세계 수학 퍼즐

1) 칸토어의 연속체 카디널리티 문제를 알려주세요!

1874년 칸토어는 가산 집합의 카디널리티와 실수 집합의 카디널리티 사이에 다른 카디널리티가 없다고 추측했는데, 이는 유명한 연속체 가설이다. 1938년 미국에 거주하는 오스트리아의 수리논리학자 괴델은 연속체 가설과 ZF 집합론의 공리 체계 사이에 모순이 없음을 증명했습니다. 1963년 미국 수학자 P. Choen은 연속체 가설과 ZF 공리가 서로 독립임을 증명했습니다. 따라서 연속체 가설은 ZF 공리로 증명될 ​​수 없습니다. 이러한 의미에서 문제는 해결됩니다.

(2) 산술 공리 체계의 비모순.

유클리드 기하학의 비모순은 산술 공리의 비모순에 기인할 수 있습니다. 힐베르트는 이를 증명하기 위해 형식주의 계획의 증명 이론 방법을 사용할 것을 제안했고, 괴델은 이를 부정하기 위해 1931년 불완전성 정리를 발표했습니다. G. Gentaen(1909-1945)은 산술 공리 시스템의 비모순을 증명하기 위해 1936년에 초한 귀납법을 사용했습니다.

(3) 밑면과 높이가 같은 두 개의 사면체가 계약 공리에만 기초하여 동일한 부피를 갖는다는 것을 증명하는 것은 불가능합니다.

문제의 의미는 밑변이 같은 두 개의 사면체가 있는데, 이를 유한한 수의 작은 사면체로 분해하여 이 두 사면체 집합이 서로 합동이 된다는 것입니다. M. Dehn 1900년이 해결되었습니다.

(4) 두 점 사이의 최단 거리를 직선으로 취하는 문제.

이 질문은 일반적인 질문입니다. 이 속성을 만족하는 형상이 많기 때문에 특정 제한 사항을 적용해야 합니다. 1973년 소련 수학자 포글레프(Pogleov)는 대칭 거리의 경우 문제가 해결되었다고 발표했습니다.

(5) 토폴로지가 Lie 그룹(토폴로지 그룹)이 되기 위한 조건.

이 질문은 연속형 그룹의 분석성, 즉 모든 로컬 유클리드 그룹이 반드시 거짓말 그룹이어야 하는지 여부를 묻는 질문입니다. 1952년에 Gleason, Montgomery, Zippin이 공동으로 해결했습니다. 1953년 일본의 야마마이 히데히코(Yamamai Hidehiko)는 매우 긍정적인 결과를 얻었습니다.

(6) 수학에서 중요한 역할을 하는 물리학의 공리화.

1933년 소련 수학자 콜모고로프(Kolmogorov)는 확률 이론을 공리화했습니다. 나중에 그는 양자역학과 양자장 이론에서 성공을 거두었습니다. 그러나 많은 사람들은 물리학의 모든 분야가 완전히 공리적일 수 있는지에 대해 의구심을 갖고 있습니다.

(7) 특정 숫자의 초월성을 증명합니다.

필요한 증명: α가 대수이고 β가 무리수의 대수인 경우 αβ는 초월수이거나 적어도 무리수(예: 2√2 및 eπ)여야 합니다. 1929년 소련의 겔폰트(Gelfond)가, 1935년 독일의 슈나이더(Schneider)와 시겔(Siegel)이 독자적으로 그 정확성을 입증했다. 그러나 초월이론은 완전함과는 거리가 멀다. 현재, 주어진 숫자가 초월적인지 여부를 결정하는 통일된 방법은 없습니다.

(8) 소수 분포 문제, 특히 리만 추측, 골드바흐 추측 및 쌍둥이 소수 *** 문제.

소수는 아주 오래된 연구 분야입니다. 힐베르트는 여기서 리만 추측, 골드바흐 추측, 쌍둥이 소수 문제를 언급했습니다. 리만 가설은 아직 해결되지 않았습니다. Goldbach의 추측과 쌍둥이 소수 문제는 아직 최종적으로 해결되지 않았으며 가장 좋은 결과는 중국 수학자 Chen Jingrun의 것입니다.

(9) 모든 숫자 분야에서 일반 상호법칙을 증명합니다.

1921년 일본의 다카기 사다하루(Takagi Sadaharu)와 1927년 독일의 E. Artin이 각각 기본적인 해결책을 제공했습니다. 도메인 이론은 아직 개발 중입니다.

(10) 유한 단계를 통해 부정 방정식에 유리 정수 해가 있는지 여부를 결정할 수 있습니까?

정수 계수를 갖는 방정식의 정수근을 구하는 것을 풀 수 있는 디오판토스(약 210~290년, 고대 그리스 수학자) 방정식이라고 합니다. 1950년경 미국의 수학자 데이비스(Davis), 푸트난(Putnan), 로빈슨(Robinson) 등이 중요한 돌파구를 마련했습니다. 1970년에 Baker와 Philos는 두 개의 미지수가 포함된 방정식에 대해 긍정적인 결론을 얻었습니다. 1970. 소련의 수학자 마티세비치(Matisevich)는 마침내 일반적으로 대답은 '아니오'라는 것을 증명했습니다. 부정적인 결과가 얻어졌지만 일련의 귀중한 부산물이 생산되었으며 그 중 다수는 컴퓨터 과학과 밀접한 관련이 있었습니다.

(11) 일반 대수수 분야의 이차 형태 이론.

독일 수학자 Hasse와 Siegel은 1920년대에 중요한 결과를 얻었습니다. 1960년대에 프랑스 수학자 A. Weil은 새로운 진전을 이루었습니다.

(12) 클래스 도메인의 구성.

즉, 아벨장에 대한 크로네커의 정리는 모든 대수적 유리장으로 확장됩니다. 이 문제에 대해서는 일부 산발적인 결과만 있을 뿐 완전한 해결책과는 거리가 멀습니다.

(13) 두 변수의 연속함수를 조합하여 일반적인 7차 대수방정식을 푸는 것은 불가능합니다.

7차 방정식 x7+ax3+bx2+cx+1=0의 근은 3개의 매개변수 a, b, c에 따라 달라집니다. 이 함수를 두 변수의 함수로 표현할 수 있나요? 이 문제는 거의 해결되었습니다. 1957년에 소련 수학자 아놀드는 [0, 1]의 연속 실수 함수 f(x1, x2, x3)가 ∑hi(ξi(x1,x2),x3) (i=1- -9), 여기서 hi와 ξi는 연속 실수 함수입니다. Kolmogorov는 f(x1, x2, x3)가 ξhi(ξi1(x1)+ξi2(x2)+ξi3(x3))(i=1--7) 형식으로 작성될 수 있음을 증명했습니다. 여기서 hi와 ξi는 연속입니다. 함수에서 ξij의 선택은 f와 완전히 독립적일 수 있습니다. 1964년 Vituskin은 이를 연속 미분 가능 사례로 확장했지만 분석 함수의 경우는 해결하지 못했습니다.

(14) 일부 완전한 기능 시스템에 대한 제한된 증명.

즉, x1, x2,...,xn을 독립변수로 하는 정의역 K의 다항식 fi(i=1,...,m)이고, R은 K의 유리함수입니다. [X1,...,Xm] F(X1,…,Xm)과 F(f1,…,fm)∈K[x1,…,xm]로 구성된 링은 다음과 같은 다항식으로 생성될 수 있습니다. 유한한 수의 요소 F1,…,FN? 일본의 수학자 나가타 마사키는 1959년에 아름다운 반례를 통해 대수불변 문제와 관련된 이 문제에 대한 부정적인 해결책을 제시했습니다.

(15) 대수기하학의 기초를 확립합니다.

네덜란드 수학자 반 데르 발덴(Van der Walden)이 1938년부터 1940년까지 연구했고 웨이이(Wei Yi)가 1950년에 이를 풀었습니다.

(15) 참고 1. 슈베르트 계산법의 엄격한 기초.

전형적인 질문은 다음과 같습니다. 3차원 공간에는 직선 4개가 모두 교차할 수 있습니까? 슈베르트는 직관적인 해결책을 제시했습니다. 힐베르트는 문제를 일반화하고 엄격한 기반을 제공할 것을 요구했습니다. 이제 대수 기하학과 밀접하게 관련된 몇 가지 계산 가능한 방법이 있습니다. 그러나 아직 엄격한 기반이 확립되지 않았습니다.

(16) 대수 곡선과 표면에 대한 위상학적 연구.

이 문제의 전반부는 대수 곡선에서 닫힌 가지 곡선의 최대 수에 관한 것입니다. 후반부에는 dx/dy=Y/X인 한계 사이클의 최대 수 N(n)과 상대 위치에 대한 논의가 필요합니다. 여기서 X와 Y는 x와 y의 n차 다항식입니다. n=2(즉, 2차 시스템)의 경우 Forozhener는 1952년에 N(2)≥1을 얻었고, 1955년에 Botting은 N(2)≥3을 얻었습니다. 3, 한동안 사람들을 충격에 빠뜨렸던 이 결과는 몇 가지 기본정의가 부정되었기 때문에 의문의 여지가 있었습니다. 상대 위치와 관련하여 중국 수학자 Dong Jinzhu와 Ye Yanqian은 1957년에 (E2)가 두 개의 문자열을 초과하지 않는다는 것을 증명했습니다. 1957년에 중국 수학자 Qin Yuanxun과 Pu Fujin은 최소 3개의 문자열 극한 주기를 갖는 n=2 방정식의 구체적인 예를 제시했습니다. 1978년 중국의 Shi Songling은 Qin Yuanxun과 Hua Luogeng, Wang Mingshu의 지도 하에 각각 극한 주기의 구체적인 예를 네 가지 이상 인용했습니다. 1983년에 진원순은 이차계가 최대 4개의 극한주기를 가지며 (1,3) 구조임을 증명하여 최종적으로 이차 미분방정식의 해법의 구조적 문제를 해결하고 힐베르트의 방정식 연구의 기초를 마련했습니다. 첫 번째(16) 문제는 새로운 길을 제공합니다.

(17) 양의 준정부호 형식으로 제곱합을 표현합니다.

실수 계수 유리 함수 f(x1,...,xn)는 모든 배열(x1,...,xn)에 대해 항상 0보다 크거나 같습니다. 유리함수의 제곱합은요? 1927년에 Artin은 확실히 정착했습니다.

(18) 합동 다면체를 사용하여 공간을 구성합니다.

1910년 독일 수학자 비버바흐와 1928년 라인하르트는 부분적인 해결책을 제시했습니다.

(19) 정규 변동 문제에 대한 해결책은 항상 분석 함수입니까?

독일 수학자 베른슈타인(1929)과 소련 수학자 페트로프스키(1939)가 이를 풀었다.

(20) 일반적인 경계값 문제를 연구합니다.

이 문제는 빠르게 발전하면서 수학의 큰 분야가 되었습니다. 지금도 계속 연구하고 발전하고 있어요.

(21) 주어진 특이점과 단일 값 그룹을 사용하여 Fuchs 클래스의 선형 미분 방정식에 대한 해의 존재를 증명합니다.

이 문제는 선형 상미분 방정식의 대규모 이론에 속합니다. Hilbert 자신은 1905년에, H. Rohrl은 1957년에 중요한 결과를 얻었습니다. 1970년에 프랑스 수학자 Deligne은 뛰어난 공헌을 했습니다.

(22) 단일 값 분석 함수에는 자동 변형 함수를 사용합니다.

이 문제는 어려운 리만 표면 이론과 관련이 있습니다. 1907년 P. Koebe는 다양한 상황을 해결하고 문제 연구에 중요한 돌파구를 마련했습니다. 다른 측면은 아직 해결되지 않았습니다.

(23) 변분법 개발에 관한 연구.

이것은 명시적으로 수학적인 질문이 아닙니다. 변분의 미적분학은 20세기에 크게 발전했습니다.

답변: 마나미 - 위대한 마술사 레벨 8 4-12 22:42

힐베르트의 23가지 문제와 그 해결책

1900년 알베르트가 국제 대회에 초대되었습니다. 파리 수학자 회의에서 '수학적 문제'라는 제목으로 중요한 강의를 했습니다. 이 역사적인 연설에서 그는 먼저 많은 중요한 아이디어를 제시했습니다.

모든 인간의 노력이 명확한 목표를 추구하는 것처럼 수학적 연구에도 고유한 문제가 있습니다. 이러한 문제를 해결함으로써 연구자들은 강철의 의지를 발휘하고 새로운 관점을 발견하며 더 넓은 자유의 영역에 도달할 수 있습니다.

힐베르트는 특히 수학 발전에 있어 주요 문제의 역할을 강조하며 “가까운 미래에 수학적 지식의 발전 가능성에 대한 아이디어를 갖고 싶다면 살펴봐야 한다”고 지적했다. 우리가 미래에 해결하기를 희망하는 현재의 과학적 진보 문제로 되돌아가십시오." 동시에 그는 다음과 같이 지적했습니다. "일반적인 수학적 과정에 대한 특정 유형의 문제의 심오한 의미와 그들이 수행하는 작업에서 중요한 역할 과학의 한 분야가 있는 한 개별 연구자들은 부정할 수 없다. 많은 질문을 제기할 수 있다면 활력이 넘칠 것이고, 질문이 없다는 것은 자주적인 발전이 쇠퇴하거나 중단된다는 것을 의미할 것이다."

좋은 질문의 특징은 다음과 같습니다.

명확하고 이해하기 쉽습니다.

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광범위한 의미.

이와 동시에 수학적 문제를 공부할 때 자주 겪는 어려움과 이를 극복할 수 있는 몇 가지 방법을 분석했다. 그는 이 회의에서 수학자들이 새로운 세기에 해결해야 할 23가지 문제, 그 유명한 '힐베르트의 23가지 문제'를 제안했습니다.

수 문제는 개발 분야의 해결을 촉진합니다

1 연속체 가설 공리 집합론 1963년 Paul J.Cohen은 다음과 같은 의미에서 첫 번째 문제가 해결 불가능함을 증명했습니다. . 즉, 연속체 가설의 참 또는 거짓은 Zermelo_Fraenkel 공리 시스템 내에서 결정될 수 없습니다.

2 산술 공리의 호환성에 대한 수학적 기초 산술 공리의 호환성을 증명하려는 힐베르트의 생각은 나중에 체계적인 힐베르트 계획("메타수학" 또는 "증명 이론")으로 발전했지만 1931년 괴델의 "불완전한 정리"는 산술 공리의 호환성을 증명하기 위해 "메타수학"을 사용하는 것이 불가능함을 지적했습니다. 수학적 호환성 문제는 아직 해결되지 않은 상태로 남아 있습니다.

3 두 개의 동일한 높이와 동일한 밑면을 갖는 사면체의 부피 동일. 이 문제는 Hilbert의 학생 M. Dehn에 의해 신속하게(1900년) 긍정적인 답변을 얻었습니다.

4 두 점 사이의 최단 거리로서의 직선 문제. 이 질문은 너무 일반적입니다. 힐베르트 이후 많은 수학자들이 다양한 특수 미터기하학을 구축하고 탐구하는 데 전념하여 네 번째 문제 연구에 큰 진전을 이루었지만 문제가 완전히 해결되지는 않았습니다.

5 그룹 기능의 미분성 가정에 대한 거짓말 그룹 개념을 정의하지 마십시오. 위상 그룹 이론에 대한 오랜 노력 끝에 이 문제는 Gleason, Montqomery, Zipping 등에 의해 마침내 해결되었습니다. 1952년. 대답은 '예'입니다.

6 물리공리의 수학적 처리 수리물리학, 양자역학, 열역학 및 기타 분야에서 공리적 방법은 큰 성공을 거두었지만 일반적으로 말하면 공리물리학이 무엇을 의미하는지에 대해서는 여전히 논의가 필요합니다. 질문. 확률 이론의 공리화는 A.H. Konmoropob et al.

7 특정 숫자의 비합리성과 초월성 초월 정수론 1934년에 A.O. Temohm과 Schneieder는 이 문제의 후반부를 독립적으로 해결했습니다.

8 소수 문제 정수론 일반적으로 리만 추측은 오늘날에도 여전히 추측입니다. 여덟 번째 문제에 포함된 골드바흐 문제는 아직 해결되지 않았습니다. 중국 수학자들은 이 분야에서 일련의 뛰어난 연구를 해왔습니다.

9 모든 수 분야에서 가장 일반적인 상호법칙의 증명은 Takagi Sadaharu(1921)와 E.Artin(1927)에 의해 해결되었습니다.

10 Diophantius 방정식 판별. 해결 가능성 분석 1970년 소련과 미국의 수학자들은 힐베르트가 기대했던 일반 알고리즘이 존재하지 않는다는 것을 증명했습니다.

11 계수가 임의의 대수적 숫자인 이차 형식 이차 형식 이론 H. Hasse(1929)와 C. L. Siegel(1936, 1951)은 이 문제에 대해 중요한 결과를 얻었습니다.

12 아벨장에 대한 크로네커의 정리는 모든 대수적 유리장으로 확장됩니다. 복소곱셈 이론은 아직 해결되지 않았습니다.

13 단지 두 변수의 함수만으로 일반적인 7차 방정식을 푸는 것은 불가능합니다. 방정식 이론 및 실수 함수 이론 연속 함수의 상황은 1957년 소련 수학자에 의해 부정적으로 해결되었습니다. 분석 함수가 필요한 경우 문제는 아직 해결되지 않은 상태로 남아 있습니다.

14 특정 유형의 완전 함수 시스템의 유한성을 증명하십시오. 대수 불변 이론 1958년에 나가타 마사키는 음의 해를 제시했습니다.

15 슈베르트 미적분학 대수기하학의 엄밀한 기초 많은 수학자들의 노력으로 슈베르트 미적분학의 기초를 순전히 대수적으로 다루는 것은 가능하지만, 슈베르트 미적분학의 합리성은 여전히 ​​풀어야 할 과제이다. 대수기하학의 기초는 B.L. Vander Waerden(1938-40)과 A. Weil(1950)에 의해 확립되었습니다.

16 대수곡선과 곡면의 위상수학 곡선과 곡면의 위상수학, 상미분방정식의 질적 이론 문제의 전반부에서는 최근 몇 년간 중요한 결과가 지속적으로 나오고 있다.

17 양의 정부호 형태의 제곱 표현의 장(실장) 이론은 1926년 Artin에 의해 해결되었습니다.

18 합동 다면체로 구성된 공간은 결정군 이론으로 부분적으로 해결됩니다.

19 정준변동문제의 해법은 분석적이어야 하는가? 타원편미분방정식 이론 이 문제는 어떤 의미에서 해결되었다.

20 일반 경계값 문제 타원 편미분 방정식 이론 편미분 방정식의 경계값 문제에 대한 연구가 활발히 이루어지고 있습니다.

21 주어진 단일 값 그룹을 갖는 선형 편미분 방정식의 존재는 Hilbert 자신(1905)과 H.Rohrl(독일, 1957)에 의해 해결되었습니다. .

22 분석 관계의 통일 리만 표면 고체 한 변수의 경우는 P.Koebe(독일, 1907)에 의해 해결되었습니다.

23 변분학의 발전 힐베르트 자신과 많은 수학자들은 변분학의 발전에 중요한 공헌을 했습니다.

100년 전 수학자 대회와 힐베르트의 문제

Xiong Weimin

21세기 첫 국제수학자대회가 곧 베이징에서 개최됩니다. , 이것이 금세기 수학의 발전에 어떤 영향을 미칠까요? 20세기 제1회 국제수학자대회처럼 수학 발전 방향에 영향을 미칠 수 있을까? 100년 전 수학자 회의가 역사상 영원히 기억될 수 있는 이유는 전적으로 한 사람과 그의 보고서 중 하나, 즉 데이비드 힐베르트와 그의 "수학적 문제" 때문입니다.

1900년 힐베르트는 파리에서 열린 제2차 국제 수학자 회의에서 그의 유명한 23가지 수학 문제를 제안했습니다. 다음 반세기 동안 세계 최고의 수학적 사고를 지닌 많은 사람들이 그들 주위를 맴돌았습니다. 상황은 또 다른 매우 유명한 수학자 H. Weyl이 말한 것과 같습니다. "힐베르트가 마술 피리를 불자 쥐 떼가 그를 따라와 강으로 뛰어들었습니다." 이해하기 쉽고, 그 중 일부는 너무 흥미로워서 많은 평신도들이 시도해 보고 싶어합니다. 만약 그가 그 중 어느 하나를 해결하거나 어떤 문제에서 획기적인 발전을 이룬다면 그는 즉시 전 세계적으로 유명해질 것입니다. 천징룬(Chen Jingrun)은 힐베르트의 8번째 문제(즉, 리만 추측, 골드바흐 추측 등을 포함한 소수 문제)를 해결하는 데 지대한 공헌을 하여 세계의 주목을 받았다. 사람들은 20세기 수학의 발전, 특히 20세기 전반의 수학 발전을 요약할 때 대개 힐베르트가 제기한 질문을 방향 표시로 사용한다.

사실 이러한 문제의 대부분은 이미 존재하며, 힐베르트가 이 문제를 최초로 제기한 것은 아닙니다. 그러나 그는 더 높은 수준에 서서 이러한 문제를 더 날카롭고 단순한 방식으로 다시 제기하고 많은 문제의 해결 방향을 지적했습니다.

수학 분야에는 문제가 많이 있는데 어떤 문제가 더 중요하고 기본인가요? 그러한 선택을 하려면 예리한 통찰력이 필요합니다. 힐베르트는 왜 그렇게 날카로운 눈을 가졌습니까? 수학사가이자 중국과학원 수학시스템과학연구소 연구원이자 『힐베르트-왕국의 알렉산더』의 번역가인 Yuan Xiangdong(Li Wenlin과 공동 번역)씨 of Mathematics"는 힐베르트가 수학 왕국의 알렉산더이기 때문이라고 믿습니다! 수학자들은 수학의 어려운 문제를 잘 푸는 사람과 기존 상황을 이론적으로 요약하는 데 능숙한 사람으로 나눌 수 있습니다. 두 범주 모두 일류, 이류, 삼류로 나눌 수 있습니다. 힐베르트는 두 가지 모두에 능숙했으며 현대 수학의 거의 모든 분야를 여행했으며 수학의 다양한 분야에 그의 이름을 남겼습니다. 그는 수학 발전의 배경을 잘 알고 있었고 언급된 주제에 대해서도 잘 알고 있었습니다. 그는 수많은 문제에 대해 심층적인 연구를 진행했으며 수학 분야의 '왕'입니다.

힐베르트는 왜 보통 사람들처럼 자신의 결과 중 하나를 발표하지 않고 회의에서 수학의 기본 문제를 요약했을까요? Yuan Xiangdong은 이것이 또 다른 수학의 거물인 Henri Poincaré와 관련이 있다고 기자들에게 말했습니다. Poincaré는 1897년에 열린 제1차 국제 수학자 회의에서 응용 수학에 관한 보고서를 발표했습니다. 두 사람은 당시 국제 수학계의 선두주자였다. 물론 어느 정도 경쟁도 있었다. 푸앵카레가 물리학과 수학의 관계에 대한 자신의 일반적인 견해를 이야기했기 때문이다. 순수 수학을 방어하십시오.

푸앵카레는 프랑스인이고 힐베르는 독일인이다. 프랑스와 독일은 불화를 겪고 있어서 이들 사이의 경쟁도 국가 간 경쟁의 맛을 낸다. 두 사람이 서로에 대해 깊은 존경심을 가지고 있는지는 확실하지 않지만, 학생과 교사는 종종 그렇게 봅니다.

힐베르트의 스승인 펠릭스 클라인은 독일 수학의 발전을 강조하며 국제 수학계를 원형이었던 타원으로 만들고자 했던 인물이다. 원은 파리입니다. 이제 그는 자신의 도시 괴팅겐이 세계 수학의 중심이 되어 수학 세계를 두 개의 중심이 있는 타원으로 바꾸기를 원합니다.

힐베르트와 그의 절친한 친구 헤르만 민코프스키의 도움으로 클라인은 자신의 목표를 달성했습니다. 1900년까지 힐베르트는 이미 프랑스 최고의 수학자 푸앵카레, 클라인 자신, 곧 다가올 민코프스키와 경쟁했습니다. 괴팅겐에 온 사람들도 매우 영향력 있는 수학자였습니다. 실제로 그들은 독일에서 '무적의 3대 교수'로 알려져 있다.

예시만으로도 이들의 매력을 짐작할 수 있다.

어느 날, 민코프스키는 위상수학의 유명한 정리인 4색 정리를 이야기하던 중 갑자기 아이디어가 떠올라 학생들로 가득 찬 학급에 “이 정리는 아직 증명되지 않았습니다. 지금까지 일부 삼류 수학자만이 그것을 연구했습니다. 이제 그것을 증명하는 것은 나에게 달려 있습니다." 그리고 그는 분필을 들고 그 자리에서 정리를 증명했습니다. 이 수업이 끝난 후에도 그는 아직 자격증을 취득하지 못했습니다. 그는 다음 수업 시간에도 계속 간증했고, 그 일은 몇 주 동안 계속되었습니다. 마침내 비가 내리는 어느 날 아침, 그가 무대에 오르자마자 하늘에 벼락이 떨어졌습니다. 그는 “하나님도 나의 오만함에 진노하신다”며 “나의 증명도 불완전하다”고 말했다.(1994년까지 이 정리는 컴퓨터로 증명되지 않았다.)

1912년 포잉가 라이가 세상을 떠났다. 세계 수학의 중심은 괴팅겐을 향해 더욱 이동했고, 수학 세계는 다시 원이 된 것 같지만 원의 중심은 괴팅겐으로 대체되었습니다. 이때 괴팅겐학파의 명성은 최고조에 달했고, 젊은 수학자 사이에서 유행했던 슬로건은 "장비를 챙겨 괴팅겐으로 가라!"였습니다.

한 세기가 지났고 힐베르트의 반쯤 나열된 23개 문제 중 대부분이 해결되었으며 나머지 절반은 대부분 상당한 진전을 이루었습니다. 그러나 힐베르트 자신은 그 중 어느 것도 해결하지 못했습니다. 누군가 그에게 페르마의 마지막 정리와 같이 자신이 제기한 문제를 왜 풀지 않느냐고 물었습니다.

페르마는 페이지 여백에 정리를 적었고, 자신도 훌륭한 증거를 생각해냈다고 주장했지만 안타깝게도 그것을 쓸 만큼 여백이 넓지 않았습니다. 힐베르트의 대답도 마찬가지로 유머러스했습니다: "나는 황금알만 낳는 이 암탉을 죽이고 싶지 않습니다." - 독일의 한 기업가는 페르마의 법칙을 최초로 푼 사람에게 상을 주기 위해 재단을 설립했습니다. 당시 재단의 회장은 다음과 같은 방법을 사용했습니다. 그래서 그에게 페르마의 법칙은 황금알만 낳는 암탉과도 같았다. (페르마의 대법칙은 1997년까지 풀리지 않았습니다.)

23개 문제를 나열하기 전에 힐베르트는 이미 국제 수학계에서 인정받는 리더였으며 수학의 여러 분야에서 중요한 결과를 많이 얻었습니다. 그의 공리적 아이디어, 형식주의 개념, "기하학 기초" 등과 같은 그의 다른 공헌은 모두 20세기 수학 발전에 심오한 영향을 미쳤습니다.

1 21세기 7대 수학 문제

21세기 7대 수학 문제

최근 2000년 매사추세츠에 있는 클레이 수학 연구소(Clay Institute of Mathematics)는 , USA 5월 24일, 언론의 뜨거운 관심을 끌었던 주요 행사가 파리 콜레주 드 프랑스에서 발표되었습니다. 바로 7개의 "천년 된 수학 문제"에 대해 각각 100만 달러의 상금이 수여된다는 것이었습니다. 다음은 이 7가지 퍼즐에 대한 간략한 소개입니다.

'천수자 문제' 중 하나: P(다항식 알고리즘) 문제 대 NP(비다항식 알고리즘) 문제

토요일 밤에 당신은 성대한 파티에 참석했습니다. 불안한 마음에 혹시 이 홀에 혹시 아는 사람이 있는지 궁금합니다. 호스트는 디저트 접시 근처 구석에 있는 로즈 부인을 꼭 알아야 한다고 제안합니다. 당신은 그곳을 힐끗 보고 당신의 주인이 옳았다는 것을 확인하는 데 1초도 걸리지 않습니다. 하지만 그런 힌트가 없다면 홀을 둘러보면서 아는 사람이 있는지 한 명씩 조사해야 합니다. 문제에 대한 솔루션을 생성하는 것은 일반적으로 주어진 솔루션을 검증하는 것보다 훨씬 더 많은 시간이 걸립니다. 이것이 일반적인 현상의 예입니다. 마찬가지로, 누군가가 13,717,421이라는 숫자가 두 개의 작은 숫자의 곱으로 쓰여질 수 있다고 말한다면, 당신은 그를 믿어야 할지 말지 알 수 없을 것입니다. 그러나 그가 그것이 3803에서 3607로 인수분해될 수 있다고 말한다면, 소형 계산기를 사용하여 이것이 정확한지 쉽게 확인할 수 있습니다. 우리의 프로그램 작성 능력과 상관없이 내부 지식을 사용하여 답을 신속하게 확인할 수 있는지 또는 그러한 힌트가 없어 해결하는 데 많은 시간이 걸리는지 여부를 결정하는 것은 논리 및 컴퓨터 분야에서 가장 뛰어난 문제 중 하나로 간주됩니다. 과학. 1971년 스티븐 쿡이 이렇게 말했습니다.

"천자 문제" 2부: 호지 추측

20세기 수학자들은 복잡한 물체의 모양을 연구하기 위한 강력한 방법을 발견했습니다. 기본 아이디어는 크기가 증가하는 단순한 기하학적 빌딩 블록을 함께 접착하여 주어진 물체의 모양을 어느 정도까지 형성할 수 있는지 묻는 것입니다.

이 기술은 다양한 방식으로 일반화될 수 있을 정도로 매우 유용해졌으며, 결국 수학자들이 연구 과정에서 접하는 다양한 대상을 분류하는 데 큰 성공을 거둘 수 있는 몇 가지 강력한 도구로 이어졌습니다. 불행하게도 이 일반화에서는 프로그램의 기하학적 시작점이 흐려집니다. 어떤 의미에서는 기하학적 해석이 없는 특정 구성 요소를 추가해야 합니다. Hodge 추측은 투영 대수적 다양성이라고 불리는 특히 완벽한 유형의 공간에 대해 Hodge 폐쇄라고 불리는 구성요소는 실제로 대수적 폐쇄라고 불리는 기하학적 구성요소의 (유리 선형) 조합이라고 주장합니다.

'천자 문제'의 3부: 푸앵카레의 추측

사과 표면에 고무줄을 늘이면 사과가 찢어지지 않고 할 수 있습니다. 표면을 떠나도록 놔두고 천천히 움직이며 한 지점으로 줄어들도록 하세요. 반면, 동일한 고무밴드가 타이어 트레드 위에서 적절한 방향으로 늘어나고 수축된다고 상상한다면, 고무벨트나 타이어 트레드가 찢어지지 않고는 어느 정도까지 수축될 수 없습니다. 우리는 사과의 표면이 "단순히 연결되어 있다"고 말하지만, 타이어의 표면은 그렇지 않습니다. 약 100년 전, 푸앵카레는 2차원 구가 본질적으로 단순 연결성으로 특징지어질 수 있다는 것을 이미 알고 있었으며, 3차원 구(4차원 공간에서 원점으로부터 단위 거리에 있는 점들의 집합)의 대응 문제를 제안했습니다. ). 문제는 즉시 믿을 수 없을 만큼 어려워졌고, 그 이후로 수학자들은 이 문제를 해결하기 위해 애썼습니다.

'천자 딜레마' 4번: 리만 가설

어떤 숫자는 두 개의 작은 숫자의 곱으로 표현할 수 없는 특별한 속성을 가지고 있습니다(예: 2, 3, 5,7 등 이러한 숫자를 소수라고 하며 순수 수학과 그 응용 모두에서 중요한 역할을 합니다. 모든 자연수 중에서 이러한 소수의 분포는 어떤 규칙적인 패턴도 따르지 않습니다. 그러나 독일 수학자 리만(1826~1866)은 소수의 빈도가 소위 리만 자이타 함수(Riemann Zeitah function)와 밀접하게 관련되어 있음을 관찰했습니다. z(s$의 동작. 유명한 리만 가설은 방정식 z(s)=0에 대한 모든 의미 있는 해가 직선 위에 있다고 주장합니다. 이는 처음 1,500,000,000개의 해에 대해 검증되었습니다. 모든 해에 대해 이것이 사실임을 증명하십시오.

"천자 문제" 5부: 양밀스의 존재와 질량 격차

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뉴턴의 고전 역학 법칙이 거시적 세계에 적용되는 것과 같은 방식으로 양자 물리학의 법칙이 소립자 세계에 적용됩니다. 약 반세기 전에 Yang Zhenning과 Mills는 양자 물리학이 소립자 사이의 관계를 드러낸다는 사실을 발견했습니다. 물리학과 기하학. 양-밀스 방정식을 기반으로 한 예측은 유럽의 브록헤이븐 연구소와 쓰쿠바 연구소에서 수행된 고에너지 실험에서 확인되었습니다. 특히 무거운 입자를 설명하는 수학적으로 엄격한 방정식은 알려진 해결책이 없으며 "쿼크"에 대한 연구에서 대부분의 물리학자들에 의해 확인되었습니다. 이 문제에서는 물리적으로나 수학적으로나 근본적으로 새로운 아이디어의 도입이 필요합니다.

"천자 문제" 6번: 나비에-스토크스 방정식의 존재와 부드러움

기복이 심한 파도가 호수를 따라 흐르고, 격동적인 공기가 현대 제트기의 비행을 따라갑니다. 비록 이러한 방정식이 기록되어 있기는 하지만 수학자 및 물리학자들은 바람과 난기류 모두를 해결할 수 있다고 확신합니다. 19세기에도 이에 대한 우리의 이해는 여전히 매우 적습니다. - 스톡스 방정식의 미스터리

"천자 문제" No. 7: Birch and Swinnerton-Dyer 추측

수학자들은 x^2+y^2=z^2와 같은 대수 방정식에 대한 모든 정수 해를 특성화하는 문제에 항상 매료되어 왔습니다. 유클리드는 한때 이 방정식에 대한 완전한 해를 제공했지만 더 복잡한 방정식의 경우에는 이 해를 사용했습니다. 실제로 Yu.V. Matiyasevich가 지적했듯이 Hilbert의 열 번째 문제는 해결이 불가능합니다. 즉, 해가 한 점인 경우에는 그러한 방법을 결정하는 일반적인 방법이 없습니다. Abelian 다양성, Behe ​​​​및 Sweineton-Dyer 추측은 유리점 그룹의 크기가 점 s= 1 근처의 행동에서 Zeita 함수 z(s)와 관련이 있다고 주장합니다. 특히, 이 흥미로운 추측은 z(1)이 0과 같으면 무한히 많은 유리점(해)이 있고, 반대로 z(1)이 0과 같지 않으면 유한한 수만 존재한다는 것입니다. 그런 점들 중.