열전도의 수학적 표현

물체 내부의 온도 분포가 하나의 공간 좌표에만 종속되고 온도 분포가 시간에 따라 변하지 않을 경우, 열은 한 온도가 떨어지는 방향으로만 전달되며, 이를 1 차원 안정적 열전도라고 합니다. 이 시점에서 열 전도는 다음 공식으로 설명할 수 있습니다.

여기서 는 열 흐름 밀도, 즉 전송 방향에 수직인 단위 영역 내 x 방향의 열 전송 속도입니다. T 는 온도입니다. X 는 열 전달 방향의 좌표입니다. K 는 열전도율입니다. 이 공식은 Q 가 온도 그라데이션 dT/dx 에 비례하지만 열 흐름 방향은 온도 그라데이션 방향과 반대임을 보여줍니다. 이 법칙은 프랑스 물리학자 푸리에 () 가 1822 년에 처음 제기한 것이기 때문에 푸리에 법칙이라고 불린다. 가장 일반적인 열 전도에서 온도는 시간과 세 개의 공간 좌표에 따라 변하며 열 생성 또는 소비 (예: 반응열) 를 동반합니다. 이 경우 열 전도를 3 차원 비정상 열 전도라고 하며 열 방정식으로 설명할 수 있습니다.

그 중 τ는 시간이다. X, y, z 는 좌표 축입니다. ρ 는 밀도입니다. 일정한 압력 하에서 비열 용량입니다. 열 확산 방정식은 매체의 어느 지점에서든 전도에서 단위 볼륨으로의 순 열 전도율과 단위 볼륨의 열 생성률이 단위 볼륨에 저장된 에너지의 변화율과 같아야 한다는 것을 나타냅니다.

열전도율 k 가 상수인 경우 열 확산 방정식은 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

열 확산 계수라고 하는 텅스텐은 비정상 열전도 과정에서 물체 내부의 온도가 균일한 능력, 즉 열전도율이 높을수록 온도가 균일해지는 속도가 빨라진다는 것을 의미합니다. Q.dot 는 단위 볼륨당 열 발생률입니다. 1 차원 안정적 열전도 계산은 연속적으로 작동하는 가마에서 난로벽을 통과하는 열전달을 예로 들 수 있다. 열은 내벽에서 외벽까지 전달된다. 푸리에 법칙에 따르면 열 흐름은 다음과 같이 얻어진다.

여기서 T 1 및 T2 는 각각 벽의 내부 및 외부 온도입니다. A 는 용광로 벽 면적입니다. L 은 노 벽의 두께입니다. T 1-T2 는 열전달의 원동력입니다. Q 는 열 전달 속도입니다. 전류가 전위차비 저항과 같다는 개념에 따르면 L/kA 는 평평한 벽에 열을 전도하는 열 저항입니다. 열전도도는 열전도율에 비례하기 때문에 열전도율이 높은 재료 (예: 구리, 강철, 흑연 등) 입니다. ) 는 열교환 기에서 열 전달 분리 재료로 사용됩니다. 보온 시설에서는 열전도율이 낮은 재료 (예: 석면 공기) 를 인슐레이션으로 사용합니다.

직렬 열 저항의 개념에 따르면 등벽 다층 평평한 벽 열 유량계의 공식은 다음과 같습니다.

여기서 T 는 가장 내벽의 내부와 가장 외벽의 외부 사이의 온도차이다. N 은 층 수입니다.

불안정한 열 전도의 계산은 재생기 작동 (열 교환기 참조) 과 같이 간헐적이거나 주기적인 경우 열 전도가 불안정합니다. 평면, 상자, 원통 및 구와 같은 단순한 모양의 오브젝트의 경우 일부 초기 조건 및 경계 조건을 공식 (2) 과 결합하여 해석 솔루션을 얻을 수 있지만 일반적으로 얻어지는 솔루션은 매우 복잡하며 무한 수로 표현되는 경우가 많습니다. 응용이 편리하도록 이러한 결과는 종종 그래픽으로 표현된다.

2 차원, 3 차원 등 더 복잡한 열전도의 경우 해석 방법으로 해석하기 어렵다. 일반적으로 수치 방법으로 풀거나 Ansys 또는 Comsol 과 같은 수치 시뮬레이션 소프트웨어를 사용하여 계산할 수 있습니다.