켈리 공식은 올바른 투자 방법을 알려줍니다.

켈리의 공식이 해결하려는 문제

도박 1: 이길 확률은 60%이고 질 확률은 40%입니다. 승리 시 순이익률은 100%, 패배 시 손실률도 100%입니다. 즉, 이기면 베팅한 1위안당 1위안을 얻고, 지면 베팅한 1위안당 1위안을 잃게 됩니다. 게임은 무제한으로 플레이할 수 있으며, 매번 원하는 금액을 결정할 수 있습니다. 질문: 초기 자본금이 100위안이라고 가정할 때 장기 수익을 극대화하려면 어떻게 베팅해야 합니까? 즉, 각 베팅의 원금의 몇 퍼센트를 차지해야 합니까?

이 도박 게임의 경우 각 베팅의 기대 수익은 베팅 금액의 60%*1-40%*1=20%이며 기대 수익은 양수입니다. 즉, 이는 도박꾼에게 유리한 도박상황으로, 그 이점이 매우 크다.

그렇다면 어떻게 베팅해야 할까요?

엄밀한 생각과 거친 상상 없이 도박을 할 때마다 나의 기대 수익률은 20%이므로, 장기적으로 최대 수익률을 얻으려면 최선을 다해 노력해야 한다고 느낄 것입니다. 모든 도박에는 원금의 더 많은 부분을 투자하십시오. 이 비율의 최대값은 100%입니다.

하지만 모든 도박에 원금을 100% 넣는 것은 당연히 불합리합니다. 도박에 지면 원금을 모두 잃고 다음 게임에는 더 이상 참여할 수 없기 때문입니다. 안타깝게 현장을 떠났습니다. 장기적으로 보면 내기에 지는 일은 필연적으로 일어나기 때문에 장기적으로는 반드시 파산으로 이어진다.

따라서 결론은 다음과 같습니다. 도박 게임에서 원금을 모두 잃을 가능성이 있는 한, 이 가능성이 매우 작더라도 포지션은 결코 가득 차 있을 수 없습니다. 왜냐하면 장기적으로 보면 확률이 낮은 사건은 반드시 일어나기 마련이고, 현실에서는 확률이 낮은 사건이 일어날 실제 확률이 이론적인 확률보다 훨씬 크기 때문입니다. 이것이 바로 금융계의 '뚱뚱한 꼬리 효과'입니다.

게임 1로 계속 돌아갑니다.

매번 100% 배팅하는 것은 무리이므로 99%는 어떨까요. 매번 99%를 배팅하면 결코 파산하지 않을 것을 보장할 수 있을 뿐만 아니라, 운이 좋다면 큰 수익을 얻을 수도 있습니다.

이게 실제 상황인가요?

먼저 이 문제를 이론적으로 분석하지 말고 실험을 해보자. 우리는 이 베팅을 시뮬레이션하고 매번 99% 베팅하여 결과가 어떻게 될지 확인합니다.

이 시뮬레이션 실험은 매우 간단하며 Excel을 사용하여 완료할 수 있습니다. 아래 사진을 봐주세요:

위 사진과 같이 첫 번째 열은 라운드 수를 나타냅니다. 두 번째 열은 결과입니다. Excel은 60% 확률, 즉 60% 확률로 1을 생성하고 40% 확률로 -1, 즉 40% 확률로 순 이익을 생성합니다. -1의 이익. 세 번째 열은 각 라운드가 끝날 때 플레이어의 총 자금입니다. 본 실험에서는 각 배팅 포지션이 99%이고, 초기 원금은 100이며 각각 노란색과 녹색으로 표시되어 있습니다.

사진을 보면 알 수 있듯이 10경기를 치른 뒤 10경기의 승수는 8승으로 60% 확률보다 크며 2패만 달성했다. 하지만 그럼에도 불구하고 최종 자금은 2.46위안밖에 되지 않아 기본적으로 손실이 발생했습니다.

실험 횟수를 1,000, 2,000, 3,000으로 늘려보니... 결과는 예상 가능한 수준이었는데, 결국 내 손에 있는 자금은 거의 0이 되는 경향이 있었습니다.

99%는 안 되니까 다른 비율로 몇 가지 시도해 볼까요, 아래 사진을 보세요:

위치가 점차 줄어들면 사진을 보면 알 수 있듯이, 99%가 90%, 80%, 70%, 60%가 되면 같은 10게임의 결과도 전혀 달라집니다. 그림을 보면 포지션이 점차 작아질수록 10게임 이후의 자금이 점차 커지는 것을 알 수 있습니다.

모두가 이것을 보면 점차 이 도박 게임의 문제가 그렇게 간단하지 않다는 것을 알게 될 것입니다. 이렇게 도박꾼이 큰 이점을 갖고 있는 도박 게임에서도 돈을 따는 것은 쉽지 않습니다.

그렇다면 장기적인 수익을 극대화하기 위해 어떻게 베팅해야 할까요?

위 사진처럼 비율이 작을수록 좋다는 건가요? 아마도 그렇지 않을 것입니다. 왜냐하면 분명히 비율이 0이 되면 돈을 벌 수 없기 때문입니다.

그렇다면 최적의 비율은 무엇일까요?

유명한 켈리 공식이 해결하는 문제입니다!

켈리 공식 소개

여기서 f는 최적의 베팅 비율입니다. p는 승리할 확률입니다. rw는 당첨 시 순이익률입니다. 예를 들어 Gambling 1에서는 rw=1입니다. rl은 손실 시 순손실률입니다(예: Gambling 1, rl=1). 여기서는 rl>0이라는 점에 유의하세요.

켈리의 공식에 따르면 Gambling 1에서 가장 유리한 배팅 비율은 20%라고 계산할 수 있습니다.

이 결론에 대한 이해를 심화하기 위해 실험을 수행할 수 있습니다.

그림과 같이 위치를 각각 10%, 15%, 20%, 30%, 40%로 설정했습니다. 해당 열 번호는 각각 D, E, F, G 및 H입니다.

아래와 같이 실험 수를 3000으로 변경하면:

아래와 같이 실험 수를 5000으로 변경하면:

From 두 사진을 보면 F열에 해당하는 결과가 가장 큰 것을 알 수 있으며, 다른 열에 비해 큰 규모는 아니다. F열에 해당하는 위치 비율은 정확히 20%이다.

모두가 Kelly 공식의 힘을 보았습니다. 위 실험에서 불행하게도 H열에 해당하는 40%의 비율을 선택하면 5,000회 도박 후에 원금이 100에서 22799985.75로 바뀌고 이익이 엄청날 것입니다. 하지만 20% 비율의 결과와 비교하면 실제로는 돈을 벌지 못하는 것과 같습니다.

이것이 바로 지식의 힘!

켈리 공식 이해

켈리 공식의 수학적 유도는 매우 복잡하고 고도의 수학적 지식이 필요하므로 여기서 논의하는 것은 의미가 없습니다. 아, 직설적으로 말하면 나도 잘 이해가 안 된다. 여기에서는 Kelly의 공식에 대한 모든 사람의 주관적인 이해를 심화하기 위해 몇 가지 실험을 사용할 것입니다.

또 다른 내기를 살펴보겠습니다. 도박 2: 동전 던지기와 같이 잃을 확률과 승리 확률은 각각 50%입니다. 승리할 경우 순수익률은 1, 즉 rw=1이 되고, 패배할 경우 순손실률은 0.5, 즉 rl=0.5가 됩니다. 즉, 1달러를 베팅하면 이기면 1달러를 더 얻을 수 있고, 졌을 때는 50센트만 지불하면 됩니다.

갬블링2의 기대수익률이 0.25임을 쉽게 알 수 있는데, 이는 갬블러가 큰 장점을 갖고 있는 또 다른 갬블링 게임이다.

Kelly 공식에 따르면 각 라운드마다 가장 좋은 배팅 비율을 얻을 수 있습니다.

즉, 매번 돈의 절반을 배팅하면 최대의 이익을 얻을 수 있습니다. .

다음으로 실험을 통해 평균 성장률 r의 개념을 도출하겠습니다. 먼저 실험 2.1을 살펴보겠습니다. 다음 두 그림은 다음과 같습니다.

이 두 그림은 도박 게임 2를 시뮬레이션하기 위해 수행된 실험입니다. 승패 열의 두 번째 열에서 실험은 50으로 1을 생성합니다. % 확률은 100% 이익을 나타냅니다. -0.5를 생성할 확률이 50%라는 것은 50%의 손실을 의미합니다. 세 번째와 네 번째 열은 포지션이 각각 100%와 50%일 때 각 베팅 후 소유한 자금입니다.

두 사진을 주의 깊게 비교하면 첫 번째 결론을 알 수 있습니다. 즉, 동일한 게임 수 후에 최종 결과는 이 게임에서 승리한 게임 수와 패배한 게임 수에만 관련이 있다는 것입니다. . 이는 라운드 내에서 승리하고 패배하는 순서가 아니라 수량에 관한 것입니다. 예를 들어, 위의 두 그림에도 4개의 게임이 있습니다. 각 그림에는 2개의 게임이 승리하고 2개의 게임이 패합니다. 그러나 첫 번째 사진에서는 승패의 순서가 있으며, 두 번째 그림의 승패 순서는 승패입니다. 최종 결과는 동일합니다.

물론 이 결론은 증명하기가 매우 쉽기 때문에(초등학생도 곱셈의 교환법칙을 이해할 수 있음) 여기서는 증명하지 않겠습니다. 위에 제시된 두 가지 예는 모두가 이해하기에 충분합니다. 잘.

따라서 최종 결과는 승패 순서와 아무런 관련이 없으므로 실험 2.2와 같이 Gambling 2가 계속된다고 가정하고 아래 그림을 살펴보겠습니다.

우리는 결론 1로 인해 도박의 승리와 패배가 교대로 수행된다고 가정하면 이는 장기적으로 결과적인 자금 조달에 영향을 미치지 않습니다.

그림을 직접 관찰하기 전에 정의를 내려 보겠습니다. 특정 도박 게임을 전체로 간주하면 이 전체에서 다양한 결과가 나타나는 빈도가 그 확률과 정확히 같고 이 전체의 게임 수가 조건을 충족하는 전체 중에서 가장 적다고 가정합니다. 이 전체를 도박이라고 부르세요. 예를 들어, 위 실험에서 도박 게임 세트는 두 개의 도박 게임(하나는 이기고 하나는 지는 것)을 나타냅니다.

위 사진에서 파란색으로 표시된 숫자를 주의 깊게 살펴보세요. 이는 베팅 세트의 엔딩입니다. 이 숫자는 꾸준히 증가하고 있음을 알 수 있습니다. 포지션이 100%일 때 파란색으로 표시된 숫자의 성장률은 0%, 즉 도박 게임 세트 후 원금의 성장률은 0%입니다. 이는 도박2에서 매번 풀포지션으로 배팅을 하면 장기적으로 돈을 벌 수 없다는 설명이기도 하다. 포지션이 50%(즉, 켈리의 공식에서 도출된 최적 비율)일 때 파란색으로 표시된 숫자의 성장률은 12.5%, 즉 도박 게임 세트 후 원금의 성장률은 12.5%입니다.

이는 각 도박 게임 그룹 이후의 성장률이 위치와 관련된 일반적인 규칙입니다. 그리고 각 도박 게임 그룹 이후의 성장률이 높을수록 장기적으로 최종 이익은 더 커질 것입니다.

각 사행성 게임 그룹의 성장률을 바탕으로 각 사행성 게임의 평균 성장률 g를 계산할 수 있습니다. 위 그림에서 각 도박 게임 그룹에는 두 개의 도박 게임이 포함되어 있으므로 각 도박 게임의 평균 성장률은

실제로 이 r은 공식을 통해 계산할 수 있습니다.

장기적으로 자본의 성장을 극대화하려면 r, 즉 g를 최대화하면 됩니다. 최적의 배팅 비율 f는 실제로 max(g)를 풀어서 구해집니다.

Kelly 공식의 다른 결론 - 위험에 대해

Kelly 전설(이 섹션의 내용은 인터넷에서 가져온 것임)

Kelly 공식은 원래 제안되었습니다. AT&T 벨 연구소의 물리학자 존 래리 켈리(John Larry Kelly)는 장거리 전화선 소음에 대한 동료 클로드 엘우드 섀넌(Claude Elwood Shannon)의 연구를 바탕으로 이 연구를 진행했습니다. Kelly는 경마에 대한 내부 정보 베팅을 통해 도박꾼에게 Shannon의 정보 이론을 어떻게 적용할 수 있는지에 대한 문제를 다루었습니다.

도박꾼은 최적의 베팅 금액을 결정하기를 원하며, 그에게 유용한 이점을 제공하기 위해 그의 내부 정보가 완벽할 필요는 없습니다(잡음 없음). Kelly의 공식은 나중에 Shannon의 다른 동료인 Edward Thorpe에 의해 블랙잭과 주식 시장에 적용되었습니다.

Thorpe는 몇 달 간의 어려운 계산 끝에 여가 시간을 활용하여 "The Optimal Strategy for Blackjack"이라는 제목의 수학 논문을 작성했습니다. 그는 자신의 지식을 활용하여 네바다 주 리노에 있는 모든 카지노를 하룻밤 사이에 "놀라게" 했으며 블랙잭 테이블에서 수만 달러를 획득하는 데 성공했습니다. 그는 또한 미국 월스트리트의 퀀트 트레이딩 헤지펀드의 창시자이기도 합니다. 그는 1970년대 최초의 퀀트 트레이딩 헤지펀드를 개척했습니다. 1962년에 그는 금융에 관한 고전 서적 중 하나가 된 자신의 논문 "Beat the Banker"를 출판했습니다.

Outlook 적용

실생활에서 켈리 공식을 사용하여 돈을 버는 방법은 무엇입니까? 그것은 켈리 공식의 적용 조건을 만족하는 '도박'을 만들어 내는 것이다. 내 생각에는 이 "도박"은 금융시장에서 나온 것이 틀림없다.

최근 트레이딩 시스템에 대한 연구를 진행하고 있는데, 우수한 트레이딩 시스템을 위해 가장 중요한 것은 무엇인가요? 긍정적인 기대 수익을 갖는 거래 규칙이 중요성의 10%를 차지하고, 좋은 자금 관리 방법이 중요도의 40%를 차지하며, 나머지 50%는 조작자의 심리적 통제입니다.

켈리 공식은 자본 포지션을 통제하는 데 도움이 되는 강력한 도구입니다.

예를 들어, 제가 예전에 주식 거래 시스템을 개발한 적이 있는데, 이 시스템은 일주일에 한 번씩 거래를 진행하는데 성공 확률은 0.8이고 실패 확률은 0.2입니다. 성공하면 3%(커미션 및 인지세 제외)를 얻을 수 있고, 실패할 때마다 5%를 잃을 수 있습니다. 켈리 공식을 알기 전에는 늘 무작정 풀 포지션으로 거래를 했고, 포지션 설정이 맞는지도 모르고 매우 약하다는 생각이 들었습니다. 켈리 공식을 사용한 후 계산된 최적 포지션은 9.33이 되어야 합니다. 즉, 차입률이 0인 경우 가장 빠른 자본 증가율을 얻으려면 레버리지 거래를 사용해야 하며 각각의 평균 증가율을 계산해야 합니다. 공식에 따르면 r은 대략 7.44%이고 풀 포지션 거래의 평균 자본 증가율은 r이 대략 1.35입니다(실제로는 기대 수익률입니다). 실험적 시뮬레이션을 통해 레버리지 거래 자금은 전체 거래 자금보다 훨씬 빠르게 성장하는 것으로 나타났습니다. 이는 또한 많은 양적 투자 펀드 회사가 레버리지 거래를 사용해야 하는 이유를 더 잘 이해할 수 있게 해주었습니다.

물론 실제 적용에서는 켈리 공식이 그렇게 간단할 수 없고, 아직 극복해야 할 어려움도 많다. 예를 들어 레버리지 거래에 필요한 자본 비용, 예를 들어 현실적으로 자금은 무한정 분할되지 않으며, 예를 들어 금융 시장은 위에서 언급한 단순한 도박처럼 단순하지 않습니다.

하지만 무슨 일이 있어도 Kelly Formula는 우리에게 앞으로 나아갈 길을 알려줍니다.