뒤집어라, 수학의 왕-악마의 수학 노트

이번 주에 나는' 수학 사고' 를 주제로 한 사고 훈련 모듈을 계속 읽었다. 위스콘신 대학교 수학 교수인 조던 애륜 버그가 쓴' 악마 수학' 을 정독했다.

수학에 대해 말하자면, 많은 사람들이 연필을 내려놓은 그 오후로 돌아간 것처럼 눈살을 찌푸릴 수 있다. 그들이 데리러 올 때, 이미 수학 선생님의 연기를 이해하지 못하여 정말 초조하고 우울하다. 우리가 학교에서 배운 것은 지루한 규칙, 법칙, 공리일 뿐이다. 우리는 중학교에서 삼각 함수를 배웠고 대학에서 미적분을 배운 적이 있다. 하지만 대부분의 성인들은 일상생활에서 몇 번이나 언더컷 함수나 불확실한 포인트를 사용할 수 있습니까? 그렇다면 우리는 왜 선조들이 물려준 의심할 바 없는 수학을 배워야 하는가?

이' 마귀의 수학' 에서 저자는 복잡한 전문 용어를 버리고 현실 세계의 기이한 일화, 기본 방정식, 간단한 도표로 수학의 매력을 설명하고, 수학의 원리로 생활 문제를 해결하는 기교를 얻는다. 조던? 애륜 버그는 수학이 인류의 가장 중요한 기초 과학 중 하나이며 생활에서 가장 유용한 사고 도구라고 생각한다. 수학은 우리가 세계의 구조와 본질을 더 잘 이해하는 데 도움이 되며, 생각을 가진 모든 사람의 공구함에 넣어야 한다. 특히 현재의 빅 데이터 시대에, 우리는 더 나은 문제를 해결 하 고 오류와 실수를 피하기 위해 수학적 사고의 힘이 필요 합니다.

저자는 책의 시작 부분에서 수학 지식이 네 사분면으로 나눌 수 있는 관점을 제시했는데, 우리는 그 중 한 사분면에만 집중하면 된다.

첫 번째 사분면은 간단하고 소박한 수학 지식이다. 이러한 수학 지식은 비교적 복잡해 보이지만, 이해하기 어려운 것은 사실 매우 간단하다.

두 번째 사분면은 복잡하지만 간단한 수학 지식이다. 이 수학들은 약간의 문제 해결 기교와 더 세심한 주의를 필요로 하지만, 이것들은 여전히 단순한 수학 지식일 뿐이다. 우리는 학교에서 문제 해결 기술을 배우는 데 많은 시간을 보냈지만, 실제로는 수학의 아름다움을 이해하는 데 도움이 되지 않았다. 반대로, 그것은 우리가 수학에 대한 흥미를 잃게 할 수도 있다.

세 번째 사분면은 복잡하고 심오한 수학 지식이다. 이것은 수학 연구에 전문적으로 종사하는 사람들이 관심 있는 영역이다. 이 분야에 들어가려면 어느 정도의 수학적 재능이 필요하며, 또한 열심히 노력하여 일생을 추구해야 한다. 우리 같은 일반인들은 문 앞에서만 힐끗 볼 수 있을 뿐, 안에 있는 신비한 세계가 어떤 것인지 알 수 없을 것이다. (윌리엄 셰익스피어, 햄릿, 믿음명언) 이 방면의 지식은 우리 일반인이 경배할 수 있는 것이다.

가장 배울 만한 것은 네 번째 사분면의 수학 지식, 즉 간단하고 깊은 수학 지식이다. 간단합니다. 왜냐하면 이것은 모두 입문지식이기 때문입니다. 깊이, 이 지식들은 우리의 직관에 어긋나거나, 혹은 우리가 좀 더 자세히 추리해야 하기 때문이다. (존 F. 케네디, 지식명언) 예를 들어 무작위성, 인과성, 회귀성에 대한 이해는 모두 이 범주에 속한다. 여기서 저자는' 소탄공' 의 이야기를 들려준다. 전투기에 장갑을 달아야 한다면 탄공이 밀집된 기체에 넣을까, 아니면 탄공이 적은 엔진에 넣을까? 제 2 차 세계대전 당시 미군 통계연구팀 멤버 아브라함 발드는 장갑을 설치해야 할 곳은 탄공이 많은 기체가 아니라 탄공이 적은 엔진이라고 주장했다. 왜 그럴까요? 먼저 이론적 가설을 하나 말하다. 이론적으로, 비행기의 각 부위에서 총에 맞을 확률은 동일해야 한다. 그렇다면 왜 귀항기 기체에 탄공이 엔진보다 많을까요? 다른 말로 하자면, 원래 엔진에 있어야 했던 탄공은 어디에 있었을까? 월드는 모든 엔진이 맞은 비행기가 추락했기 때문이라고 생각한다. 돌아오는 비행기는 기체에 총알 구멍이 많이 남아 있지만 타격을 견딜 수 있어 안전하게 귀항할 수 있다. 예를 들어, 우리가 야전병원에 가서 부상자를 세어 보면, 다리에 총을 맞은 병사들이 뇌에 총을 맞은 병사보다 더 많을 것이다. (존 F. 케네디, 전쟁명언) 뇌에 총을 맞은 병사는 거의 살아남지 못하고 다리에 총을 맞은 병사는 생존할 확률이 더 높다. 이것은 소위' 생존자 편견' 이다. 즉, 우리는 생존자만 보았지만, 이미 실패한 사람들은 보지 못했다.

그래서 이 책의 중점은 일상생활에서 네 번째 사분면 수학을 어떻게 활용해 문제를 분석하고 해결할 수 있는지를 소개하는 것이다. 작가는 즐거움의 사례와 방법을 가르쳐 수학과 관련된 다섯 가지 개념, 즉 선형, 추리, 귀환, 존재, 기대를 다시 이해하는 데 도움을 주었다.

미래를 예측하는 가장 좋은 방법은 확실성으로 시작하는 것이다. 경제학자들은 종종 예측을해야합니다. 경제학자들이 가장 좋아하는 일은 예측이지만, 가장 잘하지 못하는 것은 예측이라는 우스갯소리가 있다. 단기 또는 장기 예측은 비교적 쉽지만 가장 어려운 것은 중기 예측이다.

가장 간단한 방법은 선형 외삽 방법이기 때문에 단기 및 장기 예측 시 더 큰 확실성을 가질 수 있습니다. 선형 외삽 법은 오늘 일어난 일이 내일 또 발생한다는 것을 의미한다. 현실 세계에는 확실히 많은 선형 변화나 선형 변화와 비슷한 현상이 있다. 예를 들어 인구의 고령화, 정보의 증가, 중국의 산업화와 도시화는 되돌릴 수 없는 발전이다. 선형 추세에서, 우리는 또한 딱딱한 추세와 부드러운 추세를 구분할 수 있다. 하드 트렌드는 측정하거나 감지 할 수있는 추세입니다. 소프트 트렌드는 당신이 보고 예측하는 것 같은 추측이다. 예를 들어, 제 2 차 세계 대전이 끝난 후 많은 미군 병사들이 귀국하여 베이비붐이 발생했기 때문에 인구 데이터는 우리가 보고 예측할 수 있는 딱딱한 추세입니다. 그러나 전후 상업 주문이 일시적으로 감소하고 경제가 쇠퇴할 것이라고 생각했지만, 예상되는 경기 침체는 일어나지 않았다. 이는 더욱 예측하기 어려운 소프트 추세다.

상대적으로 단기 및 장기 기술적 난이도는 비교적 적고 중기 예측은 비교적 복잡하다. 의외로 중기에는 더 많은 파동이 있을 수 있는데, 이런 파동의 전환점 예측은 예측하기 어렵다. 예를 들어 주식시장에 거품이 있다는 것을 알면서도 거품이 언제 깨질지는 예측하기 어렵다. 주가가 저평가되었다는 것을 알면서도 언제 반등할지 예측하기 어렵다.

따라서 중기 추세를 예측할 때는 반드시 신중해야 한다. 중기 추세를 예측할 때 소음이 더 많고 법칙이 더 복잡하다. 우리는 변동과 주기를 만날 것이다. 따라서 선형 추세가 가장 간단하고 직관적이지만 모든 현상이 선형 인 것은 아니라는 점을 상기시켜야합니다. 선형 추세를 맹목적으로 적용하면 때때로 매우 터무니없는 결론을 내리기도 한다.

또 다른 예를 들어 보겠습니다. 최근 트럼프의 감세 정책을 논의할 때 언론은 라버 곡선을 자주 언급한다. 납곡선은 세율이 높아지면서 처음에는 세금이 늘어나지만 세율이 너무 높으면 사람들의 업무 적극성에 영향을 주고 세율이 낮아지지만 세금은 줄어든다고 말했다. 러버 곡선이 맞나요? 수학적으로, 러버 곡선이 옳을 수도 있다. 라프 곡선은 세율과 세금 사이의 관계가 선형이 아니라고 지적했다. 상식적으로 세율과 업무 의지의 관계를 해석하는 것은 합리적인 것 같다. 그런데 왜 대부분의 경제학자들은 라버 곡선에 대해 코웃음을 쳤을까요?

러버 곡선에는 견고한 이론적 기반이 부족하기 때문이다. 우선, 세율이 반드시 정부 세금을 결정하는 가장 중요한 요소는 아니다. 세금을 늘리는 더 유용한 방법은 세금 효율을 높이는 것일 수 있다. 그리고 세금 감면 후 사람들의 업무 적극성이 반드시 높아지는 것은 아니다. 결국 사람의 업무 적극성에 영향을 미치는 요소는 매우 복잡하다. 우리의 업무 적극성을 결정하는 요인은 두 가지가 있는데, 하나는 기초적 요소이고, 하나는 동기적 요인이다. 금전소득은 도전, 정체성, 책임감, 개인적 성장을 포함한 기본적인 요소일 뿐이다.

대부분의 경제학자들은 라버 곡선의 모양이 잘못되었다고 말하는 것이 아니라 세금 개혁을 보는 것이 단순히 사물을 사용할 수 없다고 말한다. 현재 미국의 고소득 세율은 20 세기의 대부분 시간보다 훨씬 낮다. 즉, 미국이 현재 라버 곡선의 하행 지역에 있다고 생각하는 경제학자들은 거의 없다.

트럼프 감세의 효과를 단순히 평가한다면 트럼프 감세가 미국 경제에 미치는 영향은 일부 친구들이 생각하는 것만큼 크지 않을 수 있다. 우선 트럼프의 감세 정책은 미국 경제가 상대적으로 침체되었을 때가 아니다. 경제학은 경제가 불황일 때만 감세가 경제 성장에 미치는 자극작용이 더 두드러진다고 우리에게 말한다. 둘째, 트럼프의 감세 정책은 분명히' 빈부 약탈' 의 색채를 띠고 있다. 이것은 미국의 빈부 격차를 악화시키고, 이미 찢어진 미국 사회를 더욱 분열시킬 것이다. 셋째, 정부 지출을 줄이지 않고 세금을 감면하면 미국 채무 압력이 커질 가능성이 높다.

미국은 감세를 통해 다국적 기업의 해외 이윤을 환류했다. 자본 유출 압력, 인민폐의 평가절하 통로 복귀, 수동적 감세 압력, 자산가격 거품이 수동적으로 수축할 수 있는데, 중국은 얼마나 더 독선할 수 있을까? 이번에는 너무 많이 말하지 않고, 뒤에서' 대국게임' 에 대한 읽기 모듈 부분에서 (충전하고 공유하도록 허락하고, 얼굴을 가리는 hhh) 에 대해 이야기할 것이다.

어느 날, 갑자기 볼티모어 주식 중개인으로부터 일주일 후에 상승하겠다고 약속한 주식을 추천하는 이메일을 받았는데, 당신은 아랑곳하지 않았다. (윌리엄 셰익스피어, 햄릿, 희망명언) 앞으로 10 주 동안 그는 매주 신주 한 마리를 추천했는데, 너는 그가 예측한 주식이 모두 올랐다는 것을 알고 놀랐다. 그럼, 열한 번째 주에 당신은 그의 주식을 살 수 있습니까? 이것은 유명한 볼티모어 주식 중개인의 이야기이다. 그러나, 당신은 신기하고 심지어 기적이라고 느낄 수 있다. 볼티모어의 주식 중개인은 주식의 상승과 하락을 10 회 연속 추측했지만, 이것은 배후에 확률을 숨긴 사기였다. 방법을 알면 주식시장 바보도 쉽게 실현될 수 있다. 받는 사람이 한 명도 아니기 때문이다. 첫 주에는 10240 개의 메일만 보내면 되고, 받는 사람의 절반은 주식 상승을 예측하고, 나머지 절반은 반대 예측을 하면 됩니다. 다음 주에는 후속 수신자가 메일을 받지 않고 나머지 5 120 명은 두 배치로 나머지 절반씩 예측 점수의 메일을 받게 됩니다. 10 주까지는 10 명만 10 주 연속 정확한 예측 메일을 받게 된다. 어떻게 생각하세요? 그래서 우리는 수학적 추론을 할 때 이 이야기를 경계로 삼아야 한다. 빅데이터 분석에서는 반드시 조심해야 한다. 이차 방정식의 뿌리가 하나 이상 있을 수 있고, 같은 관찰 결과가 많은 이론을 만들어 낼 수 있다. 우리를 잘못된 길로 인도한 것은 일의 진실이 아니라 추리할 때 일부 가설에 대한 누락이다.

"추론" 장은 또한 "0 가설" 과 "중요도 검사" 라는 두 가지 흥미로운 개념을 언급했다.

0 가정은 효과가 없다고 가정하거나, 전혀 효과가 없다고 가정하거나, 연관성이 없다고 가정한다. 우리는 연구를 하고, 0 가설로 시작하고, 실험을 하거나, 데이터를 수집하여 0 가설을 뒤집을 수 있는지 확인해야 한다. 어떻게 0 가설을 뒤집을 수 있습니까? 이것은 중요한 검사가 필요한데, 이것은 사실 모호한 귀류법이다.

귀류법의 사상은 명제가 정확하지 않다는 것을 증명하기 위해 먼저 명제가 진실이라고 가정한 다음 어떤 결론을 도출할 수 있는지 알아보는 것이다. (존 F. 케네디, 명제, 명제, 명제, 명제, 명제, 명제, 명제) 만약 이 결론이 명백히 틀렸다면, 가설은 위선명제이다. 즉, 우리는 h 가 사실이라고 가정합니다. H 에 따르면 사실 F 는 성립되지 않지만 F 는 성립되기 때문에 H 는 성립되지 않는다. 그러나 대부분의 연구에서, 우리는 이렇게 확실한 결론을 내릴 수 없기 때문에, 중요도 검사가 나타났다.

우리는 H 가 진실이라고 가정하고 H 에 따라 O 의 결과를 얻을 가능성은 매우 적어야 한다. 불행히도, 우리는 사건 O 가 발생한 것을 보았기 때문에 H 가 성립될 가능성은 매우 적다. 예를 들어, 우리는 S 씨가 적극적이고 진지하게 일한다고 가정합니다. 만약 그가 적극적이고 열심히 일한다면, 출근시간에 그가 왕자영요 칠 확률이 매우 낮다는 것을 알게 될 것이다. 그러나, 우리는 이 사람이 확실히 중요한 회의가 있다는 것을 발견했고, 그는 여전히 왕자영요 경기를 하고 있다. 그게 무슨 뜻이에요? 우리의 원래 가설을 설명하십시오. 즉, 그의 적극적이고 진지한 가설은 틀릴 가능성이 높습니다.

따라서 중요도 테스트는 네 단계로 나눌 수 있습니다.

1, 실험을 시작합니다. 0 가설이 성립되었다고 가정합니다. 3. 실험 결과에서 사건 O 가 발생할 확률을 관찰하여 P 값이라고 부른다. P 값은 0 가설의 가능성을 반영합니다. 4. P 값이 작으면 실험 결과가 0 가설을 만족시킬 가능성이 희박하다고 생각합니다. 너는 이런 귀류법을 통해 판단할 수 있는데, 네가 원래 검사하고 싶었던 추측은 통계적 중요도를 가지고 있다. 만약 P 값이 매우 크다면, 우리는 0 가설이 전복되지 않았다는 것을 인정할 수 밖에 없다.

물론, 중요도 검사에도 주의가 필요한 잠재적 함정이 있습니다.

1 과 p 값이 얼마나 작습니까? 현저하고 중요하지 않은 사이에는 명확한 경계가 없다.

2, 우리는 한 가지 요인이 영향을 미칠 것이라고 가정할 수 없다. 만약 우리가 영향력 있는 결론을 너무 많이 내고 싶다면, 우리는 실험을 조작할 수 있을 것이다.

3.' 의미' 를 오해하지 마세요. 많은 과학 용어들이 오도성을 가지고 있는데, salience 라는 단어가 대표적인 예이다. "중요도" 와 "유효성" 의 차이를 구분해야 한다.

연구에 따르면 키 큰 부모가 키 큰 아이를 낳을 확률은 100% 가 아닌 것으로 나타났다. 사실 부모와 아이의 키는 모두 회귀 효과의 영향을 받는다. 시간 세로 축에서 영향을 받는 무작위의 모든 것이 이 법칙을 따른다. 데이터가 충분히 크면 인간의 키 또는 IQ 가 평균화되는 경향이 있는데, 이것이 바로 모두가 잘 아는' 대수법칙' 이다. 밤과 같은 대형 병원의 동성아기 연간 출산율은 작은 병원보다 50% 에 가깝다. 어떻게 생각하세요?

소수가 다수에 복종하는 원칙은 간단하고 공평해 보이지만, 두 가지 관점이 관련되어 있을 때만 최상의 결과를 얻을 수 있다. 두 가지 이상의 관점이 있는 한, 대다수의 선호는 모순될 것이다. 그래서 민의는 전혀 존재하지 않는다고 할 수 있다. 더 정확히 말하자면, 대다수의 사람들이 동의해야만 민의가 존재할 수 있다. 만약 우리가 논리에 따라 행동한다면, 우리는 왕왕 대다수 사람들의 의견을 위반해야 한다. 정치인들에게 일관되지 않은 민의를 합리적으로 이용하는 것은 단지 대다수의 사람들을 만족시키기 위해서이다. 이것이 그들의 책임이다.

복권의 구매 가치와 당첨 가치는 다르다. 구매 가치는 복권 한 장을 사는 데 드는 금액이고, 당첨가치는 확률론을 도입한 후 복권의 진정한 가치이다. 우리는 기대치로 표현할 수 있다. 복권의 예상 가치는 구매가치보다 낮아야만 구매할 가치가 없다. 구매가치보다 높으면, 당신의 구매금액이 일정 금액에 도달하면 복권은 구매할 가치가 있습니다.

수학적 사고는 사실 우리의 본능 중 하나이며, 그것은 실제로 언어와 하나의 근원이다. 우리 조상들은 과거에 나무에 살았는데, 종종 한 나뭇가지에서 다른 나뭇가지로 뛰어내려야 했다. 그들은 좋은 3 차원 공간감이 필요하다. 그들이 열린 초원에 도착했을 때, 거리를 판단해야 하는데, 이것은 2 차원 공간감이 필요하다. 생활환경이 점점 복잡해지면서 우리 조상들은 인과관계를 판단하는 의식을 갖기 시작했다. 그런데 왜 자연의 수학적 사고가 우리의 일상적인 사고에 경화되지 않았을까요? 왜 우리 대부분은 여전히 수학이 너무 어렵다고 생각합니까? 여기서 핵심은 추상화입니다.

추상화는 수학 도구상자에서 가장 강력한 도구이다. 수학자는 기회가 있을 때마다 추상화를 시도한다. 결국 그들은 현실 세계를 완전히 잊고 추상적인 정의와 개념에 집중할 것이다. 그래서 저자는 아이가 수학 공부를 포기하기 시작하는 두 순간이 있는데, 하나는 접촉 점수이고, 하나는 대수학을 배울 때, 이것은 두 단계의 추상적인 과정이라고 말할 것이다. 추상화는 네 가지 단계로 나눌 수 있다. 보는 것은 진실이고, 생각하는 것은 믿지만, 보는 것은 믿지 않는다. 생각하는 것은 믿지 않는다. 마지막으로,' 사공' 은 수학적 사고의 계층이다. 수학 대상은 완전히 추상적이며 현실 세계와 간단하거나 직접적인 연관이 없다. 수학은 추상화 위의 추상적인 수준이다. 예를 들어, 우리는 더하기, 빼기, 더하기, 빼기, 더하기, 빼기, 더하기, 빼기, 빼기, 결합, 곱셈, 기하학, 함수, 집합, 행렬에 접촉합니다. 만약 우리가 수학을 공부한다면, 그룹이 언제 교환률을 만족시킬 수 있는지 고려할 것이다. 수학의 본질은 일치한다. 이것은 패턴에 관한 과학이다. 어떤 패턴은 비교적 간단하고, 어떤 패턴은 비교적 복잡하다. 복잡한 패턴은 패턴의 패턴일 뿐, 심지어 패턴의 패턴일 뿐이기 때문에 우리는 혼란스러워지기 시작했다. 우리는 수학을 레고 블록으로 만든 웅장한 건물로 상상할 수 있다. 복잡해 보이지만 자세히 보면 간단한 모듈로 조립된 것을 알 수 있습니다. 수학의 본질은 단순한 것이 복잡하다는 것이고, 복잡한 것은 사실 간단하다. 이것은 다시 이 책의 주제로 돌아갔는데, 왜 간단하고 깊은 수학 지식을 배워야 하는가?

라버 곡선을 보면 세율과 정부의 관계를 이해할 수 있다. 선형 중심주의를 알아야만' 비례 변환' 이 이렇게 터무니없다는 것을 알 수 있다. "많은 수의 법칙" 은 무자비한 손이다. 접시보다 큰 원형 차트' 는' 진실하지만 정확하지 않다' 는 숫자 착오를 반영한다. 이런 수학 상식은 수학이 나타나는 상황에 주의를 기울여야 한다는 것을 알려준다. 부수적인 상황이 없다면 수학은 당신의 도구, 정치 투표, 시장 데이터, 이익 보고가 될 것이다. 이것은, 그들은 종종 번거롭고 겹치는 숫자에 싸여 있다. 그것들을 깨뜨릴 수 있는 것은 수학적 사고에서 배양된 통찰력이다. 이것이 작가가 원하는 것이다.

이상.