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수학적 확률에 관한 몇 가지 질문
(a) 두 가지 기본 원칙은 배치와 조합의 기초입니다.
(1) 덧셈 원리: 한 가지 일을 하는 데는 N 가지 방법이 있어 완성한다. 첫 번째 방법에는 m 1 이 있고, 두 번째 방법에는 m2 가지 다른 방법이 있으며 ... n 가지 방법 중 Mn 가지 방법이 있으므로 n = m1+mm 이 있습니다 ...
(2) 곱셈 원리: 한 가지 일을 하려면 n 단계로 나누어야 한다. 첫 번째 단계는 m 1 종류가 다르고, 두 번째 단계는 m2 가지 방법이 있습니다 ..., N 단계에는 Mn 가지 방법이 있으므로 N = M1× M2 × M3 × ... × MN 종류가 다릅니다.
여기서 우리는 이 두 가지 원칙을 구분하는 데 주의해야 한다. 한 가지 일을 하는데, 만약 N 가지 방법으로 완성할 수 있다면, 그것은 분류 문제이다. 첫 번째 유형의 방법은 독립적이므로 추가 원리를 사용합니다. 한 가지 일을 하려면 N 단계로 나누어야 하고, 단계는 연속적이다. 몇 가지 상호 연관된 단계를 연속적으로 완료해야 완성할 수 있기 때문에 곱셈 원리를 운용할 수 있다.
이런 식으로 한 가지 일을 완성하는' 클래스' 와' 단계' 는 본질적인 차이가 있기 때문에 두 원칙 역시 차이가 있다.
(2) 준비 및 약정의 수
(1) 정렬: N 개의 서로 다른 요소에서 임의의 m(m≤n) 개의 요소를 가져와 n 개의 서로 다른 요소 중 M 개의 요소 배열이라고 하는 순서로 정렬합니다.
정렬의 의미에서 우리는 두 배열이 같으면 두 배열의 요소가 정확히 같아야 할 뿐만 아니라 정렬의 순서도 정확히 같아야 한다는 것을 알고 있습니다. 따라서 두 배열이 같은지 여부를 판단하는 방법을 알 수 있습니다. (데이비드 아셀, Northern Exposure (미국 TV 드라마), 배열명언)
(2) 배열 수 공식: N 개의 다른 요소에서 m(m≤n) 개 요소의 모든 정렬을 제거합니다.
M = n 이면 완전 변위 PNN = n (n-1) (n-1) ... 3.2.1= n 입니다
(c) 조합 및 조합 수
(1) 조합: N 개의 서로 다른 요소에서 임의의 m(m≤n) 개의 요소를 조합하여 N 개의 서로 다른 요소에서 M 개의 요소를 꺼내는 조합이라고 합니다.
조합의 정의에서 두 조합의 요소가 정확히 같으면 요소의 순서에 관계없이 동일한 조합이 됩니다. 두 조합의 요소가 정확히 동일하지 않은 경우에만 서로 다른 조합이 됩니다.
(2) 조합 수: N 개의 다른 요소에서 m(m≤n) 개 요소의 모든 조합을 제거합니다.
여기서는 배열과 조합의 차이와 연결에 주의해야 한다. N 개의 서로 다른 요소 중에서 임의의 m(m≤n) 개의 요소를 취하여 "일정한 순서로 한 열로 정렬" 과 "임의의 순서로 그룹화" 는 본질적인 차이가 있다.
1. 부품 배열 및 조립은 중학교 수학의 어려움 중 하나입니다
(1) 다양한 실제 문제에서 몇 가지 구체적인 수학 모델을 추상화하려면 강한 추상적인 사고 능력이 필요하다.
(2) 제한 조건이 애매한 경우가 있어 문제의 키워드 (특히 논리 관련 단어와 양어) 를 정확하게 이해해야 하는 경우도 있다.
(3) 계산 방법은 간단하고, 오래된 지식과 연관이 크지 않지만, 정확하고 합리적인 계산 방안을 선택할 때 많은 사고가 필요하다.
(4) 계산 방안이 옳은지 아닌지는 종종 직관적인 방법으로 검증할 수 없다. 이를 위해서는 개념과 원리를 이해하고 분석 능력이 강해야 한다.
두 가지 기본 계산 원리와 그 응용
(1) 더하기 원리 및 분류 계산 방법
1. 덧셈 원리
2. 덧셈 원리의 집합 형태
3. 분류 요구사항
각 클래스의 각 메서드는 이 작업을 독립적으로 수행할 수 있습니다. 두 가지 다른 방법 중 구체적인 방법은 서로 다릅니다 (즉, 분류가 무겁지 않음). 이 임무를 완수하는 모든 방법은 어떤 부류에 속한다 (즉, 분류가 새지 않는다)
(2) 곱셈 원리와 단계 방법.
1. 곱셈 원리
2. 합리적인 단계별 요구 사항
어떤 단계에서도 이 임무를 완성할 수 없고, 이 N 단계를 연속적으로 완성해야만 이 임무를 완성할 수 있다. 각 단계는 서로 독립적입니다. 한 단계에서 채택된 방법이 다르면 이를 완성하는 방법도 다르다.
[사례 분석] 조합 사고 방법 선택 강의 정렬
1. 우선 임무의 의미를 명확히 한다.
예제 1. 1, 2, 3, ... 및 20 에서 등차 열을 구성하는데, 이렇게 다른 등차 열은 _ _ _ _ _ _ 입니다.
해결: 우선 복잡한 생활배경이나 기타 수학 배경을 명확한 배열조합 문제로 바꿔야 한다.
A, B, C 는 동등하고, ≈ 2B = A+C, 우리는 B 가 A, C 에 의해 결정된다는 것을 알고 있다.
그리고 ∵ 2b 는 짝수이고, ∳ a, c 는 홀수나 짝수이다. 즉 1, 3,5 의 10 개 숫자 중에서 두 숫자를 선택한다 ..., 19 또는 2,4,6
예 2. 한 도시에는 네 개의 물건이 거리로 향하고, 여섯 개의 남북이 거리로 향하고 있으며, 거리는 그림과 같이 간격이 같다. 만약 규정이 그림의 노선의 두 방향으로만 갈 수 있다면, M 에서 N 까지 몇 가지 다른 방법이 있습니까?
분석: 실제 배경에 대한 분석은 레이어별로 심도 있게 진행될 수 있습니다.
(1) M 에서 N 까지 3 보, 오른쪽으로 5 보, 총 8 보 올라가야 합니다.
(2) 각 단계가 상향인지 정확한지에 따라 다른 길을 결정합니다.
(3) 사실 위쪽 단계가 결정되면 나머지 몇 단계는 오른쪽으로만 이동할 수 있습니다.
따라서 작업은 다음과 같이 설명 할 수 있습니다. 8 단계에서 위로 올라갈 3 단계를 선택하면 단계 수를 결정할 수 있습니다.
이 질문에 대한 답은 =56 입니다.
2. 덧셈 원리와 곱셈 원리의 특징에 주의하여 분류 또는 단계별, 배열 또는 조합인지 분석합니다.
예 3. 10/0 밭고랑의 병립밭에서 두 밭고랑을 각각 A, B 두 가지 작물을 골라 각각 한 밭고랑을 심었다. 작물 성장에 도움이 되도록 갑, 을 작물 간격이 6 밭고랑 이상이고 _ _ _ _
해결:' 갑, 을 작물 간격이 6 밭고랑보다 작지 않다' 는 조건은 행 수와 조합 수를 포함하는 공식으로 쉽게 표현할 수 없기 때문에 분류 방법을 채택한다.
첫 번째 범주: 첫 번째 능선에서 a, b 에는 세 가지 옵션이 있습니다.
두 번째 범주: 두 번째 능선에서 a, b 에는 두 가지 옵션이 있습니다.
세 번째 범주: 세 번째 능선에서 a, b 는 선택의 여지가 있습니다.
마찬가지로 A 와 B 의 위치는 총 12 로 교환됩니다.
예 4. 6 개의 다른 색상의 장갑 중에서 4 쌍의 장갑을 선택하는데, 그 중 한 쌍의 같은 색상의 장갑은 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 입니다.
240 (b)180 (c)120 (d) 60
분석: 분명히 이 문제는 점진적으로 해결해야 한다.
(1) 6 쌍 중에서 같은 색깔의 장갑 한 켤레를 선택할 수 있는 방법이 있습니다.
(2) 한 가지 방법은 나머지 10 개의 장갑 중 하나를 선택하는 것이다.
(3) 위에서 언급한 장갑 두 켤레 외에 8 쌍의 장갑 중 하나를 선택할 수 있는 방법이 있다.
(4) 선택은 순서와 무관하기 때문에 (2) 와 (3) 의 선택 방법을 한 번 반복하기 때문에 240 가지가 있습니다.
예 5. 키가 다른 6 명이 2 열 3 열로 줄을 섰고, 첫 번째 줄의 모든 사람이 같은 열 뒤의 사람보다 작기 때문에, 모든 다른 배열의 수는 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.
분석: 열당 두 명만 고르면 한 가지 방법이 있기 때문에 열당 줄을 서는 방법은 사람의 선택 방법에만 관련이 있다. 세 개의 열이 있어서 90 종류입니다.
예 6. 1 1 노동자 중 5 명은 자물쇠 장인일 수 있고, 4 명은 자동차 노동자일 수 있고, 나머지 2 명은 자물쇠 장인과 자동차 노동자가 될 수 있다. 현재 1 1 중에서 4 명을 클램프로, 4 명을 차량공으로 선정하고 있습니다. 몇 가지 다른 선택 방법이 있습니까?
해석: 덧셈 원리를 채택하려면 우선 무게를 측정하지 않고 누출되지 않도록 해야 한다. 어떻게 그렇게 할 수 있을까요? 분류 기준은 반드시 일치해야 한다.
두 명의 전능공을 분류 대상으로 하여, 그 중 몇 가지가 자물쇠 장인을 분류 기준으로 삼는 것을 고려하다.
첫 번째 범주: 이 두 사람은 자물쇠 장인이 되어야 하고, 알이 있어야 한다.
두 번째 범주: 이 두 사람 중 한 명은 클램프를 해야 하고 씨앗이 있다.
세 번째 범주: 둘 다 강요하지는 않지만 공이 있습니다.
그래서 185 종류가 있습니다.
예 7. 0, L, 3, 5, 7, 9 가 찍힌 6 장의 카드가 있습니다. 9 를 6 으로 허용하면 무작위로 세 장의 카드를 뽑아서 몇 개의 다른 세 자리를 형성할 수 있습니까?
해결: 일부 학생들은 0, L, 3, 5, 7, 9 의 배열수에 2 를 곱하는 것이 요구라고 생각하지만, 실제로 3 개 중 9 개가 있다면 6 으로 대체할 수 있으므로 반드시 분류해야 한다.
추출 된 세 숫자는 0 과 9 를 포함하며 도로가 있습니다.
추출 된 세 개의 숫자에는 0 이 포함되어 있으며 9 가 포함되어 있지 않습니다. 방법이 있습니다.
추출 된 3 개의 숫자에는 9 가 포함되어 있으며 0 이 포함되어 있지 않습니다. 방법이 있습니다.
추출된 세 개의 숫자에는 9 도 0 도 포함되지 않습니다. 한 가지 방법이 있다.
그리고 숫자 9 는 6 으로 쓸 수 있기 때문에 두 가지 × (+)+= 144 방법이 있습니다.
예 8. 주차장에 12 의 좌석이 있습니다. 오늘 8 대의 차를 세워야 하는데, 빈 공간은 서로 연결해야 한다. 다른 주차 방법은 _ _ _ _ _ _ _ _ 입니다.
해석: 빈 주차 공간을 하나의 요소로 간주하고 9 개 요소 중 8 대의 차로 배열하면 총 3 가지 주차 방법이 있습니다.
특수 요소에 우선 순위를 부여해야합니다. 특수 위치, 우선 순위
예 9. 여섯 명이 일렬로 서서 구걸하다.
(1)A 가 머리 b 에 없는 배열 수.
(2)A 는 머리에 없고, B 는 끝에 있지 않고, A 와 B 는 인접하지 않은 줄 수입니다.
분석: (1) 먼저 머리와 꼬리를 고려하지만, 이 두 가지 요구 사항은 서로 영향을 미치기 때문에 분류를 고려합니다.
첫 번째 범주: b 는 바람과 파도의 끝에 있으며 설 길이 있습니다.
두 번째 범주: B 는 앞줄에 없고, 물론 뒷줄에도 있을 수 없기 때문에 서 있는 방법이 있습니다.
총+종역법.
(2) 첫 번째 카테고리: a 는 끝에 있고 b 는 머리에 있습니다. 한 가지 방법이 있다.
두 번째 범주: a 는 줄 끝에 있고 b 는 머리 위에 있지 않습니다. 한 가지 방법이 있다.
세 번째 범주: b 는 개척자이고 a 는 개척자가 아닙니다. 한 가지 방법이 있다.
카테고리 4: a 는 꼬리가 없고, b 는 머리가 없다. 한 가지 방법이 있다.
총 +2+=3 12 종.
예제 10. 한 제품의 6 개의 다른 정품과 4 개의 다른 불량품을 하나씩 테스트하여 모든 불량품이 확인될 때까지 테스트합니다. 만약 다섯 번째 테스트에서 모든 불량품을 발견한다면, 이런 테스트 방법은 얼마나 가능합니까?
해결: 이 문제는 다섯 번째 테스트된 제품이 결함도 있고 마지막인 것이 분명하기 때문에 다섯 번째 테스트는 특별한 위치로 단계적으로 완성해야 한다는 뜻입니다. (데이비드 아셀, Northern Exposure (미국 TV 드라마), 도전명언)
첫 번째 단계: 다섯 번째 테스트의 가능성이 있습니다.
2 단계: 처음 네 번은 정품이 있습니다.
세 번째 단계: 처음 네 번은 가능합니다.
≈: 세 가지 가능성이 있습니다.
4. 바인딩 및 삽입
예제 1 1. 8 명이 일렬로 늘어서다.
(1) A 와 b 는 반드시 인접해야 합니다 (2) A 와 b 는 인접하지 않습니다.
(3) 갑, 을은 인접해야 하고, c 는 인접해서는 안 되며 (4) 갑, 을은 인접해야 하고, c 는 인접해야 한다.
(5) 갑은 을측과 인접하지 않고 을측은 정방과 인접하지 않다.
분석: (1) 방법이 있습니다.
(2) 방법이 있다.
(3) 방법이 있다.
(4) 방법이 있다.
(5) 이 문제는 보간하거나 연속 보간할 수 없다.
간접해법: 전부 배열-갑과 인접-을측에 인접-정측에 인접+갑과 정측에 인접 -+= 23040 가지 방법.
예제 12. 누군가가 8 발을 쏘고 4 발을 쏘았는데, 마침 연속 3 발을 쏘았다. 몇 가지 다른 상황이 있습니까?
분석: ∵ 연속 3 발 명중은 단발 명중과 인접해서는 안 되므로, 이것은 공간을 삽입하는 문제이다. 또한, 싸우지 않아도 별 차이가 없으니, 셀 필요가 없다. 즉, 4 개의 빈 총 사이에 형성된 5 ~ 2 개의 공기 배열, 즉.
예제 13. 가로등 10 개, 번호 1, 2,3, ..., 10 이 도로에 있습니다. 전기를 절약하기 위해 도로를 똑똑히 보면 세 개를 끌 수 있지만 인접한 두 개 또는 세 개의 등은 동시에 끌 수 없습니다. 요구 사항을 충족하는 불 끄는 방법은 몇 가지가 있습니까?
해석: 즉, 꺼진 램프는 인접하거나 양끝에 있을 수 없습니다. 램프 사이에는 차이가 없기 때문에 문제는 양끝을 포함하지 않는 7 개의 램프로 형성된 6 개의 공간에서 3 개의 빈 램프를 선택하여 꺼지는 것이다.
∮ = 총 20 가지 방법.
4. 간접 계수법. (1) 제외 방법
예제 14. 3 행 3 열 9 점. 이 점들을 정점으로 몇 개의 삼각형을 구성할 수 있습니까?
해결: 일부 문제는 직접 해결하기 어렵고 간접적인 방법으로 해결할 수 있습니다.
문제 해결 방법 수 = 임의의 3 점 조합 수-동일 선상 3 점 방법 수,
≈ 흔한 종.
예제 15. 입방체의 8 개 정점 중 4 개를 꺼내면 몇 개의 사면체를 형성할 수 있습니까?
해결: 문제 해결 방법 수 = 임의로 선택된 4 점의 조합 수-동일 평면 4 점의 방법 수,
≈-12 = 70-12 = 총 58.
예 16. L, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10,/kloc-; 10, 10, 10, 10, 10,/kloc 10, 10, 10, 10, 10,/kloc 10, 10, 10, 10, 10,/kloc
분석: 기수가 1 일 수 없기 때문입니다.
(1) 1 이 선택된 경우 1 은 실수여야 합니다.
(2) 1 을 선택하지 않을 경우 각각 2-9 중 두 개를 기수로 선택합니다. 여기서 log24=log39, log32 = log94, log23 = log49, log32 =
그래서 53 개가 있습니다.
(3) 허구의 한 단계, 그것을 익숙한 문제로 바꾸다.
예제 17. 여섯 명이 줄을 서서 A 가 B 앞에 있을 것을 요구하다. 몇 가지 다른 방법이 있나요? 갑, 을, 병방이 왼쪽에서 오른쪽으로 배열되도록 요구한다면?
분석: (1) 실제로 A 는 B 앞에 있고, A 는 B 뒤에 있고, 대칭이며, 같은 수의 배열을 가지고 있습니다. 그래서 360 종이 있습니다.
(2) 우선 6 명의 전체 배치를 고려한다. 둘째, A, B, C 는 한 가지 순서만 서 있을 수 있기 때문에 앞의 순위가 반복됩니다. ≈ =120.
예 18.5 남녀 배구팀이 일렬로 늘어서 남학생에게 높음부터 낮음까지 순서대로 하라고 요구했다. 몇 가지 다른 방법이 있습니까?
분석: 우선, 남학생의 입석 요구 사항을 고려하지 않고, 모두 심는다. 남자는 높음에서 낮음까지 왼쪽에서 오른쪽으로 단 한 가지 자세방법밖에 없기 때문에 위의 자세방법은 여러 번 반복된다. 그래서 9 × 8 × 7 × 6 = 3024 종류가 있습니다.
남자가 높음에서 낮음까지 오른쪽에서 왼쪽으로 가면 한 가지 자세법만 있고 같은 방법도 3024 가지여서 6048 종이 있다. (데이비드 아셀, Northern Exposure (미국 TV 드라마), 남녀명언)
예제 19. 3 개의 동일한 빨간 공과 2 개의 다른 백색 공의 다른 배열은 무엇 인가?
분석: 첫째, 우리는 세 개의 빨간 공이 서로 다르고 방법이 같다고 생각한다. 하지만 세 개의 빨간 공이 같은 위치를 차지하기 때문에 총 변화가 있어 20 종이다.
5. 베젤 사용
예 20. 10 정원은 8 개 반에 배정되며, 각 반마다 최소한 1 개 정원이 있습니다. 몇 가지 다른 분배 방법이 있습니까?
해결: 10 위치를 10 개 요소로 간주하고, 이 10 개 요소 사이에 형성된 9 개 공간 중 7 개 위치를 선택하여 베젤을 배치하므로 각 배치 방법은 한 가지 배포 방법에 해당합니다. 그래서 36 가지가 있습니다.
6. 배열 조합의 차이와 연결에 주의해라. 모든 배열은 먼저 조합을 취하고 나서 전체적인 배열을 하는 것으로 볼 수 있다. 마찬가지로 단계 (정렬) 를 추가하는 것과 같은 조합은 정렬 문제로 변환할 수 있습니다.
예 2 1. 0, l, 2 에서 짝수 두 개와 홀수 세 개를 꺼냅니다
분석: 먼저 뒷줄을 선택하세요. 또한 특수 요소 0 의 선택을 고려해야 합니다.
(1) 선택한 두 짝수에 0 이 포함되어 있으면 시드가 있습니다.
(2) 선택한 짝수가 0 을 포함하지 않으면 씨앗이 있습니다.
예 22. 엘리베이터는 승객 7 명이 10 층 건물의 각 층에 주차되어 있습니다. 만약 세 명의 승객이 같은 층에서 나가고, 다른 두 명은 같은 층에서 나가고, 마지막 두 명은 다른 층에서 나가면, 몇 가지 다른 방법이 내려가나요?
분석: (1) 먼저 7 명의 승객을 네 그룹으로 나눕니다: 승객 3 명, 승객 2 명, 승객 1 명, 한 명.
(2) 10 레이어에서 4 층을 선택하여 아래층으로 내려갑니다.
≈ 종이 있다.
예 23. 숫자 0, 1, 2,3,4 및 5 를 사용하여 중복 숫자가 없는 4 자리 숫자를 구성합니다.
(1) 몇 개의 서로 다른 4 자리 숫자를 구성할 수 있습니까?
(2) 얼마나 많은 다른 4 자리 짝수를 형성 할 수 있습니까?
(3) 4 자리 숫자를 3 으로 나눌 수 있습니까?
(4) (1) 의 4 자리 숫자를 작은 것부터 큰 것까지 배열하고 85 항목이 무엇인지 물어본다.
분석: (1) 하나 있습니다.
(2) 두 가지 범주로 나뉩니다: 바닥 0, 씨앗이 있습니다; 0 바닥에 있지 않고 씨앗이 있습니다.
≈+species 합계.
(3) 우선 작은 것부터 큰 것까지 덧셈을 3 으로 나눌 수 있는 네 수, 즉 선선선이다.
0, 1,2,3
0, 1,3,5
0,2,3,4
0,3,4,5
1,2,4,5
그것들의 배열 수는 반드시 3 으로 나눌 수 있어야 하고, 다시 배열할 수 있어야 한다. 4×()+=96 종이다.
(4) 우선 1 이 있는데 =60 입니다.
처음 두 자리 숫자는 20 = 12 입니다.
처음 두 자리는 2 1 = 12 입니다.
따라서 항목 85 는 처음 두 자리 23 의 최소 수, 즉 230 1 입니다.
7. 그룹 문제
실시 예 24. 6 권의 다른 책
(1) 갑, 을, C 세 명, 1 인당 2 인분씩 주세요. 몇 가지 다른 방법이 있나요?
(2) 세 무더기로 나누어 각각 두 권의 책을 쌓는데, 몇 가지 다른 방법이 있습니까?
(3) 세 무더기, 한 무더기, 두 무더기, 세 무더기로 나뉜다. 몇 가지 다른 방법이 있는가?
(4) A, b, c, 몇 가지 다른 방법이 있습니까?
(5) 갑측, 을측, 병측에 1 인분, 1 인분, 2 인분, 3 인분 주세요. 몇 가지 다른 방법이 있나요?
분석: (1) 적당합니다.
(2) 즉 (1) 을 기준으로 순서를 제거하고 씨앗이 있습니다.
(3) 씨앗이 있다. 이것은 균일하지 않은 그룹이기 때문에 순서가 포함되지 않습니다.
(4) 한 가지가 있습니다. 같은 (3) 이유는 A, B, C 의 보유량이 결정되기 때문이다.
(5) 씨앗이 있다.
예 25. 여섯 명은 서로 다른 차 두 대를 나누어 타고, 각 차는 최대 네 명까지 탈 수 있기 때문에, 다른 승차 방식은 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 이다.
분석: (1) 6 명을 2 명, 4 명, 3 명, 3 명을 각각 두 그룹으로 나누는 것을 고려해 보세요.
첫 번째 범주: 평균 3 명으로 나뉘어져 있습니다. 한 가지 방법이 있다.
두 번째 범주: 그룹당 2 명 4 명으로 나뉜다. 한 가지 방법이 있다.
(2) 두 대의 다른 차를 고려해 보세요.
종합 ① ②, 씨앗이 있다.
실시 예 26. 다섯 명의 학생이 네 개의 서로 다른 과학 기술 그룹에 배정되어 행사에 참가하는데, 각 과학 기술 그룹마다 적어도 한 명의 학생이 참가하기 때문에 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
분석: (1) 먼저 다섯 명의 학생을 두 그룹으로 나눕니다. 한 명씩, 한 그룹당 한 명씩.
평균적으로 네 그룹으로 나뉘는데, 그룹 방식은 = 종이다.
(2) 4 개의 다른 기술 그룹에 할당하는 것을 고려하십시오. 한 가지가 있습니다.
(1) 과 (2) 에 따라 =240 종류가 있습니다.
확률:
무작위 현상부터 시작하다
자연계와 현실 생활에서 어떤 것들은 서로 연결되어 끊임없이 발전한다. 그들의 관계와 발전에서 필연적인 인과관계가 있는지 여부에 따라 확연히 다른 두 가지 범주로 나눌 수 있다. 하나는 확실성 현상이다. 이런 현상은 일정한 조건 하에서 반드시 일정한 결과를 초래할 것이다. 예를 들어 표준 기압에서는 물이 섭씨 100 도까지 가열되면 반드시 끓는다. 사물 사이의 이런 연계는 불가피하다. 일반적으로 자연과학의 각 학과는 이런 필연성을 전문적으로 연구하고 인식하고, 이런 필연적인 현상의 인과관계를 찾고, 그것들 사이의 수량 법칙을 파악한다.
다른 하나는 불확실한 현상이다. 이런 현상은 일정한 조건 하에서 발생하며, 그 결과는 불확실하다. 예를 들어, 같은 작업자가 같은 기계에서 같은 종류의 부품을 몇 개 가공하면 치수는 항상 약간의 차이가 있다. 또 다른 예로, 같은 조건에서 밀 품종의 인공 발아 시험을 실시하면 각 씨앗의 발아 상황은 강약, 아침저녁 등 다르다. 왜 같은 상황에서 이런 불확실한 결과가 나올까? 왜냐하면 우리가' 동등한 조건' 이라고 말할 때, 우리는 몇 가지 주요 조건을 언급하고 있기 때문이다. 이러한 주요 조건 외에도 부차적인 조건과 사람들이 미리 파악할 수 없는 우연한 요소가 많이 있을 것이다. 이 때문에 이런 현상에서 우리는 필연적인 인과관계로 개별 현상의 결과에 대해 미리 확실한 답변을 할 수 없다. 사물 사이의 이런 관계는 우연이다. 이런 현상을 우연현상이나 무작위현상이라고 한다.
자연계에서는 생산 생활에서 무작위 현상이 매우 보편적이다. 즉, 무작위 현상이 대량으로 존재한다는 것이다. 예를 들어, 각 스포츠 복권의 당첨 번호, 같은 생산 라인에서 생산되는 전구의 수명은 모두 무작위적인 현상이다. 그래서 무작위 현상은 같은 조건에서 같은 현상에 대해 여러 차례 같은 실험이나 조사를 한 결과, 그 결과가 정확히 동일하지 않아 다음 결과를 정확하게 예측할 수 없는 현상이라고 말했다. 무작위 현상 결과의 불확실성은 부차적이고 우연한 요인으로 인해 발생한다.
표면적으로 보면 무작위 현상은 혼란스럽고 불규칙적인 것 같다. 그러나 비슷한 무작위 현상이 많이 반복되면 전반적인 상황이 일정한 규칙성을 나타낸다는 사실이 입증되었다. 대량의 유사 무작위 현상의 규칙성은 우리의 관찰 횟수가 증가함에 따라 점점 더 두드러지고 있다. 예를 들어 동전을 던지면 매번 어느 면이 위를 향하는지 분간하기 어렵지만, 동전이 반복해서 던지면 점점 더 분명해진다. 그들이 위를 향하는 횟수는 거의 같다. (윌리엄 셰익스피어, 햄릿, 동전, 동전, 동전, 동전, 동전, 동전, 동전)
우리는 대량의 비슷한 무작위 현상으로 드러난 이런 집단 규칙성을 통계 규칙성이라고 부른다. 확률론과 수리통계는 대량의 유사 무작위 현상의 통계적 규칙성을 연구하는 수학 학과이다.
확률론의 발생과 발전.
확률론은 17 세기에 생겨났고, 처음에는 보험이 발전함에 따라 시작되었지만, 도박꾼의 요구는 수학자가 확률론에서 문제의 근원을 생각하는 것이다.
일찍이 1654 년에 한 도박꾼 멜러는 당시 수학자 파스칼에게 오랫동안 그를 괴롭혔던 질문을 던졌다. "두 도박꾼은 몇 판을 내기로 약속했다. 먼저 M 이닝을 이기는 사람은 모든 내기를 이긴다. 하지만 그들 중 한 명이 A (A
3 년 후 1657 년 네덜란드의 유명한 천문학자, 물리학자, 수학자 호이겐스가 스스로 이 문제를 해결하려 하자 확률게임 계산에 관한 책을 한 권 썼는데, 이것은 최초의 확률론 저작이다.
최근 수십 년 동안 과학기술이 활발하게 발전함에 따라 확률론은 이미 국민경제, 공업 농업 생산 및 각 학과에 광범위하게 적용되었다. 정보 이론, 게임 이론, 큐잉 이론, 사이버네틱스 등과 같은 많은 새로운 응용 수학은 확률 이론에 기반합니다.
확률론과 수리통계는 난수의 한 가지이며, 동류와 밀접하게 연결된 학과이다. 그러나 확률론, 수리통계, 통계방법은 각기 다른 내용을 가지고 있다는 점을 지적해야 한다.
확률론-대량의 유사한 무작위 현상의 통계 법칙을 바탕으로 무작위 현상의 어떤 결과 가능성에 대해 객관적이고 과학적인 판단을 내리고, 이런 발생 가능성에 대해 정량적으로 묘사하고 있다. (윌리엄 셰익스피어, 확률론, 확률론, 확률론, 확률론, 확률론, 확률론, 확률론, 확률론) 이러한 가능성을 비교하고 그들 사이의 관계를 연구하여 수학 이론과 방법을 형성하다.
수리통계-확률론을 적용하여 대량의 무작위 현상을 연구하는 규칙성입니다. 일정한 수의 과학적 안배의 실험을 통해 얻은 통계 방법에 대해 엄격한 이론적 증거를 제공하다. 다양한 방법의 적용 조건과 방법, 공식, 결론의 신뢰성과 한계를 파악합니다. 이를 통해 샘플 집합에서 판단이 상당히 큰 확률로 정확성을 보장할 수 있는지, 그리고 잘못된 확률을 통제할 수 있는지를 판단할 수 있습니다.
통계적 방법-세계에서 제공되는 방법을 다양한 특정 문제에 적용하는 것이며, 이러한 방법의 이론적 근거와 수학적 논증에 초점을 맞추지 않습니다.
확률통계는 연구방법에서 특수성을 가지고 있으며, 다른 수학과의 주요 차이점은 다음과 같습니다.
첫째, 무작위 현상의 통계 법칙은 집단 법칙이기 때문에 반드시 대량의 유사한 무작위 현상에서 드러날 것이기 때문에 관찰, 실험, 조사는 확률 통계 연구 방법의 초석이다. 그러나 수학의 한 가지로서, 그것은 여전히 이 학과의 정의, 공리, 정리를 가지고 있다. 이러한 정의, 공리, 정리는 모두 자연의 무작위 법칙에서 파생된 것이지만, 이러한 정의, 공리, 정리는 모두 확정적이고 무작위성은 없다.
둘째, 확률통계 학습에서' 국부적으로 전체를 추론한다' 는 통계적 추론 방법을 사용했다. 이는 연구 대상인 무작위 현상의 범위가 매우 넓어서 모든 실험과 관찰을 할 수도 없고 할 필요도 없기 때문이다. 그러나, 이 부분의 데이터에서 얻은 일부 결론은 전체 범위에서 추론해야 한다.
셋째, 무작위 현상의 무작위성은 실험과 조사 전에 나타난다. 실제 결과를 얻으면 테스트당 이러한 불확실한 결과 중 하나만 얻을 수 있습니다. 우리가 이런 현상을 연구할 때, 실험 전에 그것의 내재적 법칙을 찾아낼 수 있는지 주의해야 한다.
확률론의 내용
확률론은 수학의 한 가지로, 일반적으로 무작위 사건의 확률성, 통계적 독립성, 그리고 더 깊은 규칙성을 포함한다.
확률은 무작위 사건의 발생 가능성에 대한 정량적 지표이다. 독립 무작위 이벤트의 경우 모든 이벤트에서 이벤트가 발생하는 빈도가 더 넓은 범위에서 고정 상수 근처에서 현저하게 안정화될 수 있습니다. (데이비드 아셀, Northern Exposure (미국 TV 드라마), 독립 무작위 이벤트, 독립 무작위 이벤트) 이 사건의 확률은 이 상수라고 생각할 수 있다. 모든 이벤트의 확률 값은 0 에서 1 사이여야 합니다.
두 가지 특징이 있는 무작위 사건이 있습니다. 하나는 가능한 결과가 몇 가지밖에 없다는 것입니다. 둘째, 각 결과의 가능성은 동일합니다. 이 두 가지 특징을 가진 무작위 현상을' 고전적인 확률' 이라고 한다.
객관적인 세계에는 대량의 무작위 현상이 존재하고, 무작위 현상의 결과는 무작위 사건을 구성한다. 변수를 사용하여 무작위 현상의 결과를 설명하는 경우 무작위 변수라고 합니다.
무작위 변수는 유한과 무한으로 나뉘며, 일반적으로 변수의 값에 따라 이산형 무작위 변수와 비이산형 무작위 변수로 구분됩니다. 가능한 모든 값은 특정 순서로 나열될 수 있습니다. 이 무작위 변수를 이산 무작위 변수라고 합니다. 가능한 값이 한 간격으로 가득 차면 순차적으로 하나씩 나열할 수 없습니다. 이 무작위 변수를 불연속적인 무작위 변수라고 합니다.
이산 무작위 변수의 확률 분포에서 이항 분포는 간단하고 널리 사용됩니다. 무작위 변수가 연속적이면 모두 분포 곡선이 있습니다. 실천과 이론은 특수한, 일반적으로 사용되는 분포가 있다는 것을 증명하는데, 그 분포 곡선은 규칙적이며, 이것이 바로 정규 분포이다. 정규 분포 곡선은 이 무작위 변수의 일부 표현에 따라 달라집니다. 그 중 가장 중요한 것은 평균과 차이 정도입니다. 평균은 수학적 기대라고도 하며, 차이 정도도 표준 편차이다.
참고 자료:
/maths/maths _ branch/probability _ total.htm
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