 면적은 후자의 면적인 △AA''C와 직사각형의 절반입니다. AA''C''C'는 밑면도 같고 높이도 같습니다. 전자의 면적은 후자의 절반입니다. △ABA'≌ΔAA''C로부터 정사각형 ACDA'의 넓이가 직사각형 AA''C''C'의 넓이와 같다는 것을 알 수 있습니다. 마찬가지로 정사각형 BB'EC의 면적은 직사각형 B''BC'C''의 면적과 같습니다.

따라서,

S 정사각형 AA''B''B=S 정사각형 ACDA'+S 정사각형 BB'EC,

즉, a2+b2 =c2 .

삼각형의 넓이는 밑변과 높이가 같은 직사각형 넓이의 절반인 것은 잘라내기와 보완법으로 구할 수 있다(독자들에게 증명해 달라) 그들 자신). 여기서는 단순한 면적 관계만 사용하고 삼각형과 직사각형의 면적 공식은 사용하지 않습니다.

이는 고대 그리스 수학자 유클리드가 『기하학』에서 제시한 증명이다.

위의 두 가지 증명 방법이 훌륭한 이유는 정리를 거의 사용하지 않고 면적에 대한 두 가지 기본 개념만 사용하기 때문입니다.

⑴ 합동 모양의 면적은 동일합니다.

p>

⑵ 도형을 여러 부분으로 나누어 각 부분의 면적의 합이 원본 도형의 면적과 같습니다.

누구라도 이해할 수 있을 만큼 완벽하고 단순한 개념이다.

그 증거는 『주비수안경』의 『피타고라스 광장에 대한 주석』이라는 논문에서 찾아볼 수 있습니다.

잘라내고 고치는 방법은 다음과 같습니다.

그림과 같이 그림 속 직각삼각형 4개를 주홍으로 칠하고, 중앙의 작은 사각형을 노란색으로 칠하는데, 이를 중황시라고 하며, 옆면이 화음인 정사각형 모양의 현은 단단하고, 이어서 패치와 매칭을 통해 "들어오는 부분과 나가는 부분이 서로 보완하고, 각각이 그 종류를 따른다"는 피타고라스 현 세 개 사이의 관계를 확인했다. 피타고라스의 정리와 일치합니다. 즉, "피타고라스식을 따로 곱하고 합쳐서 단단한 끈을 이루고, 제곱근을 취하여 나누면 끈이 된다"는 것입니다.

조솽의 피타고라스 정리 증명은 상대적으로 단순하고 직관적인 중국 수학자들의 탁월한 증명 사고력을 보여준다.

서양의 많은 학자들이 피타고라스의 정리를 연구하고 많은 증명 방법을 제시했는데, 그중 가장 먼저 문서화된 증명은 피타고라스에 의해 제시되었습니다. 피타고라스의 정리를 증명한 그는 너무 기뻐서 수백 마리의 소를 죽여 축하했다고 한다. 따라서 서양에서는 피타고라스의 정리를 "백소의 정리"라고도 부릅니다. 불행하게도 피타고라스의 증명 방법은 오랫동안 사라졌고, 그가 어떻게 증명했는지 알 방법이 없습니다.

다음은 미국 제20대 대통령 가필드의 피타고라스 정리 증명이다.

그림과 같이

S사다리꼴 ABCD= (a+b)2

= (a2+2ab+b2), ①

그리고 S 사다리꼴 ABCD=SΔAED+SΔEBC+SΔCED

= ab+ ba+ c2

= (2ab+c2). ②

위의 두 방정식을 비교하면

a2+b2=c2가 됩니다.

이 증명은 사다리꼴 면적 공식과 삼각형 면적 공식을 사용하기 때문에 매우 간결합니다.

1876년 4월 1일, 가필드는 뉴잉글랜드 교육 저널(New England Educational Journal)에 피타고라스 정리에 대한 자신의 증거를 발표했습니다. 5년 후, 가필드는 미국의 20대 대통령이 되었습니다. 이후 그의 직관적이고 단순하며 이해하기 쉽고 명쾌한 피타고라스 정리 증명을 기리기 위해 사람들은 이 증명을 피타고라스 정리의 '대통령적' 증명이라 불렀다. 이는 수학사에 전설이 됐다.

닮음 삼각형에 대해 배운 후에 우리는 직각삼각형에서 빗변의 높이가 직각삼각형을 원래 삼각형과 유사한 두 개의 직각삼각형으로 나눈다는 것을 알게 되었습니다.

그림과 같이 RtΔABC에서는 ∠ACB=90°입니다. CD⊥BC이므로 수직발은 D입니다. 그런 다음

△BCD∽ΔBAC, △CAD∽ΔBAC.

△BCD∽ΔBAC에서 BC2=BD ? BA를 얻을 수 있고, ①

△CAD∽ΔBAC에서 AC2=AD ? AB를 얻을 수 있습니다. ②

두 방정식 ①과 ②를 추가하면

BC2+AC2=AB(AD+BD),

및 AD+를 얻을 수 있음을 발견했습니다. BD =AB,

따라서 BC2+AC2=AB2, 즉

a2+b2=c2입니다.

이 역시 피타고라스의 정리를 증명하는 방법인데, 매우 간단합니다. 유사삼각형에 대한 지식을 활용합니다.

피타고라스 정리의 수많은 증명에서 사람들은 실수도 합니다. 예를 들어, 누군가 피타고라스 정리를 증명하기 위해 다음과 같은 방법을 제시했습니다.

코사인 정리에 따라 △ABC에서 ∠C=90°라고 가정합니다.

c2=a2+ b2-2abcosC,

∠C=90°이므로 cosC=0입니다. 따라서

a2+b2=c2입니다.

이 증명은 정확하고 간단해 보이지만 실제로는 순환 증명의 오류를 범하고 있습니다. 그 이유는 코사인 정리의 증명이 피타고라스의 정리에서 나왔기 때문입니다.

피타고라스 정리도 일반화할 수 있다는 점에서 사람들이 관심을 갖습니다.

유클리드는 그의 "기하학의 요소"에서 피타고라스 정리를 일반화했습니다. 각진 변의 면적을 합한 것입니다."

위 정리로부터 다음 정리를 추론할 수 있다. “직각삼각형의 세 변을 지름으로 사용하여 원을 그리면 빗변으로 만든 원의 넓이는 다음과 같다. 지름은 두 직각 변을 합쳐서 만든 두 원의 넓이를 넓이의 합으로 한 것과 같습니다.

피타고라스 정리는 공간으로도 확장될 수 있습니다. 직각삼각형의 세 변을 대응하는 변으로 사용하여 비슷한 다면체를 구성하면 빗변 위 다면체의 표면적은 다음과 같습니다. 오른쪽에 있는 두 다면체의 표면적.

직각 삼각형의 세 변을 지름으로 사용하여 구를 구성하는 경우 빗변에 있는 구의 표면적은 구성되는 두 구의 표면적의 합과 같습니다. 두 개의 직각면.

등등.

부록

1. "주비연경" 소개

"주비연경"은 10대 사수서 중 하나입니다. 기원전 2세기경에 쓰여진 이 책은 본래 《주비》라고 불렸는데, 당시의 가천력과 4부 달력을 주로 설명하고 있는 우리나라에서 가장 오래된 천문서이다. 당나라 초기에는 국자감 명수과의 교과서 중 하나로 지정되어 "주비수안경"으로 개명되었다. "Zhou Bi Suan Jing"의 주요 수학적 성과는 피타고라스 정리의 도입과 측정에의 적용입니다. 원본은 피타고라스의 정리를 증명하지 않습니다. 그 증거는 삼국시대 소주 출신인 조쌍이 『주비주』의 『피타고라스 광장에 관한 주석』에서 제시한 것입니다.

"Zhou Bi Suan Jing"은 상당히 복잡한 분수 연산과 제곱근 방법을 사용합니다.

2. 가필드의 피타고라스 정리 증명 이야기

1876년 어느 주말 저녁, 미국의 수도 워싱턴 외곽에서 한 중년 남자가 해질녘의 아름다운 풍경을 감상하며 걷고 있던 그는 당시 오하이오주의 공화당 의원이었던 가필드였습니다. 걸어가던 중 갑자기 근처의 작은 돌벤치에서 두 아이가 무엇인가에 집중하고 있는 것을 발견했는데, 그들은 때로는 큰 소리로 다투기도 하고, 때로는 낮은 목소리로 토론하고 있었습니다. 호기심에 사로잡힌 가필드는 소리를 따라가서 두 아이가 무엇을 하고 있는지 알아보려고 두 아이에게 다가갔습니다. 나는 어린 소년이 몸을 굽혀 나뭇가지로 땅바닥에 직각삼각형을 그리는 것을 보았습니다. 그래서 가필드는 그들이 무엇을 하고 있는지 물었습니다. 어린 소년은 고개를 들지 않고 말했습니다. "죄송합니다만 직각삼각형의 두 직각 변이 각각 3과 4라면 빗변의 길이는 얼마입니까?" 가필드가 대답했습니다. "5입니다. " 어린 소년이 물었습니다. "두 직각 변의 길이가 각각 5와 7이라면 이 직각삼각형의 빗변의 길이는 얼마입니까?" 가필드는 아무 생각 없이 대답했습니다. "빗변의 제곱은 5 제곱 더하기 7 제곱과 같아야 합니다." 어린 소년이 다시 말했습니다. "선생님, 진실을 말씀해 주실 수 있나요?" 가필드는 말문이 막혀 설명할 수 없었고 매우 불편했습니다.

그래서 가필드는 걸음을 멈추고 즉시 집으로 돌아가 어린 소년이 그에게 준 문제를 논의하는 데 집중했습니다. 고민과 계산을 거듭한 끝에 마침내 그 이유를 알아내고 간결한 증명 방법을 제시했다.

다음은 미국 제20대 대통령 가필드의 피타고라스 정리 증명이다.

그림과 같이

S사다리꼴 ABCD= (a+b)2

= (a2+2ab+b2), ①

그리고 S 사다리꼴 ABCD=SΔAED+SΔEBC+SΔCED

= ab+ ba+ c2

= (2ab+c2). ②

위의 두 방정식을 비교하면

a2+b2=c2가 됩니다.

이 증명은 사다리꼴 면적 공식과 삼각형 면적 공식을 사용하기 때문에 매우 간결합니다.

1876년 4월 1일, 가필드는 뉴잉글랜드 교육 저널(New England Educational Journal)에 피타고라스 정리에 대한 자신의 증거를 발표했습니다. 5년 후, 가필드는 미국의 20대 대통령이 되었습니다. 이후 그의 직관적이고 단순하며 이해하기 쉽고 명쾌한 피타고라스 정리 증명을 기리기 위해 사람들은 이 증명을 피타고라스 정리의 '대통령적' 증명이라 불렀다. 이는 수학사에 전설이 됐다.

닮음 삼각형에 대해 배운 후에 우리는 직각삼각형에서 빗변의 높이가 직각삼각형을 원래 삼각형과 유사한 두 개의 직각삼각형으로 나눈다는 것을 알게 되었습니다.

그림과 같이 RtΔABC에서는 ∠ACB=90°입니다. CD⊥BC이므로 수직발은 D입니다. 그다음

△BCD∽ΔBAC, △CAD∽ΔBAC.

△BCD∽ΔBAC에서 BC2=BD ? BA를 얻을 수 있고, ①

△CAD∽ΔBAC에서 AC2=AD ? AB를 얻을 수 있습니다.

②

두 방정식 ①과 ②를 추가하면

BC2+AC2=AB(AD+BD),

및 AD+를 얻을 수 있음을 발견했습니다. BD =AB,

따라서 BC2+AC2=AB2, 즉

a2+b2=c2입니다.

이 역시 피타고라스의 정리를 증명하는 방법인데, 매우 간단합니다. 유사삼각형에 대한 지식을 활용합니다.

피타고라스 정리의 수많은 증명에서 사람들은 실수도 합니다. 예를 들어, 누군가 피타고라스 정리를 증명하기 위해 다음과 같은 방법을 제시했습니다.

코사인 정리에 따라 △ABC에서 ∠C=90°라고 가정합니다.

c2=a2+ b2-2abcosC,

∠C=90°이므로 cosC=0입니다. 따라서

a2+b2=c2입니다.

이 증명 방법은 정확하고 간단해 보이지만 실제로는 순환 증명의 오류를 범하고 있습니다. 그 이유는 코사인 정리의 증명이 피타고라스의 정리에서 나왔기 때문입니다.

피타고라스 정리도 일반화할 수 있다는 점에서 사람들이 관심을 갖습니다.

유클리드는 그의 "기하학의 요소"에서 피타고라스 정리를 일반화했습니다. 각진 변의 면적을 합한 것입니다."

위 정리로부터 다음 정리를 추론할 수 있다. “직각삼각형의 세 변을 지름으로 사용하여 원을 그리면 빗변으로 만든 원의 넓이는 다음과 같다. 지름은 직각인 두 변으로 만든 두 원의 넓이를 넓이의 합으로 한 것과 같습니다.

피타고라스 정리는 공간으로도 확장될 수 있습니다. 직각삼각형의 세 변을 대응하는 변으로 사용하여 비슷한 다면체를 구성하면 빗변 위 다면체의 표면적은 다음과 같습니다. 오른쪽에 있는 두 다면체의 표면적.

직각 삼각형의 세 변을 지름으로 사용하여 구를 구성하는 경우 빗변에 있는 구의 표면적은 빗변에 구성된 두 구의 표면적의 합과 같습니다. 두 개의 직각면.

등등.

참고: zhidao.baidu/question/5159445

피타고라스 정리 증명

나홍신

(2002년 4월 25일 참가 같은 날 계림 혁신 교육 교실 교육 대회에서)

증명 1(교과서 증명)

합동인 직각삼각형 8개를 만들고 그 두 직각 변의 길이는 다음과 같습니다. a, b, 빗변의 길이는 c입니다. 그런 다음 변의 길이가 a, b, c인 정사각형 3개를 만들어 위 그림과 같이 정사각형 2개로 합칩니다.

그림 위에서 볼 수 있듯이 이 두 정사각형의 변의 길이는 a + b이므로 면적이 동일합니다.

증명 2. (Zou Yuanzhi의 증명)

a와 b를 직각으로 하고 c를 빗변으로 하여 합동인 직각삼각형 4개를 만드세요. 그러면 각 직각삼각형의 넓이는 같습니다. 이 네 개의 직각 삼각형을 그림과 같은 모양으로 만들어 세 점 A, E, B가 직선 위에 있고 세 점 B, F, C가 직선 위에 있고 세 점 점 C, G 및 D는 직선 위에 있습니다.

∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF,

∴ ∠AHE =

∵ ∠AEH + ∠AHE = 90?,

∴ ∠AEH + ∠BEF = 90?.

∴ ∠HEF = 180?-90?= 90?. p> ∴ 사변형 EFGH는 변의 길이가 c

인 정사각형입니다.

∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE,

∴ ∠HGD. = ∠EHA.

∵ ∠HGD + ∠GHD = 90?,

∴ ∠EHA + ∠GHD = 90? 그리고 ∵ ∠GHE = 90?,

∴ ∠DHA = 90?+ 90?= 180?.

∴ ABCD는 변의 길이가 a + b인 정사각형이고 면적은 <입니다. /p>

∴ . .

증명 3(Zhao Shuang 증명)

a와 b를 직각 변(b>a)으로 두고 c 기울기가 되다

합동인 직각삼각형 4개를 만든 다음 각 직각

을 삼각형의 넓이는 다음과 같습니다. 이 직각삼각형 4개를 놓으면 됩니다.

∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,

∴ ∠HDA = ∠EAB

∵ ∠HAD + ∠HAD = 90? ,

∴ ∠EAB + ∠HAD = 90?,

∴ ABCD는 변의 길이 c입니다. 면적이 c2와 같은 정사각형입니다. = FG =GH =HE = b―a ,

∠HEF = 90?.

∴ EFGH는 한 변의 길이가 b-a인 정사각형이고 면적은

∴ .

∴

증명 4 (1876년 가필드가 증명함)

b는 직각변이고 c는 빗변입니다. 그러면 각 직각삼각형의 넓이는 다음과 같습니다. 그림에 표시된 모양은 세 점 A를 만듭니다. , E, B를 직선으로 연결합니다.

∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,

∴ ∠ADE =

∵ ∠AED + ∠ADE = 90?,

∴ ∠AED + ∠BEC = 90?

∴ ∠DEC = 180?-90?= 90?

∴ ΔDEC는 이등변 직각 삼각형,

면적은

및 ∵입니다.

∠DAE = 90?, ∠EBC = 90?,

∴ AD"BC

∴ ABCD는 직각 사다리꼴이며 면적은

∴ .

∴

증명 5(메이 웬딩의 증명)

합동인 직각삼각형 4개를 만들고 두 변이 직각이라고 가정 길이는 각각 a와 b이고, 빗변의 길이는 c입니다. 그림과 같이 이들을 모아서 D, E, F가 직선이 되도록 AC와 C를 연장하는 선을 그립니다. 그리고 점 P에서 DF와 교차합니다.

∵ D, E, F는 직선 위에 있고 RtΔGEF ≌ RtΔEBD,

∴ ∠EGF = ∠BED,

∵ ∠EGF + ∠GEF = 90 °,

∴ ∠BED + ∠GEF = 90°,

∴ ∠BEG =180?―90?= 90?. /p>

그리고 ∵ AB = BE = EG = GA = c,

∴ ABEG는 한 변의 길이가 c인 정사각형입니다.

∴ ∠ABC + ∠CBE = 90 ?.

∵ RtΔEBD,

∴ ∠EBD.

∴ ∠EBD + ∠CBE = 90?. p> 즉, ∠CBD= 90?

그리고 ∵ ∠BDE = 90?, ∠BCP = 90?,

BC = BD =

∴ BDPC는 변의 길이가 a 정사각형입니다.

마찬가지로 HPFG는 변의 길이가 b인 정사각형입니다.

다각형 GHCBE의 면적을 S라고 가정하면

p>

,

∴

증명 6 (Xiang Mingda의 증명)

두 개의 합동 직각삼각형을 만드세요. 직각인 두 변은 a와 b입니다(b>a). 빗변 길이는 c입니다. 그림과 같이 세 점 E, A가 되도록 다각형을 만듭니다. , C는 직선 위에 있습니다.

점 Q를 통과하여 QPʼBC를 만들고 점 P에서 AC와 교차합니다.

점 B를 통과하여 BM을 만듭니다. ⊥PQ이고 수직 발은 M이고, 다시 지점을 통과하면

F가 FN⊥ PQ가 되며 수직 발은 N입니다.

∵ ∠BCA = 90? ʼBC,

∴ ∠MPC = 90?,

∵ BM⊥PQ ,

∴ ∠BMP = 90?,

∴ BCPM은 직사각형, 즉 ∠MBC = 90?

∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠ QBA = 90?,

∠ABC + ∠MBA = ∠MBC입니다. = 90?,

∴ ∠QBM = ∠ABC,

및 ∵ ∠BMP = 90?, ∠BCA = 90?, BQ = BA = c,

∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.

같은 방법으로 RtΔQNF ≌ RtΔAEF

따라서 문제를 증명 4(Mei Wending Proof)로 변환할 수 있습니다. p>

증명 7 (유클리드 증명)

세 변의 길이가 a, b, c인 정사각형을 만들어 그림과 같은 모양으로 놓아 세 점 H, C와 B는 BF와 CD를 연결하는 직선 위에 있습니다. CL⊥DE를 통해 C를 그리고

점 M에서 AB와 교차하고 점 L에서 DE와 교차합니다.

∵ AF = AC, AB = AD,

∠FAB = ∠GAD,

∴ ΔFAB ≌ ΔGAD,

∵ ΔFAB의 면적은 다음과 같습니다. ,

ΔGAD의 면적은 ADLM 직사각형과 같습니다