1 1 숫자 5- 보증 5 회전 행렬 공식

임의의 차원의 일반 회전 행렬로 설정합니다. 즉, 두 벡터가 하나의 회전 행렬에 의해 연산된 후 점 곱은 변경되지 않습니다. 회전 행렬의 역행렬은 회전 행렬입니다. 여기 단위 행렬이 있습니다. 행렬은 회전 행렬이며 직교 행렬이고 행렬식은 1 인 경우에만 가능합니다. 직교 행렬의 결정 요인은1입니다. 행렬식이 1 이면 실제 회전 행렬이 아닌 반사 행렬이 포함됩니다. 회전 행렬은 직교 행렬입니다. 열 벡터가 직교 기초를 형성하는 경우, 즉 두 열 벡터 사이의 표준 곱이 0 (직교) 이면 각 열 벡터의 크기는 1 (단위 벡터) 입니다. 모든 회전 벡터는 비대칭 행렬 A 의 지수로 나타낼 수 있습니다. 여기서 지수는 행렬 곱셈이 아닌 테일러 급수로 정의됩니다. 행렬 a 를 회전 발생기라고 합니다. 회전 행렬의 이대수는 그 생성기의 대수이며, 2 차 대칭 행렬의 대수이다. 생성기는 M 의 행렬 로그로 구할 수 있습니다. 이 2 차원 공간을 편집하면 2 차원 공간에서 회전을 단일 각도 θ로 정의할 수 있습니다. 일반적으로 양의 각도는 시계 반대 방향으로 회전하는 것을 의미합니다. 데카르트 좌표의 열 벡터를 원점을 중심으로 시계 반대 방향으로 회전하는 행렬은 다음과 같습니다. COS θ-sin 세타 COS 세타 편집 이 3 차원 공간은 3 차원 공간에서 회전 행렬에 1 과 같은 실제 특성 값이 있습니다. 회전 행렬은 해당 고유 벡터에 대한 회전을 지정합니다 (오일러 회전 정리). 회전 각도가 θ인 경우 회전 행렬의 다른 두 (복합) 고유 값은 exp(iθ) 와 exp(-iθ) 입니다. 3 차원 회전의 추적 수는 1 2cos(θ) 와 같으며 모든 3 차원 회전의 회전 각도를 빠르게 계산하는 데 사용할 수 있습니다. 3 차원 회전 행렬의 생성기는 3 차원 경사 대칭 행렬입니다. 3 차원 경사 대칭 행렬을 지정하는 데 3 개의 실수만 필요하기 때문에 3 차원 회전 행렬을 지정할 수 있는 실수는 3 개뿐입니다. 회전 행렬을 생성하는 간단한 방법은 세 가지 기본 회전 시퀀스로 합성하는 것입니다. 오른손 데카르트 좌표계에서 x 축, y 축 및 z 축의 회전을 각각 롤, 피치 및 요 회전이라고 합니다. 이러한 회전은 축을 중심으로 회전하는 것으로 표시되기 때문에 해당 생성기는 쉽게 표현할 수 있습니다. X 축 기준 회전은 θx 로 정의됩니다. 여기는 롤 각도입니다. Y 축 기준 회전은 θy 로 정의됩니다. 여기는 피치 각도입니다. Z 축 기준 회전은 θz 로 정의됩니다. 여기는 편항각입니다. 비행 역학에서 기호 γ, α 및 β는 일반적으로 롤 각도, 피치 각도 및 요 각에 사용됩니다. 그러나 오일러 각과의 혼동을 피하기 위해 여기에 기호 θx, θy 및 θz 가 사용됩니다. 모든 3D 회전 매트릭스는 이 세 각도 θx, y, θz 로 설명할 수 있으며 회전, 피치 및 요 행렬의 곱으로 나타낼 수 있습니다. 회전 그룹 SO(3) 는 회전 행렬 in 의 모든 회전 세트에 복합 연산을 추가하여 형성됩니다. 여기서 설명한 매트릭스는 이 그룹의 그룹 표현을 제공합니다. 더 높은 차원의 경우 기븐스 회전을 참조하십시오. 각도 축 표현 및 쿼터니언 표현 3D 에서 회전은 단일 회전 각도 θ와 그 주위의 단위 벡터 방향으로 정의할 수 있습니다. 이 회전은 단순히 생성기로 표시할 수 있습니다. 벡터 R 에서 연산할 때 Rodrigues 회전 공식과 같습니다. 모서리 축 표현은 쿼터니온 표현과 밀접한 관련이 있습니다. 축 및 각도에 따라 쿼터니언을 정규화된 쿼터니언 Q 로 지정할 수 있습니다. 여기서 I, J, K 는 Q 의 3 개의 가상 부분이고, 오일러 각도는 3 차원 공간에서 회전을 3 개의 오일러 각도 (α, β, γ) 로 정의할 수 있음을 의미합니다. 오일러 각에는 몇 가지 가능한 정의가 있으며, 각 정의는 롤, 피치 및 요 항법의 조합으로 나타낼 수 있습니다. "z-x-z" 의 오일러 각도에 따라 오른손 데카르트 좌표계의 회전 행렬은 곱셈 생성으로 표시할 수 있습니다. 이 회전 행렬은 1 축 회전으로 표시할 수 없으므로 그 생성기는 위 예와 같이 간단히 표현할 수 없습니다. 대칭을 유지하는 SVD 는 회전 축 Q 와 회전 각도 θ를 나타냅니다. 여기서 회전 행렬의 열은 Q 와 직각인 공간을 열고 G 는 θ도의 지븐스 회전입니다.

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